Introduction
Nous allons démontrer que la fonction exponentielle ne s’annule jamais sur l’ensemble des réels.
La fonction exponentielle est la fonction, notée , dérivable sur telle que :
et .
Propriété :
est un nombre réel et une fonction dérivable sur .
Si, pour tout réel , et alors ne s’annule pas.
Ce qui induit :
Prérequis
Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces deux propriété/théorème pré-requis :
- Propriété
La dérivé d'un produit de fonction dérivable sur
est
- Théorème de l'unicité :
Il existe une unique fonction dérivable sur telle que et .
Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note .
Démonstration
Soit une fonction dérivable sur , définie par et .
Définissons ensuite la fonction g dérivable sur ℝ par :
En dérivant grâce à la formule de la dérivée d'un produit, nous obtenons :
Puisque la dérivée est nulle sur , nous avons , fonction constante sur .
Et comme on a pour tout x, c'est-à-dire
Alors, pour tout réel ,
Le théorème de l'unicité implique que