Sujet bac ES - Annale mathématiques 2011

La Caisse Nationale de l’Assurance Maladie des Travailleurs Salariés (CNAMTS) publie, chaque année, des statistiques sur les accidents du travail en France. Celles-ci permettent d’obtenir divers indicateurs, notamment l’indice de fréquence (nombre moyen d’accidents du travail avec arrêt pour 1000 salariés).

Le tableau ci-dessous donne l’évolution de l’indice de fréquence pour le secteur du BTP (Bâtiment et Travaux Publics) en France, au cours des années 2001 à 2009 :

1. Premier ajustement

Grâce à un logiciel, un élève a obtenu le nuage de points représentant la série statistique $(x_i\ ; y_i )$ et, par la méthode des moindres carrés, la droite d’ajustement de y en x dont une équation est $y = −2, 89x + 102, 59$ (les coefficients sont arrondis à 0,01).

2. Deuxième ajustement Un autre élève envisage un ajustement exponentiel de la série statistique $(x_i\ ; y_i ).$
On pose $z_i = \text{ln} y_i.$

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

La stratégie européenne de santé au travail a fixé comme objectif une réduction de 25 % de l’indice de fréquence entre 2007 et 2012. Peut-on prévoir d’atteindre cet objectif selon les deux ajustements précédents, que l’on suppose valables jusqu’en 2012 ?

Une chaı̂ne de production d’une usine fabrique des vêtements pour nourrissons. Une étude statistique a montré que :

• 12 % des vêtements fabriqués ont un défaut dans la couleur,
• parmi les vêtements ayant un défaut dans la couleur, 20 % ont un défaut dans la forme,
• parmi les vêtements n’ayant pas de défaut dans la couleur, 8 % présentent un défaut dans la forme.

On appelle $C$ l’événement « le vêtement présente un défaut dans la couleur » et $\overline C$ l’événement contraire.

On appelle $F$ l’événement « le vêtement présente un défaut dans la forme » et $\overline F$ l’événement contraire. Un employé choisit un vêtement au hasard, dans un lot de vêtements fabriqués et conformes à l’étude statistique ci-dessus.

1. Traduire les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré. 2.

3. Le directeur de l’usine affirme que 92 % des vêtements fabriqués ne présentent aucun défaut. Cette affirmation est-elle correcte ? Expliquer.

4. Les employés de l’usine sont autorisés à acheter des vêtements à tarif préférentiel. L’un d’entre eux choisit au hasard trois vêtements. Le nombre de vêtements fabriqués est suffisamment grand pour considérer que les trois choix sont indépendants. Quelle est la probabilité pour qu’aucun de ces trois vêtements choisis ne présente de défaut ? Le résultat sera arrondi à 10⁻³.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.

Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. La fonction $f$ est définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels $R$ par : $f (x) = e^{−2x+1}$

On note $f′$ sa fonction dérivée.

2. On donne le tableau de variation d’une fonction $g$ définie et continue sur l’intervalle $[−5\ ; 12]$.

(a)$\int^{2}_{-5} g(x) dx=7$

(b) L’équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions sur l’intervalle $[−5\ ; 12]$

(c) Pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[−5\ ; 8]$, $g(x) < 0$

3. La courbe $C$ donnée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction $h$ définie et dérivable sur l’intervalle $]0\ ; +\infty[$. La droite $(AB)$, tracée sur le graphique, est tangente à la courbe $C$ au point $B$ d’abscisse $1$.

On note $h′$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l’intervalle $]0\ ; +\infty[$.

(a) $h′ (1) = 0$

(b) $h′ (1) = 1, 5$

(c) $h′ (1) = -\frac{2}{3}$

4. Une seule des trois courbes ci-après est la représentation graphique d’une primitive de la fonction $h$ (introduite à la question 3.) sur l’intervalle $]0\ ; +\infty[$. Préciser laquelle.

Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d’euros, réalisé en vendant $x$ centaines d’objets fabriqués, est modélisé par la fonction B définie et dérivable sur l’intervalle $[0, 1\ ; 10]$ par : $B(x) = 10 \times \frac{1 + \text{ln}\ x}{x}$

Si $B(x)$ est positif, il s’agit d’un bénéfice ; s’il est négatif, il s’agit d’une perte.

1. Coraline utilise un logiciel de calcul formel. À plusieurs reprises, elle entre une commande, et le logiciel renvoie une réponse. Elle obtient l’écran suivant :

2.

Ce nombre représente le bénéfice mensuel moyen en milliers d’euros lorsque l’entreprise produit et vend chaque mois un nombre d’objets compris entre 50 et 150.

3. Pour quel nombre d’objets le bénéfice mensuel B est-il maximal ? Justifier la réponse par un calcul.