Sujet bac S - Annale physique-chimie 2010 - Spécialité

Cet exercice est constitué de trois parties indépendantes. Chaque partie correspond à l’étude d’un texte historique scientifique. Le premier concerne l’étude d’une réaction d’estérification. Les deux suivants traitent de l’étude de la trajectoire des satellites de Jupiter.

Plusieurs crises biologiques ont affecté le monde vivant au cours des temps géologiques. La limite Secondaire-Tertiaire, survenue il y a 65 millions d'années, correspond à l'une de ces crises.

1. Texte de Marcellin Berthelot (chimiste français 1827 - 1907) sur la réaction d’estérification

Dans cette partie, on étudie la transformation chimique entre l’acide éthanoïque et l’éthanol afin de comprendre la phrase notée en gras dans le texte.

Données :

Au laboratoire, on mélange dans un flacon, un volume V₁ = 57 mL d’acide éthanoïque et un volume V₂ = 58 mL d’éthanol. Le flacon est ensuite hermétiquement fermé et placé dans l’obscurité à température ambiante. On laisse le système évoluer pendant six mois  ; après cette durée, l’état final du système n’est pas encore atteint.

1.1. Étude des quantités de matière initiales des réactifs

• 1.1.1. Calculer la quantité de matière $n_1$ d’acide éthanoïque introduite dans le flacon.
• 1.1.2. Montrer que le mélange réalisé est équimolaire.

1.2. Étude du milieu réactionnel au bout de six mois
Au bout de six mois, le flacon est ouvert et on y prélève un volume V = 2,0 mL du mélange. L'acide éthanoïque restant dans ce prélèvement est dosé, à froid, à l’aide d’une solution d’hydroxyde de sodium de concentration $C_B = 1,00\ \text{mol} \cdot \text{L}^{-1}$ en présence de phénolphtaléine comme indicateur coloré de fin de dosage. Le volume équivalent est égal à V_E = 12,0 mL.

• 1.2.1. À l’aide des formules semi-développées, écrire l’équation de l’équilibre chimique d’estérification entre l’acide éthanoïque et l’éthanol.
• 1.2.2. Écrire l’équation de la réaction chimique support du dosage.
• 1.2.3. Définir l'équivalence du dosage et en déduire la quantité de matière $n_R$ d’acide éthanoïque restant au bout de six mois dans le prélèvement de 2,0 mL.
• 1.2.4. En supposant que le volume du milieu réactionnel est resté constant au cours du temps, en déduire la quantité de matière $n_{R}'$ d’acide éthanoïque restant au bout de six mois dans le milieu réactionnel.
• 1.2.5. Déterminer les quantités de matière de toutes les espèces chimiques présentes dans le flacon au bout de six mois. On peut s'aider éventuellement d’un tableau d’avancement.
• 1.2.6. À partir des résultats obtenus à la question précédente, justifier la phrase en gras dans le texte deBerthelot et Péan de Saint Gilles. Aucun calcul n’est demandé.

2. Texte d’Isaac Newton (physicien anglais 1642 – 1726) sur la loi de gravitation universelle

Dans cette partie, on étudie le mouvement du satellite Callisto par rapport à la planète Jupiter.

Données :

• constante de gravitation universelle : $G=6,67\times 10^{-11}\ \text{m}^{3}.\text{kg}^{-1}.\text{s}^{-2}$  ;
• la planète Jupiter de centre J et son satellite Callisto de centre C sont des astres que l’on considère à répartition de masse à symétrie sphérique ;
• la masse de Jupiter est égale à $M_J = 1,90 \times 10^{27}\text{ kg}$ et celle de Callisto est notée $M_C$  ;
• Callisto décrit autour de Jupiter une orbite circulaire de rayon $r = 1,88 \times 10^6\ \text{ km}$.

Le mouvement de Callisto est étudié dans le référentiel galiléen lié au centre de Jupiter, appelé référentiel jovicentrique.

2.1. Sans souci d’échelle, représenter sur un schéma la force $\overrightarrow{F}_{JC}$ exercée par Jupiter sur le satellite Callisto en orbite circulaire autour de Jupiter.

2.2. À propos des forces, donner la signification de chacune des deux parties de phrase en gras à la fin du texte de Newton.

2.3. En utilisant les notations de l’énoncé, donner l’expression vectorielle de la force $\overrightarrow{F}_{JC}$ . On note $\overrightarrow{u}_{JC}$ un vecteur unitaire de la droite (JC) dirigé de J vers C.

2.4. En appliquant la seconde loi de Newton à Callisto, déterminer l’expression du vecteur accélération $\overrightarrow{a}_{C}$ de son centre C.

