Démonstration de l'unique solution admise par l'équation f(x)=k dans un intervalle

Introduction

On va tenter de démontrer qu’une fonction $f$ continue et monotone sur un intervalle $[a, b]$ (donc croissante, décroissante ou constante) prend une et une unique fois chaque valeur $k$ comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ .

Théorème :
Si f est une fonction continue strictement monotone sur l’intervalle $I=[a ;b]$ alors :

L’image de $I$ par $f$ est l’intervalle $[f(a) ;f(b)]$ si $f$ est croissante, et $[f(b) ; f(a)]$ si $f$ est décroissante.
Pour tout $k$ dans $[f(b) ; f(a)]$ , l’équation $f(x)=k$ a une unique solution dans $I$ .

Prérequis

Afin de démontrer ce théorème, nous avons besoin d'un théorème prérequis :

Théorème des valeurs intermédiaires :
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a ;b]$ alors pour tout $\alpha$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l’équation $f(x)=\alpha$ admet au moins une solution $x$ comprise entre $a$ et $b$ .

Démonstration

Pour plus de clarté, nous posons $f$ strictement croissante. Mais cette démonstration est la même pour une fonction strictement décroissante.

Soit $x$ un réel de l’intervalle $I=[a ;b]$ alors $a\leq x\leq b$ $f$ est strictement croissante sur $I$ , alors $f(a) \leq f(x)\leq f(b)$

Ainsi, $f (I)$ est inclus dans $[f(a) ;f(b)]$ .

On a donc prouvé la première partie du théorème : l’image de $I$ par $f$ est incluse dans l’intervalle $[f(a) ;f(b)]$ .

Prouvons la deuxième partie du théorème : Soit $k$ un réel de $[f(a) ;f(b)]$ .

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a; b]$

Supposons que l’équation $f(x)=k$ admette deux solutions $x$ et $x$ 0' $x_{0}^{'}$ , alors $f(x$ .
Or, $f$ est strictement croissante sur $[a; b]$ donc pour tous les nombres distincts $x$ et $x$ 0' $x_{0}^{'}$ de $[a; b]$ , si $x$ , on a $f(x$ .

Ce qui rejette l’hypothèse selon laquelle il pourrait exister deux solutions distinctes à l’équation.

Donc l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $I$ .