Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Savoir résoudre un système d'équation à l'aide des matrices
Découvrez, sur SchoolMouv, des milliers de contenus pédagogiques, du CP à la Terminale, rédigés par des enseignants de l’Éducation nationale.
Les élèves de troisième, de première ou de terminale bénéficient, en plus, de contenus spécifiques pour réviser efficacement leur brevet des collèges, leur bac de français ou leur baccalauréat édition 2023.
Savoir-faire

Pré-requis

Dans la résolution d’un système de nn équations à nn inconnues :

  • la matrice AA des coefficients du système est une matrice carrée d’ordre nn ;
  • la matrice XX des inconnues est une matrice colonne à nn lignes ;
  • la matrice BB des seconds membres est une matrice colonne à nn lignes.

Par exemple, si l’on considère le système :

matrices mathématiques spécialité terminale ES

On va utiliser les matrices suivantes pour résoudre ce système :

A=(1324)A=\begin{pmatrix} 1&3\2&4 \end{pmatrix} ; X=(xy)\:X=\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix} ; B=(51)\:B=\begin{pmatrix} 5\1 \end{pmatrix}

AA est une matrice carrée qui admet une matrice inverse A1A^{-1}.
Le système d’équations linéaires dont l’écriture matricielle est A×X=BA\times X=B admet une unique solution ; elle s’obtient en calculant X=A1×BX=A^{-1}\times B.

À l’aide d’une exemple nous allons montrer comment résoudre un système d'équation à l'aide des matrices.

Résoudre un système d’équation à l’aide des matrices {1x+3y=52x+4y=1 \bigg\lbrace \begin{aligned}1x+3y=5\ 2x+4y=1\end{aligned}\

Etapes

Écrire les matrices correspondantes

(1324)×(xy)=(51)\begin{pmatrix} 1&3\2&4 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\1 \end{pmatrix}.

Calculer la matrice inverse de AA

À la calculatrice on obtient A1=(21,510,5)A^{-1}=\begin{pmatrix} -2&1,5\1&-0,5 \end{pmatrix}.

Calculer X=A1×BX=A^{-1}\times B.

(xy)=(21,510,5)×(51)\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2&1,5\1&-0,5 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 5\1 \end{pmatrix}

Multiplier les deux matrices

(xy)=(2×5+1,5×11×5+(0,5)×1)=(8,54,5)\begin{pmatrix} x\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\times5+1,5\times1\1\times5+(-0,5)\times1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8,5\4,5 \end{pmatrix}

Le couple solution du système est donc {x=8,5y=4,5 \bigg\lbrace \begin{aligned}x=-8,5\y=4,5\end{aligned}\