2.5. On considère que le mouvement de Callisto est uniforme sur son orbite. On note $v_C$ la vitesse du centre C du satellite Callisto. Donner l’expression de l’accélération $a_C$ du centre C de Callisto en fonction de $v_C$ et $r$.

2.6. Montrer que la vitesse $v_C$ peut s’exprimer par : $V_C = \sqrt{\frac{G.M_J}{r}}$

2.7. Étude de la période de révolution du satellite Callisto autour de Jupiter.

3. Texte de Galilée (physicien italien 1564 - 1642) sur la découverte de quatre satellites de Jupiter

Par rapport à Jupiter, les orbites des satellites sont pratiquement circulaires et appartiennent quasiment au même plan (P) qui est celui de l'équateur de Jupiter. Les orbites sont représentées sur la figure 1. Les positions des satellites sont indiquées à une date donnée. Le schéma a été réalisé sans souci d’échelle.

3.1. Étude de la trajectoire des satellites de Jupiter observés par Galilée.
On admet que Galilée, regardant dans sa lunette depuis un point de la Terre, appartient au plan (P) défini précédemment.

3.2. Étude de la période de révolution du satellite Callisto autour de Jupiter.
La figure 2 donne les croquis réalisés à l’échelle par Galilée entre le 8 février 1610 et le 2 mars 1610.

La première partie de cet exercice traite de l’utilisation du rhénium 186 et la seconde partie de l’utilisation du phosphore 32. On s’intéresse à l'aspect physique des phénomènes, les aspects biologiques ne sont pas pris en compte.

Données :

• temps de demi-vie du rhénium $186 : t_{1/2} (^{186}_{Z}Re) = 3,7$ j (jours) ;
• constantes radioactives : $\lambda (^{186}_{Z}Re) = 2,2 \times10^{-6} \text{s}^{-1}$ ; $\lambda (^{32}_{15}P) = 5,6 \times10^{-7} \text{s}^{-1}$ ;
• masse molaire du rhénium 186 : $M(^{186}_{Z}Re) = 186\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}$ ;
• masses de quelques noyaux et particules : $m(^{32}_{15}P)=5,30803 \times 10^{-26}\text {kg}$ ;
  $m(^{32}_{16}P)=5,30763 \times 10^{-26} \text{kg}$ ;
  $m\big(_{\scriptsize-1}^{~~\scriptsize0} e\big)=\small 9,1 \times 10^{-31} \text{kg}$.
• célérité de la lumière dans le vide : $c = 3,0\times 10^8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ ;
• constante d'Avogadro : $N_A = 6,0 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$
• électron-volt : $1\ eV = 1,6 \times 10^{-19} \text{J}$.

1. Injection intra-articulaire d’une solution contenant du rhénium 186

1.1. Le rhénium $186 (^{186}_{Z}Re)$ est un noyau radioactif $\beta ^-$.
Sur le diagramme (N, Z) de la figure 3 ci-contre où N représente le nombre de neutrons et Z le nombre de protons, la courbe tracée permet de situer la vallée de stabilité des isotopes. Le point représentatif du noyau de rhénium 186 est placé au-dessus de cette courbe.

1.2. Le produit injectable se présente sous la forme d’une solution contenue dans un flacon de volume V_flacon = 10 mL ayant une activité A₀ = 3700 MBq à la date de calibration, c'est-à-dire à la sortie du laboratoire pharmaceutique. Pourquoi est-il précisé "à la date de calibration" en plus de l’activité ?

1.3. Calcul du volume de la solution à injecter.

2. Injection intraveineuse d'une solution contenant du phosphore 32

Carte d’identité du phosphore 32 :

L’injection en voie veineuse d’une solution contenant du phosphore 32 radioactif permet dans certains cas de traiter une production excessive de globules rouges au niveau des cellules de la moelle osseuse.

2.1. Donner la composition du noyau de phosphore 32.

2.2. À l’aide des masses données en début d’exercice et de la carte d’identité du phosphore 32, vérifier par un calcul la valeur E de l'énergie du rayonnement émis par la désintégration du phosphore 32.

2.3. Pour la très grande majorité d’entre eux, les noyaux fils obtenus lors de cette transformation ne sont pas dans un état excité. À quel type de rayonnement particulièrement pénétrant le patient n'est-il pas exposé ?

2.4. Rappeler la loi de décroissance du nombre N(t) de noyaux radioactifs d’un échantillon en fonction de $\lambda$ et $N_0$ (nombre de noyaux radioactifs à la date t = 0).

2.5. Définir le temps de demi-vie radioactive $t_{1/2}$ et établir la relation qui existe entre la demi-vie et la constante de désintégration radioactive $\lambda$.

