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Savoir trouver la matrice inverse par le calcul
Savoir-faire

Pré-requis

Matrice inverse d’une matrice carrée :

$A$ est une matrice carrée d’ordre $n$.
Lorsqu’il existe une matrice carrée $A^{-1}$ d’ordre $n$ telle que $A^{-1}\times 1A=A\times A^{-1}=I_n$,
on dit que $A^{-1}$ est la matrice inverse de $A$.

Matrice identité :

$n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
La matrice identité $I_n$ est la matrice carrée d’ordre $n$ qui contient des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
Par exemple,$I_2=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}\:\text{ et }\:I_3=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\:$ sont des matrices unité.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment trouver la matrice inverse par le calcul.

Soit $A=\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix}$. Cherchons sa matrice inverse $A^{-1}=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$

Etapes

Ecrire la définition de la matrice inverse

$\boxed{A^{-1}\times A=I}$

Donc $\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$

Appliquer les règles d’opérations sur les matrices

$\:\boxed 1\:$ $\bigg\lbrace \begin{aligned} 2a+3b &=1 \\ 5a+8b &=0 \end{aligned}\:$ et $\:\boxed 2\:$ $\bigg\lbrace \begin{aligned}2c+3d&=0\\5c+8d&=1\end{aligned}\ $

Résoudre le premier système pour trouver $a$ et $b$

$\bigg\lbrace \begin{array}{}2a+3b=1\\5a+8b=0\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace \begin{array}{}2a+3b=1\\5a=-8b\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}2a+3b=1\\a=-\dfrac85b\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&2\big(-\dfrac85b\big)+3b=1\\&a=-\dfrac85b\end{aligned}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&-\dfrac{16}5b+\dfrac{15}5b=1\\&a=-\dfrac85b\end{aligned}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&-\dfrac15b=1\\&a=-\dfrac85b\end{aligned}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{aligned}&b=-5\\&a=-\dfrac85\times(-5)\end{aligned}$

$=8$

Résoudre le deuxième système pour trouver $c$ et $d$

$\bigg\lbrace \begin{array}{}2c+3d=0\\5c+8d=1\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}2c=-3d\\5c+8d=1\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\dfrac32d\\5c+8d=1\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\dfrac32d\\5(\frac {3}{2}d)+8d=1\end{array}$

$ \Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\frac{3}{2}d \\ -\frac{15}{2}d+\frac{16}{2}d=1\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\frac{3}{2}d\\ \frac{1}{2}d=1\Leftrightarrow d=2\end{array}$

$\Leftrightarrow\bigg\lbrace\begin{array}{}c=-\frac{3}{2}\times 2\Leftrightarrow c=-3\\d=2\end{array}$

Conclure

On obtient donc la matrice inverse suivante : $A^{-1}=\begin{pmatrix} 8&-5 \\ -3&2 \end{pmatrix}$.