Introduction
Nous nous sommes intéressés aux propriétés de la fonction logarithme népérien, en montrant par exemple la relation , pour tout et , réels strictement positifs ainsi qu’à la dérivée de que l’on a trouvée : .
Dans cette démonstration, nous allons nous intéresser aux limites de la fonction logarithme.
Prérequis
Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de cette propriété pré-requise :
la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur .
Démonstration
- Cas où tend vers :
Soit un réel.
Pour tout , on a ou encore car est croissante.
Ainsi, tout intervalle de la forme contient pour suffisamment grand.
Ceci montre que
- Cas où tend vers
On effectue un changement de variable, on pose , on obtient alors :
Or
Et
Donc