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Savoir résoudre un système d'équation à l'aide des matrices
Savoir-faire

Pré-requis

Dans la résolution d’un système de nn équations à nn inconnues :

  • la matrice AA des coefficients du système est une matrice carrée d’ordre nn ;
  • la matrice XX des inconnues est une matrice colonne à nn lignes ;
  • la matrice BB des seconds membres est une matrice colonne à nn lignes.

Par exemple, si l’on considère le système :

matrices mathématiques spécialité terminale ES

On va utiliser les matrices suivantes pour résoudre ce système :

A=(1324)A=\begin{pmatrix} 1&3\2&4 \end{pmatrix} ; X=(xy)\:X=\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix} ; B=(51)\:B=\begin{pmatrix} 5\1 \end{pmatrix}

AA est une matrice carrée qui admet une matrice inverse A1A^{-1}.
Le système d’équations linéaires dont l’écriture matricielle est A×X=BA\times X=B admet une unique solution ; elle s’obtient en calculant X=A1×BX=A^{-1}\times B.

À l’aide d’une exemple nous allons montrer comment résoudre un système d'équation à l'aide des matrices.

Résoudre un système d’équation à l’aide des matrices {1x+3y=52x+4y=1 \bigg\lbrace \begin{aligned}1x+3y=5\ 2x+4y=1\end{aligned}\

Etapes

Écrire les matrices correspondantes

(1324)×(xy)=(51)\begin{pmatrix} 1&3\2&4 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\1 \end{pmatrix}.

Calculer la matrice inverse de AA

À la calculatrice on obtient A1=(21,510,5)A^{-1}=\begin{pmatrix} -2&1,5\1&-0,5 \end{pmatrix}.

Calculer X=A1×BX=A^{-1}\times B.

(xy)=(21,510,5)×(51)\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2&1,5\1&-0,5 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 5\1 \end{pmatrix}

Multiplier les deux matrices

(xy)=(2×5+1,5×11×5+(0,5)×1)=(8,54,5)\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\times5+1,5\times1\1\times5+(-0,5)\times1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8,5\4,5 \end{pmatrix}

Le couple solution du système est donc {x=8,5y=4,5 \bigg\lbrace \begin{aligned}x=-8,5\y=4,5\end{aligned}\