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Savoir trouver la matrice inverse par le calcul
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Savoir-faire

Pré-requis

Matrice inverse d’une matrice carrée :

AA est une matrice carrée d’ordre nn.
Lorsqu’il existe une matrice carrée A1A^{-1} d’ordre nn telle que A1×1A=A×A1=InA^{-1}\times 1A=A\times A^{-1}=I_n,
on dit que A1A^{-1} est la matrice inverse de AA.

Matrice identité :

nn désigne un entier naturel supérieur ou égal à 22.
La matrice identité InIn est la matrice carrée d’ordre nn qui contient des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
Par exemple,I2=(1001) et I3=(100010001)I
2=\begin{pmatrix} 1&0 \ 0&1 \end{pmatrix}\:\text{ et }\:I_3=\begin{pmatrix} 1&0&0 \ 0&1&0 \ 0&0&1 \end{pmatrix}\: sont des matrices unité.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment trouver la matrice inverse par le calcul.

Soit A=(2538)A=\begin{pmatrix} 2&5\3&8 \end{pmatrix}. Cherchons sa matrice inverse A1=(abcd)A^{-1}=\begin{pmatrix} a&b\c&d \end{pmatrix}

Etapes

Ecrire la définition de la matrice inverse

A1×A=I\boxed{A^{-1}\times A=I}

Donc (2538)×(abcd)=(1001)\begin{pmatrix} 2&5\3&8 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} a&b\c&d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\0&1 \end{pmatrix}

Appliquer les règles d’opérations sur les matrices

1\:\boxed 1\: {2a+3b=15a+8b=0\bigg\lbrace \begin{aligned} 2a+3b &=1 \ 5a+8b &=0 \end{aligned}\: et 2\:\boxed 2\: {2c+3d=05c+8d=1 \bigg\lbrace \begin{aligned}2c+3d&=0\5c+8d&=1\end{aligned}\

Résoudre le premier système pour trouver aa et bb

{2a+3b=15a+8b=0\left\lbrace \begin{aligned}{}2a+3b&=1\5a+8b&=0\end{aligned}\right.

{2a+3b=15a=8b\Leftrightarrow\left\lbrace \begin{aligned}2a+3b&=1\5a&=-8b\end{aligned}\right.

{2a+3b=1a=85b\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}{}2a+3b&=1\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.

{2(85b)+3b=1a=85b\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}2\big(-\dfrac85b\big)+3b&=1\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.

{165b+155b=1a=85b\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}-\dfrac{16}5b+\dfrac{15}5b&=1\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.

{15b=1a=85b\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}-\dfrac15b&=1\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.

{b=5a=85×(5)\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}b&=-5\a&=-\dfrac85\times(-5)\end{aligned}\right.

{b=5a=8\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}b&=-5\a&=8\end{aligned}\right.

Résoudre le deuxième système pour trouver cc et dd

{2c+3d=05c+8d=1\left\lbrace \begin{aligned}2c+3d&=0\5c+8d&=1\end{aligned}\right.

{2c=3d5c+8d=1\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}2c&=-3d\5c+8d&=1\end{aligned}\right.

{c=32d5c+8d=1\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\dfrac32d\5c+8d&=1\end{aligned}\right.

{c=32d5(32d)+8d=1\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\dfrac32d\5(\frac {3}{2}d)+8d&=1\end{aligned}\right.

{c=32d152d+162d=1 \Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\frac{3}{2}d \ -\frac{15}{2}d+\frac{16}{2}d&=1\end{aligned}\right.

{c=32d12d=1d=2\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\frac{3}{2}d\ \frac{1}{2}d&=1\Leftrightarrow d=2\end{aligned}\right.

{c=32×2c=3d=2\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\frac{3}{2}\times 2\Leftrightarrow c=-3\d&=2\end{aligned}\right.

Conclure

On obtient donc la matrice inverse suivante : A1=(8532)A^{-1}=\begin{pmatrix} 8&-5 \ -3&2 \end{pmatrix}.