Savoir-faire : Savoir résoudre un système d'équation à l'aide des matrices

Dans la résolution d’un système de $n$ équations à $n$ inconnues :

• la matrice $A$ des coefficients du système est une matrice carrée d’ordre $n$ ;
• la matrice $X$ des inconnues est une matrice colonne à $n$ lignes ;
• la matrice $B$ des seconds membres est une matrice colonne à $n$ lignes.

Par exemple, si l’on considère le système :

On va utiliser les matrices suivantes pour résoudre ce système :

$A=\begin{pmatrix} 1&3\\2&4 \end{pmatrix}$ ; $:X=\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ ; $:B=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$

$A$ est une matrice carrée qui admet une matrice inverse $A^{-1}$.
Le système d’équations linéaires dont l’écriture matricielle est $A\times X=B$ admet une unique solution ; elle s’obtient en calculant $X=A^{-1}\times B$.

À l’aide d’une exemple nous allons montrer comment résoudre un système d'équation à l'aide des matrices.

Résoudre un système d’équation à l’aide des matrices $\bigg\lbrace \begin{aligned}1x+3y=5\\ 2x+4y=1\end{aligned}\ $

Écrire les matrices correspondantes

$\begin{pmatrix} 1&3\\2&4 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$.

Calculer la matrice inverse de $A$

À la calculatrice on obtient $A^{-1}=\begin{pmatrix} -2&1,5\\1&-0,5 \end{pmatrix}$.

Calculer $X=A^{-1}\times B$.

$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2&1,5\\1&-0,5 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix}$

Multiplier les deux matrices

$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\times5+1,5\times1\\1\times5+(-0,5)\times1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8,5\\4,5 \end{pmatrix}$

Le couple solution du système est donc $\bigg\lbrace \begin{aligned}x=-8,5\\y=4,5\end{aligned}\ $