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Marianne

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Démonstration de l'unique solution admise par l'équation f(x)=k dans un intervalle
Démonstration

Introduction

On va tenter de démontrer qu’une fonction ff continue et monotone sur un intervalle [a,b][a, b] (donc croissante, décroissante ou constante) prend une et une unique fois chaque valeur kk comprise entre f(a)f(a) et f(b)f(b).

Théorème :
Si f est une fonction continue strictement monotone sur l’intervalle I=[a;b]I=[a ;b] alors :

  • L’image de II par ff est l’intervalle [f(a);f(b)][f(a) ;f(b)] si ff est croissante, et [f(b);f(a)][f(b) ; f(a)] si ff est décroissante.
  • Pour tout kk dans [f(b);f(a)][f(b) ; f(a)], l’équation f(x)=kf(x)=k a une unique solution dans II.

Prérequis

Afin de démontrer ce théorème, nous avons besoin d'un théorème prérequis :

Théorème des valeurs intermédiaires :
Si ff est une fonction continue sur un intervalle [a ;b][a ;b]alors pour tout α\alpha compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), l’équation f(x)=αf(x)=\alpha admet au moins une solution xx comprise entre aa et bb.

Démonstration

Pour plus de clarté, nous posons ff strictement croissante. Mais cette démonstration est la même pour une fonction strictement décroissante.

Soit xx un réel de l’intervalle I=[a;b]I=[a ;b] alors axba\leq x\leq b ff est strictement croissante sur II, alors f(a)f(x)f(b)f(a) \leq f(x)\leq f(b)

Ainsi, f(I)f (I) est inclus dans [f(a);f(b)][f(a) ;f(b)].

  • On a donc prouvé la première partie du théorème : l’image de II par ff est incluse dans l’intervalle [f(a);f(b)][f(a) ;f(b)].

Prouvons la deuxième partie du théorème : Soit kk un réel de [f(a);f(b)][f(a) ;f(b)].

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=kf(x)=k admet au moins une solution dans [a;b][a; b]

Supposons que l’équation f(x)=kf(x)=k admette deux solutions x0x0 et x0x0', alors f(x0)=f(x0)f(x0)=f(x0').
Or, ff est strictement croissante sur [a;b][a; b] donc pour tous les nombres distincts x0x0 et x0x0' de [a;b][a; b], si x0<x0x00', on a f(x0)<f(x0)f(x0)0').

  • Ce qui rejette l’hypothèse selon laquelle il pourrait exister deux solutions distinctes à l’équation.

Donc l’équation f(x)=kf(x)=k admet une unique solution dans II.