Savoir-faire : Savoir trouver la matrice inverse par le calcul

Matrice inverse d’une matrice carrée :

$A$ est une matrice carrée d’ordre $n$.
Lorsqu’il existe une matrice carrée $A^{-1}$ d’ordre $n$ telle que $A^{-1}\times 1A=A\times A^{-1}=I_n$,
on dit que $A^{-1}$ est la matrice inverse de $A$.

Matrice identité :

$n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
La matrice identité $I_n$ est la matrice carrée d’ordre $n$ qui contient des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.
Par exemple,$I_2=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}:\text{ et }:I_3=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}:$ sont des matrices unité.

À l’aide d’un exemple nous allons montrer comment trouver la matrice inverse par le calcul.

Soit $A=\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix}$. Cherchons sa matrice inverse $A^{-1}=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$

Ecrire la définition de la matrice inverse

$\boxed{A^{-1}\times A=I}$

Donc $\begin{pmatrix} 2&5\\3&8 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$

Appliquer les règles d’opérations sur les matrices

$:\boxed 1:$ $\bigg\lbrace \begin{aligned} 2a+3b &=1 \\ 5a+8b &=0 \end{aligned}:$ et $:\boxed 2:$ $\bigg\lbrace \begin{aligned}2c+3d&=0\\5c+8d&=1\end{aligned}\ $

Résoudre le premier système pour trouver $a$ et $b$

$\left\lbrace \begin{aligned}{}2a+3b&=1\\5a+8b&=0\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow\left\lbrace \begin{aligned}2a+3b&=1\\5a&=-8b\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}{}2a+3b&=1\\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}2\big(-\dfrac85b\big)+3b&=1\\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}-\dfrac{16}5b+\dfrac{15}5b&=1\\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}-\dfrac15b&=1\\a&=-\dfrac85b\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}b&=-5\\a&=-\dfrac85\times(-5)\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}b&=-5\\a&=8\end{aligned}\right.$

Résoudre le deuxième système pour trouver $c$ et $d$

$\left\lbrace \begin{aligned}2c+3d&=0\\5c+8d&=1\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}2c&=-3d\\5c+8d&=1\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\dfrac32d\\5c+8d&=1\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\dfrac32d\\5(\frac {3}{2}d)+8d&=1\end{aligned}\right.$

$ \Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\frac{3}{2}d \\ -\frac{15}{2}d+\frac{16}{2}d&=1\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\frac{3}{2}d\\ \frac{1}{2}d&=1\Leftrightarrow d=2\end{aligned}\right.$

$\Leftrightarrow\left\lbrace\begin{aligned}c&=-\frac{3}{2}\times 2\Leftrightarrow c=-3\\d&=2\end{aligned}\right.$

Conclure

On obtient donc la matrice inverse suivante : $A^{-1}=\begin{pmatrix} 8&-5 \\ -3&2 \end{pmatrix}$.