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Marianne

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Démonstration de l'équation cartésienne d’un vecteur normal à un plan
Démonstration

Introduction

Dans la géométrie euclidienne, un plan est défini par un ensemble infini de droites. Pour caractériser celui-ci, la manière la plus simple est d’utiliser un point et un vecteur, comme référence. Nous allons étudier le lien qui existe entre un plan et un vecteur qui lui est orthogonal.

Théorème :
On se place dans un repère (O;i;j;k)(O ;\vec i ; \vec j ;\vec k) orthonormé de l'espace.

Un plan PP de vecteur normal n(abc)\overrightarrow {n}\left( \begin{array}{ c c } a \ b\ c \end{array} \right) non nul, admet une équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 avec dd réel.

Prérequis

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de cette propriété pré-requise :

Si u\vec u et v\vec v sont orthogonaux, alors uv=0\vec u \cdot \vec v= 0

Démonstration

Soit un point AA de coordonnées (xAyAzA)\left( \begin{array}{ c c } xA \ yA\ z_A \end{array} \right) d'un plan PP, de vecteur normal n(abc)\overrightarrow {n}\left( \begin{array}{ c c } a \ b\ c \end{array}\right).

Si le point MM de coordonnées (xyz)\left( \begin{array}{ c c } x \ y\ z \end{array} \right) appartient au plan PP, alors AM\overrightarrow {AM} appartient au plan.

n\overrightarrow {n} étant orthogonal au plan, donc à tout vecteur du plan, on conclut que les vecteurs AM\overrightarrow {AM}et n\overrightarrow {n}sont orthogonaux. Or le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul. On a donc :

AMn=0a(xxA)+b(yyA)+c(zzA)=0axaxA+bybyA+czczA=0ax+by+czaxAbyAczA=0\begin{aligned}\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {n}=0 &\Leftrightarrow a(x-xA)+b(y-yA)+c(z-zA)=0\ &\Leftrightarrow ax-axA+by-byA+cz-czA=0 \ &\Leftrightarrow ax+by+cz-axA-byA-cz_A=0\end{aligned}

Si l'on pose d=axAbyAczAd=-axA-byA-cz_A

On obtient bien que MM appartient au plan PP, si et seulement si : ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0,

ce qui nous donne l’équation du plan PP.

On peut donc définir un plan PP à partir d’un point et d’un vecteur normal.