Introduction
On va tenter de démontrer qu’une fonction continue et monotone sur un intervalle (donc croissante, décroissante ou constante) prend une et une unique fois chaque valeur comprise entre et .
Théorème :
Si f est une fonction continue strictement monotone sur l’intervalle alors :
- L’image de par est l’intervalle si est croissante, et si est décroissante.
- Pour tout dans , l’équation a une unique solution dans .
Prérequis
Afin de démontrer ce théorème, nous avons besoin d'un théorème prérequis :
Théorème des valeurs intermédiaires :
Si est une fonction continue sur un intervalle alors pour tout compris entre et , l’équation admet au moins une solution comprise entre et .
Démonstration
Pour plus de clarté, nous posons strictement croissante. Mais cette démonstration est la même pour une fonction strictement décroissante.
Soit un réel de l’intervalle alors est strictement croissante sur , alors
Ainsi, est inclus dans .
- On a donc prouvé la première partie du théorème : l’image de par est incluse dans l’intervalle .
Prouvons la deuxième partie du théorème : Soit un réel de .
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet au moins une solution dans
Supposons que l’équation admette deux solutions et , alors .
Or, est strictement croissante sur donc pour tous les nombres distincts et de , si , on a .
- Ce qui rejette l’hypothèse selon laquelle il pourrait exister deux solutions distinctes à l’équation.
Donc l’équation admet une unique solution dans .