Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Démonstration du produit scalaire entre vecteurs à trois dimensions
Découvrez, sur SchoolMouv, des milliers de contenus pédagogiques, du CP à la Terminale, rédigés par des enseignants de l’Éducation nationale.
Les élèves de troisième, de première ou de terminale bénéficient, en plus, de contenus spécifiques pour réviser efficacement leur brevet des collèges, leur bac de français ou leur baccalauréat édition 2023.
Démonstration

Introduction

Nous avons vu au cours de l'année, l'expression du produit scalaire entre deux vecteurs à deux coordonnées, donc à deux dimensions.
Nous allons ici nous intéresser à l'expression du produit scalaire entre vecteurs à trois dimensions.

Propriété :
On se place dans un repère (O;i;j;k)(O ;\vec i ; \vec j ;\vec k) orthonormé de l'espace

Soient deux vecteurs u\vec u et v\vec v respectivement de coordonnées u(xyz)\overrightarrow {u}\left( \begin{array}{ c c } x \ y\ z \end{array} \right) et v(xyz)\overrightarrow {v}\left( \begin{array}{ c c } x' \ y'\ z' \end{array} \right)

Alors : uv=xx+yy+zz\vec u \cdot \vec v= xx'+yy'+zz'

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces deux propriétés pré-requises :

  • Expression du produit scalaire : uv=12[u+vuv]\vec u \cdot \vec v=\dfrac12[\big||\vec u+ \vec v|\big|-||\vec u||-||\vec v||]
  • u2=u2=(x2+y2+z2)\vec{u}^2= \big||\vec u|\big|^2=(x^2+y^2+z^2)

Démonstration

On applique l'expression du produit scalaire uv=12[u+vuv]\vec u \cdot \vec v=\dfrac12[\big||\vec u+ \vec v|\big|-||\vec u||-||\vec v||], et on a :
uv=12[u+vuv]\vec u \cdot \vec v=\dfrac12[\big||\vec u+ \vec v|\big|-||\vec u||-||\vec v||]

$\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2} \left\left|\Bigg| \left(\begin{array}{ccc} x+x' \\ y+y'\\ z+z' \end{array}\right)\Bigg|\right|\right- \left|\Bigg| \left(\begin{array}{ccc} x \\ y\\ z \end{array}\right)\Bigg|\right|-\left|\Bigg| \left(\begin{array}{ccc} x' \\ y'\\ z'\end{array}\right)\Bigg|\right|

\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2}[(x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2-(x^2+y^2+z^2)-(x'^2+y'^2+z'^2)]

\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2}[x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2+z^2+2zz'+z'^2-x^2-y^2-z^2-x'^2-y'^2-z'^2]

\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2}[2xx'+2yy'+2zz']Alors,

Alors, \vec u \cdot \vec v=[xx'+yy'+zz']Cequinousdonnelexpressionduproduitscalaireendimension

Ce qui nous donne l'expression du produit scalaire en dimension 3$.