Cours Semaine 4 - Fonctions et proportionnalité
Fonctions et proportionnalité
Fonctions et proportionnalité
Comprendre et utiliser la notion de fonction
Comprendre et utiliser la notion de fonction
Définition
Une fonction est une relation qui, à un nombre donné (appelé antécédent), associe un unique nombre (appelé image). Elle se note souvent : $ f : x \mapsto f(x) $
Exemple
$ f(x) = 5x $
$ f(-3) = -15 $
$ f(0) = 0 $
$ f(1) = 5 $
$ f(8) = 40 $
Image et antécédent
Image et antécédent
Définition
Image : c’est le résultat donné par la fonction.
Antécédent : c’est le nombre dont on cherche l’image. Un même nombre a une seule image, mais une image peut avoir plusieurs antécédents.
Exemple
Avec $ g(x) = x^2 $ : $ g(8) = 64 $ et $ g(-8) = 64 $
$\Rightarrow$ $64$ a deux antécédents : $8$ et $-8$
📊 Tableau de valeurs
📊 Tableau de valeurs
Définition
Un tableau de valeurs permet de regrouper des antécédents et leurs images correspondantes.
Exemple
| $x$ | $-3$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| $f(x)=5x$ | $-15$ | $0$ | $5$ | $10$ | $15$ |
📈 Représentation graphique
📈 Représentation graphique
Définition
La courbe représentative d’une fonction est l’ensemble des points $ (x ; f(x)) $ dans un repère.
Astuce
Pour tracer une fonction :
- Construire un tableau de valeurs.
- Placer les points correspondants dans le repère.
- Relier ces points « à main levée ».
Astuce
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Fonction linéaire et proportionnalité
Fonction linéaire et proportionnalité
🔗 Proportionnalité
🔗 Proportionnalité
Définition
Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on passe de l’une à l’autre en multipliant par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.
Tableau de proportionnalité : les valeurs d’une ligne s’obtiennent en multipliant celles de l’autre ligne par un même nombre.
📘 Fonction linéaire
📘 Fonction linéaire
Définition
Une fonction linéaire est une fonction de la forme : $ f(x) = ax $ où $ a $ est un coefficient directeur.
Exemple
$ f(x) = 2x $, $ g(x) = -\dfrac{4}{3}x $
Propriété
- Toute fonction linéaire représente une situation de proportionnalité.
- Sa représentation graphique est une droite passant par l’origine.
Propriété :
📐 Représentation graphique
📐 Représentation graphique
Astuce
Pour tracer une droite représentant une fonction linéaire $ f(x) = ax $ :
- Placer le point $ (0 ; 0) $.
- Choisir une autre valeur de $ x $.
- Calculer $ f(x) $ et placer $ (x ; f(x)) $.
- Tracer la droite passant par ces deux points.
Astuce
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Fonctions affines
Fonctions affines
Définition
Une fonction affine est une fonction de la forme : $ f(x) = ax + b $ où :
- $ a $ est le coefficient directeur (ou pente),
- $ b $ est l’ordonnée à l’origine.
Cas particuliers :
- Si $ b = 0 $, c’est une fonction linéaire.
- Si $ a = 0 $, c’est une fonction constante.
📐 Représentation graphique
📐 Représentation graphique
Astuce
Pour tracer la courbe d’une fonction affine :
- Placer le point $ (0 ; b) $ sur l’axe des ordonnées.
- Calculer une autre image $ f(x) = ax + b $ pour un $ x $ facile.
- Relier les deux points.
Exemple
$ f(x) = 1{,}5x + 4{,}5 $
- Point 1 : $ (0 ; 4{,}5) $
- Point 2 : $ (2 ; f(2)) = (2 ; 7{,}5) $
Interprétation graphique
Interprétation graphique
Définition
- Si $ a > 0 $, la droite monte.
- Si $ a < 0 $, la droite descend.
- $ b $ est l’ordonnée à l’origine (intersection avec l’axe des ordonnées).
Astuce
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À retenir pour le brevet
À retenir pour le brevet
- Une fonction associe un antécédent à une image unique.
- Une fonction linéaire est de la forme $ f(x) = ax $ (proportionnalité).
- Une fonction affine est de la forme $ f(x) = ax + b $.
- Sa représentation est une droite.
- $ a $ indique la pente ; $ b $ l’ordonnée à l’origine.
- Pour tracer une droite, deux points suffisent.