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Sujet bac ES - Annale mathématiques 2011
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2011

MATHÉMATIQUES

Série ES

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 5

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. La qualité de la rédaction, la claré et la précison des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

EXERCICE 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

La Caisse Nationale de l’Assurance Maladie des Travailleurs Salariés (CNAMTS) publie, chaque année, des statistiques sur les accidents du travail en France. Celles-ci permettent d’obtenir divers indicateurs, notamment l’indice de fréquence (nombre moyen d’accidents du travail avec arrêt pour 1000 salariés).

Le tableau ci-dessous donne l’évolution de l’indice de fréquence pour le secteur du BTP (Bâtiment et Travaux Publics) en France, au cours des années 2001 à 2009 :

Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Rang de l'année : xixi 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Indice de fréquence :yiyi 100,3 98,9 91,6 89,5 87,6 85,4 84,0 79,9 76,0

1. Premier ajustement

Grâce à un logiciel, un élève a obtenu le nuage de points représentant la série statistique (xi ;yi)(xi\ ; yi ) et, par la méthode des moindres carrés, la droite d’ajustement de y en x dont une équation est y=2,89x+102,59y = −2, 89x + 102, 59 (les coefficients sont arrondis à 0,01).

Alt texte

(a) En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu’en 2012, déterminer une estimation de l’indice de fréquence en l’année 2012.

(b) Quel serait le pourcentage d’évolution entre 2007 et 2012 de l’indice de fréquence selon ce modèle ? On arrondira le résultat à 10−2.

2. Deuxième ajustement Un autre élève envisage un ajustement exponentiel de la série statistique (xi ;yi).(xi\ ; yi ).
On pose zi=lnyi.zi = \text{ln} yi.

(a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs de ziz_i seront arrondies à 10−3).

xixi 1 2 3 4 5 6 7 8 9
zi=ln yizi=\text{ln}\ y_i 4,608 4,594 4,517            

(b) À l’aide de la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d’ajustement de zz en xx sous la forme z=ax+bz = ax + b, les coefficients aa et bb étant arrondis à 10−4.

(c) En déduire une expression de yy en fonction de xx sous la forme y=Ke0,0328xy = Ke^{-0,0328x}, KK étant une constante arrondie à 10−1 près.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

La stratégie européenne de santé au travail a fixé comme objectif une réduction de 25 % de l’indice de fréquence entre 2007 et 2012. Peut-on prévoir d’atteindre cet objectif selon les deux ajustements précédents, que l’on suppose valables jusqu’en 2012 ?

EXERCICE 2 (5 points)

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Une chaı̂ne de production d’une usine fabrique des vêtements pour nourrissons. Une étude statistique a montré que :

  • 12 % des vêtements fabriqués ont un défaut dans la couleur,
  • parmi les vêtements ayant un défaut dans la couleur, 20 % ont un défaut dans la forme,
  • parmi les vêtements n’ayant pas de défaut dans la couleur, 8 % présentent un défaut dans la forme.

On appelle CC l’événement « le vêtement présente un défaut dans la couleur » et C\overline C l’événement contraire.

On appelle FF l’événement « le vêtement présente un défaut dans la forme » et F\overline F l’événement contraire. Un employé choisit un vêtement au hasard, dans un lot de vêtements fabriqués et conformes à l’étude statistique ci-dessus.

1. Traduire les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré. 2.

(a) Calculer la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la couleur et un défaut dans la forme.

(b) Calculer la probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la forme.

(c) Les événements CC et FF sont-ils indépendants ? Justifier.

3. Le directeur de l’usine affirme que 92 % des vêtements fabriqués ne présentent aucun défaut. Cette affirmation est-elle correcte ? Expliquer.

