Démonstration du produit scalaire entre vecteurs à trois dimensions
Introduction
Nous avons vu au cours de l'année, l'expression du produit scalaire entre deux vecteurs à deux coordonnées, donc à deux dimensions.
Nous allons ici nous intéresser à l'expression du produit scalaire entre vecteurs à trois dimensions.
Propriété :
On se place dans un repère (O;i⃗;j⃗;k⃗) orthonormé de l'espace
Soient deux vecteurs u⃗ et v⃗ respectivement de coordonnées u⎝⎛xyz⎠⎞ et v⎝⎛x′y′z′⎠⎞
Alors : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′
Prérequis
Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces deux propriétés pré-requises :
- Expression du produit scalaire : u⃗⋅v⃗=21[∣∣∣u⃗+v⃗∣∣∣−∣∣u⃗∣∣−∣∣v⃗∣∣]
- u⃗2=∣∣∣u⃗∣∣∣2=(x2+y2+z2)
Démonstration
On applique l'expression du produit scalaire u⃗⋅v⃗=21[∣∣∣u⃗+v⃗∣∣∣−∣∣u⃗∣∣−∣∣v⃗∣∣], et on a :
u⃗⋅v⃗=21[∣∣∣u⃗+v⃗∣∣∣−∣∣u⃗∣∣−∣∣v⃗∣∣]
u⃗⋅v⃗=21⎣⎡∥∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣⎝⎛x+x′y+y′z+z′⎠⎞∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥∥⎦⎤−∥∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣⎝⎛xyz⎠⎞∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥∥−∥∥∥∥∥∥∣∣∣∣∣⎝⎛x′y′z′⎠⎞∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥∥
u⃗⋅v⃗=21[(x+x′)2+(y+y′)2+(z+z′)2−(x2+y2+z2)−(x′2+y′2+z′2)]
u⃗⋅v⃗=21[x2+2xx′+x′2+y2+2yy′+y′2+z2+2zz′+z′2−x2−y2−z2−x′2−y′2−z′2]
u⃗⋅v⃗=21[2xx′+2yy′+2zz′]
Alors, u⃗⋅v⃗=[xx′+yy′+zz′]
Ce qui nous donne l'expression du produit scalaire en dimension 3.
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