Médaille
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Sujet 2 - enseignement scientifique
Fiche annale

ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE SUJET ZÉRO n° 2

L’usage d’une calculatrice est autorisé.

Exercice 1 : Des instruments, des notes et des gammes (10 points su 20)

Les instruments de musique produisent des sons auxquels l’oreille humaine associe certaines caractéristiques : hauteur, timbre et intensité. La répartition des notes dans une gamme a été retenue pour qu’elles sonnent de manière harmonieuse les unes par rapport aux autres. La recherche de cette harmonie a conduit à différents types de gammes, des gammes dites de Pythagore aux gammes tempérées.

Le sujet est composé de deux parties largement indépendantes

PARTIE 1 : Des instruments et des notes

Les cordes d’un piano vibrent lorsqu’elles sont frappées par de petits marteaux actionnés par les touches du clavier. Les sons produits par le piano résultent de ces vibrations.

piano sujet zéro

Calculer la fréquence associée au la4la4 située une octave au-dessus du la3la3.

On s’intéresse aux sons produits par ce piano. Un système d’acquisition informatisé permet l’enregistrement et la visualisation des signaux associés à ces sons.

signaux sujet zéro

  • Justifier que les figures 1 et 2 correspondent à deux notes différentes.
  • Identifier les notes correspondantes aux figures 1 et 2.

PARTIE 2 : Des notes et des gammes

La théorie musicale étant fondée sur des rapports de fréquences, on décide de simplifier les calculs en attribuant la valeur 11 (sans unité) à une fréquence choisie comme référence. Celle-ci correspond à une note de référence (par exemple 262Hz262\,\text{Hz} pour le do3do3). On retrouve ensuite les fréquences réelles en multipliant les valeurs calculées par la fréquence de la note de référence.
La construction des gammes dites de Pythagore est basée sur le cycle des quintes : on part de la fréquence de valeur f0=1f0=1. On construit une nouvelle fréquence, la quinte, en multipliant f0f0 par 32\dfrac{3}{2}. On réitère ce processus pour obtenir la quinte de la quinte, et ainsi de suite. À certaines étapes, le fait de multiplier par 32\dfrac{3}{2} une fréquence ff comprise entre 11 et 22 peut donner une fréquence supérieure ou égale à 22. On se propose de démontrer que, si on divise par 22 la valeur obtenue, on la ramène dans l’octave.

On suppose que 1f<21\leq f<2 et on raisonne par disjonction de cas :

  • premier cas : 1f<431\leq f<\dfrac{4}{3}. Montrer que 132×f<21\leq\dfrac{3}{2}\times f<2
  • deuxième cas : 43f<2\dfrac{4}{3}\leq f<2. Montrer que 232×f2\leq\dfrac{3}{2}\times f et 112×32f<21\leq\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}f<2

L’algorithme suivant permet de calculer les fréquences des notes successivement obtenues par ce processus jusqu’à ce qu’on retombe sur la fréquence initiale.

algorithme sujet zéro

Recopier et compléter le tableau ci-dessous en donnant les valeurs des 12 premières quintes obtenues par cet algorithme. Les résultats seront donnés d’abord sous forme exacte comme quotients d’une puissance de 22 par une puissance de 33, puis par leurs valeurs décimales approchées au centième obtenues à l’aide de la calculatrice.

fréquence sujet zéro

L’algorithme termine-t-il pour une valeur de nn inférieure ou égale à 1212 ?

Chacune des fréquences calculées est obtenue à partir de 11 par multiplications successives par 32\dfrac{3}{2} et parfois par 12\dfrac{1}{2}. Elles peuvent donc toutes s’écrire sous la forme 3m2n\dfrac{3^m}{2^n} où mm et nn sont des entiers naturels non nuls.

  • Démontrer que l’égalité 3m2n=1\dfrac{3^m}{2^n}=1 est impossible.
  • Que peut-on en déduire pour l’algorithme proposé ci-dessus ?

D’après ce qui précède, le cycle des quintes ne « reboucle » jamais exactement sur la note de départ. En s’appuyant sur le tableau de la question 4, justifier le choix de 12 notes dans une gamme construite selon ce principe.

Si on choisit comme fréquence de référence celle du do3do3, les fréquences réelles des autres notes sont obtenues en multipliant par 262262 les fréquences calculées dans le tableau de la question 4. En les rangeant dans l’ordre croissant et en arrondissant à l’unité, on obtient les fréquences des notes de la gamme de Pythagore à 12 notes :

notes sujet zéro

  • Comparer ces fréquences à celles inscrites sur les touches du piano de la partie 1.
  • Calculer au centième près les rapports entre la fréquence du dodo\sharp et celle du dodo puis entre la fréquence du reˊ et celle du dodo\sharp dans cette gamme. Que constate-t-on ?

  • Calculer au centième près les rapports entre la fréquence du dodo\sharp et celle du dodo, puis entre la fréquence du reˊ et celle du dodo\sharp dans la gamme figurant sur le piano représenté dans la partie 1. Que constate-t-on ?
  • Comment nomme-t-on la gamme figurant sur le piano ? En quoi diffère-t-elle de la gamme de Pythagore à 12 notes ?

