Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Marianne

Conforme au programme
officiel 2018 - 2019

Démonstration du produit scalaire entre vecteurs à trois dimensions
Démonstration

Introduction

Nous avons vu au cours de l'année, l'expression du produit scalaire entre deux vecteurs à deux coordonnées, donc à deux dimensions.
Nous allons ici nous intéresser à l'expression du produit scalaire entre vecteurs à trois dimensions.

Propriété :
On se place dans un repère (O;i;j;k)(O ;\vec i ; \vec j ;\vec k) orthonormé de l'espace

Soient deux vecteurs u\vec u et v\vec v respectivement de coordonnées u(xyz)\overrightarrow {u}\left( \begin{array}{ c c } x \ y\ z \end{array} \right) et v(xyz)\overrightarrow {v}\left( \begin{array}{ c c } x' \ y'\ z' \end{array} \right)

Alors : uv=xx+yy+zz\vec u \cdot \vec v= xx'+yy'+zz'

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces deux propriétés pré-requises :

  • Expression du produit scalaire : uv=12[u+vuv]\vec u \cdot \vec v=\dfrac12[\big||\vec u+ \vec v|\big|-||\vec u||-||\vec v||]
  • u2=u2=(x2+y2+z2)\vec{u}^2= \big||\vec u|\big|^2=(x^2+y^2+z^2)

Démonstration

On applique l'expression du produit scalaire uv=12[u+vuv]\vec u \cdot \vec v=\dfrac12[\big||\vec u+ \vec v|\big|-||\vec u||-||\vec v||], et on a :
uv=12[u+vuv]\vec u \cdot \vec v=\dfrac12[\big||\vec u+ \vec v|\big|-||\vec u||-||\vec v||]

$\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2} \left\left|\Bigg| \left(\begin{array}{ccc} x+x' \\ y+y'\\ z+z' \end{array}\right)\Bigg|\right|\right- \left|\Bigg| \left(\begin{array}{ccc} x \\ y\\ z \end{array}\right)\Bigg|\right|-\left|\Bigg| \left(\begin{array}{ccc} x' \\ y'\\ z'\end{array}\right)\Bigg|\right|

\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2}[(x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2-(x^2+y^2+z^2)-(x'^2+y'^2+z'^2)]

\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2}[x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2+z^2+2zz'+z'^2-x^2-y^2-z^2-x'^2-y'^2-z'^2]

\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2}[2xx'+2yy'+2zz']Alors,

Alors, \vec u \cdot \vec v=[xx'+yy'+zz']Cequinousdonnelexpressionduproduitscalaireendimension

Ce qui nous donne l'expression du produit scalaire en dimension 3$.