2.6. Vérifier, par un calcul, la valeur approchée du temps de demi-vie proposée dans la carte d’identité ci-dessus.

L’objectif de cet exercice est d’étudier le principe de cette électrolyse, dite à anode soluble, qui permet de déposer une fine couche d’argent sur une pièce métallique.

Données :

• couple oxydant/réducteur : $Ag^+(aq)/ Ag(s)$ ;
• masse molaire atomique de l’argent : $M(Ag)=108\ \text{g}\cdot\text{mol}^{-1}$’ ;
• masse volumique de l’argent : $\rho (Ag)=10\ \text{g}\cdot\text{cm}^{-3}$ ;
• constante d’Avogadro : $NA=6,0 \times 10^{23} \text{mol}^{-1}$ ;
• charge électrique élémentaire : $e=1,6\times 10^{-19}$.

1. Principe de l’argenture électrolytique

Avant de recevoir l’argenture, la théière subit plusieurs traitements de la part de l’orfèvre : le métal est aplani, décapé, poli et dégraissé de manière à ce que le dépôt d’argent adhère bien par la suite.
La théière, une fois prête à recevoir l’argenture (figure 4), est plongée dans un bain nommé bain « d’argent brillant », solution contenant entre autres des ions dicyanoargentate en équilibre avec des ions argent.

La théière plongée dans ce bain joue le rôle de cathode. Des plaques d’argent pur, placées de chaque côté du bain, jouent le rôle d’anode. Un générateur de basse tension délivre dans l’électrolyseur ainsi constitué un courant d’intensité constante dont on peut régler la valeur.

1.1. On a simplifié le circuit d’électrolyse en résumant l’action des deux plaques d’argent en une seule sur la figure 5. Indiquer sur ce schéma, le sens conventionnel du courant électrique et le sens de déplacement des électrons.

1.2. Dans le bain « d’argent brillant », les ions argent réagissent à la cathode selon l’équation :

$$Ag^{+}_{(1)} (aq) + e^- =Ag_{(1)} (s) $$

Quel est l’intérêt d’avoir utilisé la théière comme cathode ?

1.3. À l’anode (notée $\small{(2)}$), l’argent métallique $Ag_{(2)}$ des plaques réagit, écrire l’équation de la réaction à cette électrode. On notera $Ag^{+}_{(2)}$􏰂 les ions argent intervenant à cette électrode. De quel type de réaction s’agit-il ?

1.4. À partir des questions 1.2 et 1.3, écrire l’équation de la réaction chimique ayant lieu lors de l’électrolyse. Pourquoi appelle-t-on cette électrolyse « électrolyse à anode soluble » ?

2. Étude quantitative de l’électrolyse

On souhaite argenter extérieurement et intérieurement la théière qui possède une surface totale $S = 850\ \text{cm}^2$ par un dépôt uniforme d’argent. La théière, qui joue le rôle de cathode, est plongée entièrement dans le bain d’argent brillant pendant une durée $\Delta t = 35\ \text{min}$. L’intensité du courant délivrée par le générateur est constante et vaut $I = 7,0 \text{A}$.

2.1. Exprimer la quantité d’électricité Q qui a traversé l’électrolyseur pendant une durée $\Delta t$.

2.2. Donner l’expression de la quantité de matière d’électrons échangés $n(e^-_{éch})$ pendant l’électrolyse en fonction de Q, $N_A$ et e.

2.3. Montrer que la masse d’argent métallique $m(Ag_{dép})$ déposée sur la théière pendant l’électrolyse a pour expression : $m(Ag_{dép})= \frac{I.\Delta t}{N_A .e} .M(Ag)$.
Calculer sa valeur.

2.4. Sur la figure 4, on voit que la théière est suspendue entre deux plaques d’argent jouant le rôle d’anode. Quel avantage présente ce dispositif pour le dépôt d’argent sur la théière ?

3. Qualité du dépôt d’argent sur la théière

Une fois l’électrolyse terminée, l’orfèvre doit appliquer un poinçon. Ce poinçon comporte les chiffres I ou II selon la qualité de fabrication correspondant à une certaine couche d’argent déposée sur la pièce (figure 6).

Les qualités I ou II dépendent de l’épaisseur moyenne du dépôt d’argent sur l’objet et du type d’objet argenté comme le montre le tableau ci-dessous :

3.1. Exprimer le volume $V(Ag_\text{dép})$ d’argent déposé sur la théière au cours de l’électrolyse en fonction de $m(Ag_\text{dép})$ et $\rho(Ag)$.

3.2. À partir de la question 2.3, calculer l’épaisseur moyenne d d’argent déposé sur la théière au cours de l’électrolyse.

3.3. Déduire des données du tableau ci-dessus, le poinçon de l’orfèvre à appliquer sur la théière restaurée.