La gamme utilisée est la gamme tempérée. Dans la gamme tempérée, l’intervalle séparant deux notes successives, appelé demi-ton, est toujours le même et vaut 21122^{\frac{1}{12}}, soit environ 1,061,06.

Exercice 2 : Différentes méthodes de datation au service de la géologie (10 points su 20)

La datation est une belle illustration de la coopération entre plusieurs champs disciplinaires : la paléontologie, la biologie, les sciences physiques notamment à travers les connaissances sur la désintégration radioactive et l’archéologie qui utilise ces savoirs scientifiques et ces techniques pour étudier le mode de vie passé des êtres humains préhistoriques.

PARTIE 1 : L’histoire de la détermination de l’âge de la Terre

âge Terre sujet zéro

En plus des méthodes présentées dans le texte du document 1, citez, à partir de vos connaissances, un autre argument géologique ou biologique qui permette d’invalider l’estimation de l’âge de la Terre proposée par Buffon.

Selon Buffon, la Terre devrait cesser d’être habitable après un certain temps. À partir du document 1, expliquer ce qui, dans ses hypothèses, a pu l’amener à cette conclusion.

Actuellement, la datation par désintégration radioactive de différents noyaux est une méthode courante. Elle a notamment permis d’estimer l’âge des peintures réalisées par les êtres humains préhistoriques.

PARTIE 2 : La datation des peintures rupestres de la grotte Chauvet par le carbone 14 (14C^{14}\text C)

Découverte en Ardèche, en 1994, la grotte Chauvet est célèbre pour ses peintures rupestres réalisées par des êtres humains préhistoriques. Ces peintures comptent parmi les plus anciennes connues. Leur âge a été estimé par la méthode de datation au carbone 14.

L’isotope 14C^{14}\text C de l’élément carbone se désintègre en azote 14N^{14}\text N et se régénère régulièrement en haute atmosphère à partir de l’azote de l’air : il se retrouve donc en proportion constante dans tous les milieux et tous les êtres vivants. Lorsqu’un être vivant meurt, son métabolisme s’interrompt et son carbone n’est plus renouvelé. En raison de la désintégration radioactive, pour un échantillon donné, le rapport P/P0\text{P}/\text{P}0 du nombre d’atomes 14C^{14}\text C résiduel (P\text{P}) sur le nombre d’atomes présents moment de la mort (P0\text{P}0) décroît au cours du temps.

Chauvet sujet zéro

bois sujet zéros

À partir de vos connaissances et des informations apportées par les documents 2 et 3, répondre aux questions suivantes.

Justifier que les oxydes minéraux ne peuvent pas être datés par la méthode du carbone 14, alors que la datation est possible pour le charbon de bois.

Nommer le mécanisme biologique à l’origine de la synthèse du glucose par les plantes terrestres et donner l’équation de réaction de cette synthèse de matière végétale (on veillera à ajuster les nombres stœchiométriques de l’équation). Préciser les organes impliqués dans les échanges entre la plante et son milieu.

Cocher la proposition exacte pour chaque question du questionnaire à choix multiple donné dans l’annexe À RENDRE AVEC LA COPIE.

Deux ensembles de mesures ont été réalisés pour la grotte Chauvet :

  • le premier, réalisé sur des fragments de charbon de bois prélevés sur les peintures, fournit des valeurs P/P0\text{P}/\text{P}0 comprises entre 1,5%1,5\,\% et 2,5%2,5\,\% ;
  • le second ensemble de mesures, réalisé à partir des prélèvements sur les mouchages de torche, fournit des valeurs comprises entre 3,5%3,5\,\% et 4,5%4,5\,\%.

Un graphique représentant le rapport P/P0\text{P}/\text{P}0 du nombre d’atomes 14C^{14}\text C résiduel sur le nombre d’atomes 14C^{14}\text C présent au moment de la mort en fonction du nombre d’années écoulées depuis la mort est donné sur la figure 1 de l’annexe À RENDRE AVEC LA COPIE.

En exploitant le graphique de la figure 1 (et le zoom inséré) de l’annexe À RENDRE AVEC LA COPIE, estimer, après l’avoir définie, la demi-vie du carbone 14.

Estimer par un encadrement l’ancienneté des traces de l’habitation de la grotte Chauvet par les êtres humains préhistoriques en datant les mouchages de torche et les traits réalisés à l’aide de charbons de bois.

Annexe à rendre avec la copie

Questionnaire à choix multiple

Cocher la proposition exacte pour chacune des deux affirmations QCM1 et QCM2 ci-dessous.

La date de désintégration d’un noyau individuel de 14C^{14}\text C dont on connaît la date de création (prise comme origine) est :

aléatoire égale à 5730ans5\,730\,\text{ans} prévisible comprise avec certitude entre 100100 et 10000ans10\,000\,\text{ans}

La durée nécessaire à la désintégration radioactive de la moitié des noyaux radioactifs d’un échantillon dépend :

du nombre initial de noyaux de la nature chimique des noyaux du volume de l’échantillon de la température

demi-vie sujet zéro