Introduction
Dans la géométrie euclidienne, un plan est défini par un ensemble infini de droites. Pour caractériser celui-ci, la manière la plus simple est d’utiliser un point et un vecteur, comme référence. Nous allons étudier le lien qui existe entre un plan et un vecteur qui lui est orthogonal.
Théorème :
On se place dans un repère orthonormé de l'espace.
Un plan de vecteur normal non nul, admet une équation cartésienne de la forme avec réel.
Prérequis
Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de cette propriété pré-requise :
Si et sont orthogonaux, alors
Démonstration
Soit un point de coordonnées d'un plan , de vecteur normal .
Si le point de coordonnées appartient au plan , alors appartient au plan.
étant orthogonal au plan, donc à tout vecteur du plan, on conclut que les vecteurs et sont orthogonaux. Or le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul. On a donc :
Si l'on pose
On obtient bien que appartient au plan , si et seulement si : ,
ce qui nous donne l’équation du plan .
On peut donc définir un plan à partir d’un point et d’un vecteur normal.