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Sujet bac L - Annale mathématiques 2014 - spécialité
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Session 2014

MATHÉMATIQUES

Série L

Enseignement spécialité

Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 4

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précison des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Le candidat s’assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement

Exercice 1 : (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. L’arbre de probabilités ci-dessous représente une situation où AA et BB sont deux événements, dont les événements contraires sont respectivement notés A\overline A et B.\overline B.

Alt texte

Alors :

a)P_A (B)=  0,18

b) P(A \cap B)=  0,9

c) PA(B)=0,7P_A(\overline B)=0,7  

d) P(B)=0,5P(\overline B)=0,5

2. Avec le même arbre, la probabilité de l’événement BB est égale à :

a) 0,5

b) 0,18

c) 0,26

d) 0,38

3. On considère une fonction f définie et continue sur l’intervalle [1 ;15][1\ ; 15]. Son tableau de variation est indiqué ci-dessous. 

Alt texte

Soit FF une primitive de la fonction ff sur l’intervalle [1 ;15][1\ ; 15]. On peut être certain que :

a) La fonction FF est négative sur l’intervalle [3 ;4][3\ ; 4].

b) La fonction FF est positive sur l’intervalle [4 ;12][4\ ; 12].

c) La fonction FF est décroissante sur l’intervalle [4 ;12][4\ ; 12].

d) La fonction FF est décroissante sur l’intervalle [1 ;3][1\ ; 3].

4. Pour tout réel xx de l’intervalle ] 0\ ; +\infty [ :
l’équation ln x+ln (x+3)=3ln2\text{ln}\ x+\text{ln}\ (x+3)=3\text{ln}2 est équivalente à l’équation :

a) 2x+3=62x+ 3 = 6

b) 2x+3=82x + 3= 8

c) x^2+3x= 6

d) x2+3x=8x^2+3x= 8
 5. gg est la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+[] 0\ ; +\infty [ par g(x)=5xg(x)=\frac{5}{x}.  On note CC sa courbe représentative.

L’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe CC, l’axe des abscisses, et les droites d’équations x=2x=2 et x=6, est égale à :

a) 5(ln6ln2)5 (\text{ln} 6-\text{ln} 2)

b) 16226g(x)dx\frac {1}{6-2} \int ^6_2 g(x)dx

c) 5 ln 6+5 ln 25\ \text{ln}\ 6+ 5\ \text{ln}\ 2

d) g(6)g(2)g(6)-g(2)

Exercice 2 : (5 points)

À l’automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d’un terrain de 1500 m21500\ m^2 entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20 % de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50 m250\ m^2 et la remplace par du gazon.

Pour tout nombre entier naturel nn, on note unun la surface en m2m^2 de terrain engazonné au bout de nn années, c’est-à-dire à l’automne 2010+n2010 + n. On a donc u0= 1500.

1. Calculer u1u_1.

2. Justifier que, pour tout nombre entier naturel nn, un+1=0,8un+50u{n+1}=0,8un+ 50.

3. On considère la suite (vn)(vn)  définie pour tout nombre entier naturel nn par : vn=un250vn=u_n- 250.

a) Démontrer que la suite (vn)(v_n) est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.

b) Exprimer vnvn en fonction de n.n.
En déduire que, pour tout nombre entier naturel un=250+1250×0,8nu
n=250+1250\times 0,8^n

c) Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ?

4.

a) Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l’entier naturel nn telle que : un=250+1250×0,8n<500u_n=250+1250\times 0,8^n<500
Interpréter le résultat obtenu.

b) Compléter l’algorithme fourni en annexe 1 pour qu’il affiche la solution obtenue à la question précédente.

5. Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain. A-t-il raison ? Justifier la réponse.

Exercice 3 : (5 points)

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A :

Chaque jour, Antoine s’entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 2020 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire XX qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [20 ;60][ 20\ ; 60 ].

1. Calculer la probabilité pp pour que l’entrainement dure plus de 30 minutes.

2. Calculer l’espérance de XX. Interpréter ce résultat.

Partie B :

Dans cette partie les probabilités seront, si besoin, arrondies au millième.

Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s’entraine sont dites de premier choix si leur diamètre est compris entre 56,75 mm et 57,25 mm ; sinon elles sont dites de second choix.

On note DD la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de l’entreprise, associe son diamètre, en millimètres.

On suppose que DD suit la loi normale d’espérance 57 et d’écart-type 0,11.

1. Déterminer la probabilité p1p_1 que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm.

2. Déterminer la probabilité p2p_2 que la boule prélevée soit une boule de premier choix.

3. En déduire la probabilité p3p_3 que la boule prélevée soit une boule de second choix.

Partie C :

Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses 14 000 licenciés quant à l’organisation des tournois.

Antoine estime que les 80 adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club : les 80 adhérents ont répondu, et 66 ont déclaré qu’ils étaient satisfaits.

1. Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée ff de personnes satisfaites de la FFB ?

2. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion pp de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l’intervalle seront arrondies au millième.

Exercice 4: (5 points)

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 15 heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang. On obtient la courbe fournie en annexe 2.

A. Étude graphique :

Avec la précision permise par le graphique, indiquer :

1. la concentration à l’instant initial ;

2. l’intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,4 gramme par litre. On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires.

B. Étude théorique :

On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction  définie sur l’intervalle [0 ;15][ 0\ ; 15 ] par : f(x)=(x+2)e0,5xf(x)=(x+2)e^{-0,5x}, où xx représente le nombre d’heures écoulées depuis l’instant initial et f(x)f(x) la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang.

1. On note f′ la fonction dérivée de la fonction ff. Justifier que f’(x)=-0,5xe^{-0,5x} et en déduire le tableau de variation de la fonction sur [0 ;15].[0\ ; 15].

2. Justifier que l’équation f(x)=0,1f(x)= 0,1 admet une unique solution α sur l’intervalle [0 ;15].[0\ ; 15].

3. Déterminer un encadrement de α\alpha d’amplitude un dixième.

4. Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous :

Alt texte

En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction ff sur l’intervalle [0 ;15][0\ ; 15] et préciser l’abscisse d’un éventuel point d’inflexion.

C. Interprétation des résultats :

En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous.

1. On estime que le médicament n’est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à 0,1 gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif ?

2. Au bout de combien d’heures la baisse de concentration ralentit-elle ?

Annexes – à rendre avec la copie

Annexe 1

Alt texte

Annexe 2

Alt texte