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Marianne

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Démonstration de exp⁡(x)≠0
Démonstration

Introduction

Nous allons démontrer que la fonction exponentielle ne s’annule jamais sur l’ensemble des réels.

La fonction exponentielle est la fonction, notée exp\text{exp}, dérivable sur R\mathbb{R} telle que :
exp(x)=exp(x)\text{exp}(x)'=\text{exp}(x) et exp(0)=1\text{exp}(0)=1.

Propriété :

kk est un nombre réel et ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R}.
Si, pour tout réel xx, f(x)=k×f(x)f'(x)=k\times f(x) et f(0)=1f(0)=1 alors ff ne s’annule pas.
Ce qui induit : exp(x)0\text{exp}(x) \neq 0

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces deux propriété/théorème pré-requis :

  • Propriété

La dérivé d'un produit de fonction dérivable sur R\mathbb{R}
f(x)=u(x)×v(x)f(x)=u(x) \times v(x) est f(x)=u(x)×v(x)+u(x)×v(x)f'(x)=u'(x) \times v(x)+u(x) \times v'(x)

  • Théorème de l'unicité :

Il existe une unique fonction ffdérivable sur R\mathbb{R} telle que f=ff'=f et f(0)=1f(0)=1.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note exp\text{exp}.

Démonstration

Soit ff une fonction dérivable sur R\mathbb{R}, définie par f(x)=k×f(x)f'(x)=k\times f(x) et f(0)=1f(0)=1.

Définissons ensuite la fonction g dérivable sur ℝ par : g(x)=f(x)×f(x)g(x)=f(x) \times f(-x)

En dérivant gg grâce à la formule de la dérivée d'un produit, nous obtenons :

g(x)=f(x)×f(x)+f(x)×f(x)g(x)=k×f(x)×f(x)+f(x)×(k)×f(x)g(x)=k×f(x)×f(x)f(x)×k×f(x)g(x)=0\begin {aligned}g'(x)&=f'(x) \times f(-x)+f(x) \times f'(-x)\ g'(x)&=k \times f(x) \times f(-x)+f(x) \times (-k) \times f(-x)\ g'(x)&= k \times f(x) \times f(-x)- f(x) \times k \times f(-x) \ g'(x)&=0\end{aligned}

Puisque la dérivée gg' est nulle sur R\mathbb{R}, nous avons gg, fonction constante sur R\mathbb{R}.

Et comme g(0)=f(0)×f(0)=1g(0)=f(0) \times f(-0)=1 on a pour tout x, g(x)=1g(x)=1 c'est-à-dire f(x)×f(x)=1f(x) \times f(-x)=1

Alors, pour tout réel xx, f(x)0f(x) \neq 0

Le théorème de l'unicité implique que exp(x)0\text{exp} (x) \neq 0