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Démonstration du produit scalaire entre vecteurs à trois dimensions

Démonstration

Introduction

Nous avons vu au cours de l'année, l'expression du produit scalaire entre deux vecteurs à deux coordonnées, donc à deux dimensions.
Nous allons ici nous intéresser à l'expression du produit scalaire entre vecteurs à trois dimensions.

Propriété :
On se place dans un repère (O;i⃗;j⃗;k⃗)(O ;\vec i ; \vec j ;\vec k) orthonormé de l'espace

Soient deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v respectivement de coordonnées u→(xyz)\overrightarrow {u}\left( \begin{array}{ c c } x \\ y\\ z \end{array} \right) et v→(x′y′z′)\overrightarrow {v}\left( \begin{array}{ c c } x' \\ y'\\ z' \end{array} \right)

Alors : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec u \cdot \vec v= xx'+yy'+zz'

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces deux propriétés pré-requises :

  • Expression du produit scalaire : u⃗⋅v⃗=12[∣∣u⃗+v⃗∣∣−∣∣u⃗∣∣−∣∣v⃗∣∣]\vec u \cdot \vec v=\dfrac12[\big||\vec u+ \vec v|\big|-||\vec u||-||\vec v||]
  • u⃗2=∣∣u⃗∣∣2=(x2+y2+z2)\vec{u}^2= \big||\vec u|\big|^2=(x^2+y^2+z^2)

Démonstration

On applique l'expression du produit scalaire u⃗⋅v⃗=12[∣∣u⃗+v⃗∣∣−∣∣u⃗∣∣−∣∣v⃗∣∣]\vec u \cdot \vec v=\dfrac12[\big||\vec u+ \vec v|\big|-||\vec u||-||\vec v||], et on a :
u⃗⋅v⃗=12[∣∣u⃗+v⃗∣∣−∣∣u⃗∣∣−∣∣v⃗∣∣]\vec u \cdot \vec v=\dfrac12[\big||\vec u+ \vec v|\big|-||\vec u||-||\vec v||]

u⃗⋅v⃗=12[∥∣(x+x′y+y′z+z′)∣∥]−∥∣(xyz)∣∥−∥∣(x′y′z′)∣∥\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2} \left[\left\|\Bigg| \left(\begin{array}{ccc} x+x' \\ y+y'\\ z+z' \end{array}\right)\Bigg|\right\|\right]- \left\|\Bigg| \left(\begin{array}{ccc} x \\ y\\ z \end{array}\right)\Bigg|\right\|-\left\|\Bigg| \left(\begin{array}{ccc} x' \\ y'\\ z'\end{array}\right)\Bigg|\right\|

u⃗⋅v⃗=12[(x+x′)2+(y+y′)2+(z+z′)2−(x2+y2+z2)−(x′2+y′2+z′2)]\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2}[(x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2-(x^2+y^2+z^2)-(x'^2+y'^2+z'^2)]

u⃗⋅v⃗=12[x2+2xx′+x′2+y2+2yy′+y′2+z2+2zz′+z′2−x2−y2−z2−x′2−y′2−z′2]\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2}[x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2+z^2+2zz'+z'^2-x^2-y^2-z^2-x'^2-y'^2-z'^2]

u⃗⋅v⃗=12[2xx′+2yy′+2zz′]\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2}[2xx'+2yy'+2zz']

Alors, u⃗⋅v⃗=[xx′+yy′+zz′]\vec u \cdot \vec v=[xx'+yy'+zz']

Ce qui nous donne l'expression du produit scalaire en dimension 33.

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