Démonstrations des limites de ln(x)

Nous nous sommes intéressés aux propriétés de la fonction logarithme népérien, en montrant par exemple la relation $ln(ab) = ln(a) + ln(b)$, pour tout $a$ et $b$, réels strictement positifs ainsi qu’à la dérivée de $ln(x)$ que l’on a trouvée : $ln(x) =\dfrac1x$.
Dans cette démonstration, nous allons nous intéresser aux limites de la fonction logarithme.

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de cette propriété pré-requise :

la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0 ;+\infty[$.

• Cas où $x$ tend vers $+\infty$ :

Soit $M$ un réel.
Pour tout $x>e^M$, on a $ln(x)>ln(e^M)$ ou encore $ln(x)>M$ car $ln$ est croissante.

Ainsi, tout intervalle de la forme $]M ;+\infty[$ contient $\text{ln}(x)$ pour $x$ suffisamment grand.

Ceci montre que $\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{f(x)}}=+\infty$

• Cas où $x$ tend vers $0^+$

On effectue un changement de variable, on pose $X=\dfrac1x$, on obtient alors : $\text{ln}\ x=-\text{ln} \dfrac1x=-\text{ln}\ X$
Or $\lim\limits_{\stackrel{x \to 0^+}{X}}=+\infty$
Et $\lim\limits_{\stackrel{x \to +\infty}{-\text{ln}\ X}}=-\infty$
Donc $\lim\limits_{\stackrel{x \to 0^+}{\text{ln}\ x}}=-\infty$