4. Les employés de l’usine sont autorisés à acheter des vêtements à tarif préférentiel. L’un d’entre eux choisit au hasard trois vêtements. Le nombre de vêtements fabriqués est suffisamment grand pour considérer que les trois choix sont indépendants. Quelle est la probabilité pour qu’aucun de ces trois vêtements choisis ne présente de défaut ? Le résultat sera arrondi à 10−3.

EXERCICE 3 (4 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.

Recopier le numéro de chaque question et indiquer la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. La fonction ff est définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels RR par : f(x)=e2x+1f (x) = e^{−2x+1}

On note ff′ sa fonction dérivée.

(a) Pour tout xx de RR, f(x)=e2f′ (x) = e^{−2}

(b) Pour tout xx de RR, f(x)=e2x+1f ′ (x) = e^{−2x+1}

(c) Pour tout xx de RR, f(x)=2e2x+1f ′ (x) = −2e{−2x+1}

2. On donne le tableau de variation d’une fonction gg définie et continue sur l’intervalle [5 ;12][−5\ ; 12].

Alt texte

(a)52g(x)dx=7\int^{2}_{-5} g(x) dx=7

(b) L’équation g(x)=0g(x) = 0 admet exactement deux solutions sur l’intervalle [5 ;12][−5\ ; 12]

(c) Pour tout xx appartenant à l’intervalle [5 ;8][−5\ ; 8], g(x)<0g(x) < 0

3. La courbe CC donnée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction hh définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ;+[]0\ ; +\infty[. La droite (AB)(AB), tracée sur le graphique, est tangente à la courbe CC au point BB d’abscisse 11.

Alt texte

On note hh′ la fonction dérivée de la fonction hh sur l’intervalle ]0 ;+[]0\ ; +\infty[.

(a) h(1)=0h′ (1) = 0

(b) h(1)=1,5h′ (1) = 1, 5

(c) h(1)=23h′ (1) = -\frac{2}{3}

4. Une seule des trois courbes ci-après est la représentation graphique d’une primitive de la fonction hh (introduite à la question 3.) sur l’intervalle ]0 ;+[]0\ ; +\infty[. Préciser laquelle.

Alt texte

EXERCICE 4 (6 points)

Commun à tous les candidats

Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d’euros, réalisé en vendant xx centaines d’objets fabriqués, est modélisé par la fonction B définie et dérivable sur l’intervalle [0,1 ;10][0, 1\ ; 10] par : B(x)=10×1+ln xxB(x) = 10 \times \frac{1 + \text{ln}\ x}{x}

Si B(x)B(x) est positif, il s’agit d’un bénéfice ; s’il est négatif, il s’agit d’une perte.

1. Coraline utilise un logiciel de calcul formel. À plusieurs reprises, elle entre une commande, et le logiciel renvoie une réponse. Elle obtient l’écran suivant :

Alt texte

(a) Traduire sur le graphique donné en annexe, illustrant la courbe représentative de la fonction BB, les réponses 3, 4 et 5 renvoyées par le logiciel de calcul formel.

(b) Justifier la réponse 3 renvoyée par le logiciel de calcul formel. Interpréter cette valeur en terme de résultat mensuel pour l’entreprise.

2.

(a) Démontrer qu’une primitive de la fonction BB sur l’intervalle [0,1 ;10][0, 1\ ; 10] est la fonction FF définie sur [0,1 ;10][0, 1\ ; 10] par

F(x)=5 ln x(ln x+2)F (x) = 5\ \text{ln}\ x (\text{ln}\ x + 2)

(b) Calculer 0,51,5B(x)d(x)\int ^{1,5}_{0,5} B(x)d(x) puis en donner une valeur approchée à 10−3 près.

Ce nombre représente le bénéfice mensuel moyen en milliers d’euros lorsque l’entreprise produit et vend chaque mois un nombre d’objets compris entre 50 et 150.

3. Pour quel nombre d’objets le bénéfice mensuel B est-il maximal ? Justifier la réponse par un calcul.

Annexe à rendre avec la copie

Alt texte