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Marianne

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Démonstrations des limites de ln(x)
Démonstration

Introduction

Nous nous sommes intéressés aux propriétés de la fonction logarithme népérien, en montrant par exemple la relation ln(ab)=ln(a)+ln(b)ln(ab) = ln(a) + ln(b), pour tout aa et bb, réels strictement positifs ainsi qu’à la dérivée de ln(x)ln(x) que l’on a trouvée : ln(x)=1xln(x) =\dfrac1x.
Dans cette démonstration, nous allons nous intéresser aux limites de la fonction logarithme.

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de cette propriété pré-requise :

la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+[]0 ;+\infty[.

Démonstration

  • Cas où xx tend vers ++\infty :

Soit MM un réel.
Pour tout x>eMx>e^M, on a ln(x)>ln(eM)ln(x)>ln(e^M) ou encore ln(x)>Mln(x)>M car lnln est croissante.

Ainsi, tout intervalle de la forme ]M;+[]M ;+\infty[ contient ln(x)\text{ln}(x) pour xx suffisamment grand.

Ceci montre que limf(x)x+=+\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{f(x)}}=+\infty

  • Cas où xx tend vers 0+0^+

On effectue un changement de variable, on pose X=1xX=\dfrac1x, on obtient alors : ln x=ln1x=ln X\text{ln}\ x=-\text{ln} \dfrac1x=-\text{ln}\ X
Or limXx0+=+\lim\limits{\stackrel{x \to 0^+}{X}}=+\infty
Et limln Xx+=\lim\limits
{\stackrel{x \to +\infty}{-\text{ln}\ X}}=-\infty
Donc limln xx0+=\lim\limits_{\stackrel{x \to 0^+}{\text{ln}\ x}}=-\infty