Sujet bac ES - Annale mathématiques 2012 - spécialité

Sur le site http://www.agenciobio.org, on a extrait des informations concernant l'agriculture en France métropolitaire.

Document 1

Document 2

Partie A

1. D'après le document 2, la part de la surface en mode de production biologique dans la SAU est de 2,12 % en 2008. En utilisant le document 1, justifier par un calcul cette information.

2. Calculer le pourcentage d'évolution de la surface en mode de production biologique entre 2007 et 2008. Ce pourcentage sera arrondi à 0,01 %

Partie B

On a représenté, sur l'annexe, partie B, à rendre avec la copie, le nuage de points représentant la série statistique $(x_i\ ;y_i)$.

1. À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 10^-2.

2. Tracer cette droite dans le repère fourni sur l'annexe, partie B.

3. À l’occasion d’un TPE, un groupe d’élèves a trouvé sur une autre page du site qu’en 2009 et en 2010, les parts de la surface en mode de production biologique dans la SAU sont respectivement 2,46 % et 3,09 %. L'ajustement affine précédent est-il adapté à ces nouvelles données ?

Partie C

Pour la suite de ce TPE, les élèves ont modélisé à l'aide d’un logiciel l'évolution de la part de surface en mode de production biologique dans la SAU sur la période de 2001 à 2012 par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1\ ;12]$ par $f(x)=0,0096x^3-0,1448x^2+0,7132x+0,813$

Cet ajustement est représenté sur l'annexe, partie C.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

La Grenelle de l’environnement s’est fixé comme objectif d’avoir 6 % de la SAU en mode de production biologique en 2012. Selon ce modèle, peut-on espérer que cet objectif soit atteint ?

Une région se divise en deux zones :

• une zone A à proximité d’une grande agglomération,
• une zone B à proximité de la mer.

Chaque année, 20 % des habitants de la zone A partent habiter dans la zone B pour avoir un meilleur cadre de vie, et 5 % des habitants de la zone B partent habiter dans la zone A pour se rapprocher de lieu de travail.

On sait de plus qu’en 2010, 40 % de la population habitait en zone A.
On suppose que le nombre total d’habitants de la région reste constant au cours du temps.

Pour tout entier naturel $n$, l’état probabiliste correspondant à l'année $2010 + n$ est défini par la matrice ligne $P_n=\begin{pmatrix} a_n &b_n \end{pmatrix}$, où $a_n$ et $b_n$ désignent respectivement les proportions d’habitants des zones A et B.

1. Déterminer la matrice $P_0$ de l'état initial.

2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.

3. (a) Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets.
(b)Donner la répartition de la population en 2012.

4. Dans la question suivante, on considère la matrice ligne $P=\begin{pmatrix} a &b \end{pmatrix}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels tels que $a+b=1.$

(a) Déterminer $a$ et $b$ pour que $P=PM.$
(b) Les infrastructures de la zone B permettent d’accueillir au maximum $75\%$ de la population. Lors d’un conseil municipal, le maire affirme qu’il va falloir prévoir de nouvelles infrastructures. A-t-il raison?

Cet exercices est un QCM (questionnaire à choix multiples).

Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correcpondant à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 points, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

On a représenté ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthogonal, la courbe représentative $C$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $]0\ ;6]$. Le point $A(1\ ;4)$ appartient à la courbe $C$. La tangente en $A$ à la courbe $C$ est parallèle à l'axe des abcisses.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

1. Le nombre dérivé de la fonction $f$ en 1 est égal à :

a. 4

b. 0

c. 1

2. Intervalle ]0\ ;6], l’inéquation $f'(x)\geq 0$ admet comme ensemble de solutions :

a.$]0\ ;1]$

b. $]0\ ;6]$

c. $[1\ ;6]$

d.$[4\ ;9]$

3. On pose $I=\int ^{5}_{3}f(x)dx$. On peut affirmer que :

a. $12 < I < 13$

b. $0 < I < 2$

c. $5 < I <8$

d. $-2 < I < 0$

4. On appelle $F$ une primitive d ela fonction $f$ sur l’intervalle $]0\ ;6]$. L’expression de $F$ peut être :

a. $F(x)=\frac {1}{2} x^2+2x+1$

b. $F(x)=2+\frac {1}{x}$

c. $F(x)= \frac{1}{2}x^2+2x+\text{ln}\ x$

d. $F(x)= 2x+\text{ln}\ x$

Le bénéfice en milliers d’euros que réalise une entreprise lorsqu’elle fabrique et vend $x$ centaines d’objets (pour $x$ compris entre 0 et 6) est donné par

$f(x)=(200x-300)e^{-x-1}+10$

Alix a affiché sur l'écran de sa calculatrice la courbe représentative de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0\ ;6]$

Partie A : objectif «  réaliser un bénéfice maximal ».

L'écran ne permet pas à Alix de déterminer le bénéfice maximal. Il décide donc d'étudier la fonction $f$ sur l’intervalle $[0\ ;6]$ On admet que cette fonction est dérivable sur l’intervalle $[0\ ;6]$. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

1. Établir que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0\ ;6]$,

2. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0\ ;6]$.

3. En déduire le nombre d’objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximal.

Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à l’euro).

4. Proposer un réglage de la fenêtre graphique permettant de visualiser le maximum de la fonction $f$.

Partie B : objectif «  ne pas vendre ».

1. Au vu du graphique obtenu par Alix, à partir de combien d’objets l’entreprise ne vend-elle pas à perte ?

2. Démontrer que sur l’intervalle $[1\ ;2]$ l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution notée $\alpha$.

3. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à 10² près.

4. Préciser le nombre d’objets à partir duquel l’entreprise ne vend pas à perte.