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Savoir déterminer l'état probabiliste d'un système

Savoir déterminer l'état probabiliste d'un système
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Pré-requis

  • Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré dont la somme des poids des arêtes issues de chaque sommet vaut 11.
  • L’état probabiliste d’un système est une loi de probabilité sur l’ensemble des états possibles au cours d’une étape 11.
    Cette loi de probabilité est représentée par une matrice ligne dont la somme des termes vaut 11.
    On note Pn=(an bn)Pn=(an\ bn ) ou Pn=(an bn cn)Pn=(an\ bn\ c_n) la matrice ligne correspondant à l’état probabiliste à l’étape nn.
  • La matrice de transition MM d’un graphe probabiliste d’ordre nn dont les sommets sont numérotés de 11 à nn est la matrice carrée d’ordre nn où le terme figurant en ligne ii et colonne jj est égal au poids de l’arête allant de ii vers jj. Il est égal à 00 si cette arête n’existe pas. La somme des coefficients de chacune des lignes de MM est égale à 11.
  • Si nn désigne un entier naturel non nul, MM la matrice de transition d’un graphe probabiliste, P0P0 la matrice ligne décrivant l’état initial, PnPn l’état probabiliste à l’étape nn, alors Pn=P0×MnPn=P0 \times M^n
  • Un état probabiliste PP est dit stable lorsque P×M=PP \times M=P

Étude d’un exemple :
Le self le mercredi midi propose 22 menus : Steak haché – frites ou Plat du jour.
On a remarqué que :

  • Si un lycéen choisi le menu Steak haché – frites un mercredi, la probabilité qu’il le choisisse à nouveau le mercredi suivant est de 0,50,5.
  • Si un lycéen choisi le menu Plat du jour un mercredi, la probabilité qu’il le choisisse à nouveau le mercredi suivant est de 0,70,7.

On sélectionne un lycéen au hasard et on note AA l’état « le lycéen choisit le menu Steak haché – frites » et BB l’état « le lycéen choisit le menu Plat du jour ».
Le premier mercredi 62%62 \% des lycéens prennent le menu Steak haché – frites.

Etapes

Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste

Alt texte

Déterminer la matrice de transition de ce graphe

M=(m11m12m21m22)M =\begin{pmatrix} m{11} & m{12} \ m{21} & m{22} \end{pmatrix}

mijm{ij} ii la ligne et jj la colonne
m11m{11} est le poids de l’arête AA:0,5AA : 0,5
m12m{12} est le poids de l’arête AB:0,5AB : 0,5
m21m{21} est le poids de l’arête BA:0,3BA : 0,3
m22m_{22} est le poids de l’arête BB:0,7BB : 0,7

Donc ici la matrice est M=(0,50,50,30,7)M =\begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix}

Calculer l’état initial P0P0 et PnPn

On a 62%62\% des lycéens qui prennent le premier jour le menu AA donc A0=0,62A0=0,62
B0=100%−62%=38%B0= 100\%-62 \%=38\% donc 38%38\% des lycéens ont choisit le menu BB, donc B0=0,38B_0=0,38

P0=(A0 B0)=(0,62 0,38)P0=(A0\ B_0 )=(0,62\ 0,38)

L’état probabiliste à l’instant nn est donc Pn=P0×Mn=(0,62 0,38)×(0,50,50,30,7)nPn=P0×M^n=(0,62\ 0,38)\times \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix}^n

Il suffira ensuite de remplacer nn par sa valeur pour effectuer les calculs.

Calculer l’état stable

Un état probabiliste PP est stable si P×M=PP \times M=P.

Pour trouver l’état stable P=(A B)P=(A\ B) d’un graphe probabiliste d’ordre 22, on résout le système (S){A+B=1(AB)×M=(AB)(S) \begin{cases} A+B=1 \ \begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix}×M=\begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix} \end{cases}

PM=P  ⟺  (AB)×(0,50,50,30,7)=(AB)PM = P \iff \begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,5 & 0,5 \ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix}

  ⟺  (0,5A + 0,3B0,5A + 0,7B)=(AB)\iff \begin{pmatrix} 0,5A\ +\ 0,3B & 0,5A\ +\ 0,7B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix}

  ⟺  {0,5A +0,3B=A0,5A +0,7B=B\iff \begin{cases} 0,5A\ +0,3B = A \ 0,5A\ +0,7B = B \end{cases}

  ⟺  {−0,5A +0,3B=00,5A −0,3B=0\iff \begin{cases} -0,5A\ +0,3B = 0 \ 0,5A\ -0,3B = 0 \end{cases}

  ⟺  0,5A−0,3B=0\iff 0,5A -0,3B=0

Comme A+B=1A+B=1, l’état stable est solution du système (S)(S) :
(S):{A+B=10,5A−0,3B=0(S) : \begin{cases} A+B=1 \ 0,5A -0,3B=0 \end{cases}

(S):{B=1−A0,5A−0,3(1−A)=0(S) : \begin{cases} B=1 -A \ 0,5A -0,3(1-A)=0 \end{cases}

(S):{B=1−A0,5A−0,3−0,3A=0(S) : \begin{cases} B=1 -A \ 0,5A -0,3 -0,3 A=0 \end{cases}

(S):{B=1−A0,8A−0,3=0(S) : \begin{cases} B=1 -A \ 0,8A -0,3=0 \end{cases}

(S):{B=1−A0,8A=0,3(S) : \begin{cases} B=1 -A \ 0,8A =0,3 \end{cases}

(S):{B=1−AA=0,30,8=38(S) : \begin{cases} B=1 -A \ A =\dfrac{0,3}{0,8}=\dfrac3 8 \end{cases}

(S):{B=1−38=58A=38(S) : \begin{cases} B=1 - \dfrac 3 8=\dfrac 5 8 \ A =\dfrac3 8 \end{cases}

L’état stable est donc P=(3858)P=\begin{pmatrix} \dfrac 3 8 & \dfrac 5 8\end{pmatrix}.

Ce qui signifie : à long terme, le 38\dfrac{3} {8} des lycéens choisiront le menu « steak haché – frites » et les 38\dfrac{3} {8} restants le menu « plat du jour ».

Remarque : les états probabilistes à l’étape n,Pnn, P_n convergent vers l’état stable lorsque nn tend vers l’infini.