Introduction
Nous avons vu au cours de l'année, l'expression du produit scalaire entre deux vecteurs à deux coordonnées, donc à deux dimensions.
Nous allons ici nous intéresser à l'expression du produit scalaire entre vecteurs à trois dimensions.
Propriété :
On se place dans un repère orthonormé de l'espace
Soient deux vecteurs et respectivement de coordonnées et
Alors :
Prérequis
Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces deux propriétés pré-requises :
- Expression du produit scalaire :
Démonstration
On applique l'expression du produit scalaire , et on a :
$\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2} \left\left|\Bigg| \left(\begin{array}{ccc} x+x' \\ y+y'\\ z+z' \end{array}\right)\Bigg|\right|\right- \left|\Bigg| \left(\begin{array}{ccc} x \\ y\\ z \end{array}\right)\Bigg|\right|-\left|\Bigg| \left(\begin{array}{ccc} x' \\ y'\\ z'\end{array}\right)\Bigg|\right|
\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2}[(x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2-(x^2+y^2+z^2)-(x'^2+y'^2+z'^2)]
\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2}[x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2+z^2+2zz'+z'^2-x^2-y^2-z^2-x'^2-y'^2-z'^2]
\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2}[2xx'+2yy'+2zz']
Alors,
\vec u \cdot \vec v=[xx'+yy'+zz']Ce qui nous donne l'expression du produit scalaire en dimension
3$.