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Sujet bac ES - Annale mathématiques 2013 - spécialité
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2013

MATHÉMATIQUES

Série ES

ENSEIGNEMENT SPÉCIALITÉ

Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 7

Les annexes sont à rendre avec la copie.

L’usage d’une calculatrice est autorisé.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précison des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Le candidat s'assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement.

Exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

Une usine de somposants électriques dispose de deux unités de production AA et B.B.
La production journalière de l’unité AA est de 600 pièces, celle de l’unité BB est de 900 pièces.

On prélève au hasard un composant de la production d’une journée.

La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité AA est égale à 0,014. La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité BB est égale à 0,024. On note :

  • DD l'évènement  : «  Le composant présente un défaut de soudure. »
  • AA l'évènement  : «  Le composant est produit par l’unité AA. »
  • BB l'évènement  : «  Le composant est produit par l’unité BB. »

On note p(D)p(D) la probabilité de l'évènement DD et pA(D)p_A(D) la probabilité de l'évènement DD sachant que l'évènement AA est réalisé.

Partie A : généralités

1)

a) D’après les données de l'énoncé, préciser pA(D)pA(D) et pB(D)pB(D).

b) Calculer pApA et pBpB

2) Recopier et compléder l'arbre de probabilités ci-dessous.

Alt texte

3)

a) Calculer pAD)pA\cap D) et pBD)pB\cap D)

b) En déduire p(D)p(D)

On prélève dans la production totale un composant présentant un défaut de soudure. Quelle est la probabilité qu’il provienne de l’unité AA1nbsp;?

Partie B : contrôle de qualité

On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 195 et 205 ohms. On admet que la variable aléatoire RR qui , à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale μ=200,5\mu=200,5 et d’écart-type=3,5.
On prélève un composant dans la production.

Les résultats seront arrondis à 0,00001 près, ils pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice ou de la table fournie en annexe 1.

1) Calculer la probabilité p1p_1 de l'évènement : «  la résistance du composant est supérieure à 211 ohms. »

2) Calculer la probabilité p2p_2 de l'évènement : «  la résistance du composant est comprise dans l’intervalle de tolérance indiqué dans l'énoncé. »

3) On prélève au hasard dans la production tros composants. On suppose que les prélèvements sont indépendants l’un d el'autre et que la probabilité qu’un composant soit accepté est égale à 0,84.0,84.
Déterminer la probabilité pp qu’exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés.

Exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.

Question 1

Un étudiant a travaillé durant l'été et dispose d’un capital de 2500 euros.

À partir du premier septembre 2013, il place son capital c0=2500c_0=2500 sur un compte rapportant 0,2 % d’intêrets composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros par mois.

On note cncn le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple le capital disponible au début du mois d’octobre vaudra : c1=1,002c0425=2080c1=1,002 c_0-425=2080 euros.

L'année universitaire s’achève à la fin du mois de juin 2014.

On admet que la suite des capitaux (cn)(c_n) est décrite par les relations :

  • (c0)=2500(c_0)=2500
  • Pour tout entier naturel nn, cn+1=1,002×cn425c{n+1}=1,002 \times cn -425

PROPOSITION : Sans apport supplémentaire l'étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.

Question 2

Sur I=]0 ;+[I=]0\ ;+\infty[, on définit la fonction ff par f(x)=2x+1ln x.f(x)=2x+1-\text{ln}\ x.

PROPOSITION : ff est une fonction convexe sur II.

Question 3

On définit sur l’intervalle I=]0 ;+[I=]0\ ;+\infty[, F(x)=2xln x2x+5F(x)= 2x \text{ln}\ x-2x+5. On a effectué à l'aide d’un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :

Alt texte

PROPOSITION : FF est une primitive de la fonction ff définie sur II par f(x)=2ln xf(x)=2\text{ln}\ x.

Question 4

XX est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance μ=0\mu=0 et d’écart-type σ=0,6\sigma=0,6.

PROPOSITION : P(0,6X0,6)0,68P(-0,6\leq X \leq 0,6)\approx 0,68

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute production est vendue.

L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note xx le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. (xx varie donc dans l’intervalle [0 ;3,6][0\ ;3,6]).

Le bénéfice hebdomadaire est noté B(x)B(x), il est exprimé en milliers d’euros.

L’objet de cet exercice est d'étudier cette fonction BB. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l'autre.

Partie A : étude graphique

On a représenté en annexe 2, la fonction BB dans un repère du plan.

Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.

Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.

1) Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égale à 13000 euros.

2) Quel est le bénéfice maximum enviasgeable pour l’entreprise ?

Pour quel nombre NN de poulies fabriquées et vendues semble t’il être réalisé ?

Partie B : étude théorique

Le bénéfice hebdomadaire noté B(x)B(x), exprimé en milliers d’euros vaut B(x)=5+(4x)exB(x)=-5+(4-x)e^x

1)

a) On note BB’ la fonction dérivée de la fonction BB.

Montrer que pour tout réel xx de l’intervalle [0 ;3,6][0\ ;3,6], on a B(x)=(3x)ex.B’(x)= (3-x)e^x.

b) Déterminer le signe de la fonction dérivée BB’ sur l’intervalle II.

c) Dresser le tableau de variation de la fonction BB sur l’intervalle II. On indiquera les valeurs de la fonction BB aux bornes de l’intervalle.

2)

a) Justifier que l'équation B(x)=13B(x)=13 admet deux solutions x1x1 et x2x2 l’une dans l’intervalle [0 ;3][0\ ;3] l'autre dans l’intervalle [3 ;3,6][3\ ;3,6]

b) À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,010,01 près de chacune des deux solutions.

Exercice 4 (5 points)

Candidats ayant suivis la spécialité

Un chauffeur-livreur réside en Italie dans la ville d’Aoste. Quatre fois par mois, son employeur l’envoie livrer du matériel informatique dans la ville de Florence.
Il est établi que le trajet en camion coûte; en carburant, 0,51 euros au kilomètre. Le chauffeur dispose d’un budget mensuel de 2200 euros pour son carburant. Ce qu’il réussit à économiser lui permet de toucher une prime P équivalente en fin de mois. Il consulte donc la carte routière ci-dessous pour optimiser ses trajets.
Le graphe ci-dessous indique les distances entre différentes ville d’Italie  : Aoste, Milan, Parme Turin, Gênes, La Spézia, Bologne et Florence. Chaque ville est désignée par son initiale.

Alt texte

Partie A : Étude du trajet

1) Déterminer le trajet le plus court entre Aoste et Florence. (On indiquera les villes parcourues et l’ordre de parcours).

2) Déterminer le budget carburant nécessaire aux quatre voyages aller-retour du mois (le résultat sera arrondi à l’euro près).
En déduire le montant d ela prime P qui lui sera versée en fin de mois, à l’euro près.

Partie B : Traversée de Parme

Durant son trajet, le chauffeur est obligé de traverser Parme et ses très nombreux feux tricolores. Lorsque le feu est orange, le chauffeur se comporte comme lorsqu’il est rouge, il s’arrête.
L’expérience lui a permis d'établir que s’il se présente à un feu, il se produite les évènement suivants :

  • Arrivé au feu, celui-ci est au vert (V) : la probabilité que le suivant soit au vert est de 0,85.
  • Arrivé au feu, celui-ci est orange ou rouge (R) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,30.

1) Représenter la situation par un graphe probabiliste.

2) Indiquer la matrice de transition M du graphe, en considérant les sommets dans l’ordre (V, R) en ligne comme en colonne.

3) Le premier feu rencontré est vert. La matrice P1P_1 donnant l'état initial est donc (1,0).

a) Déterminer les matrices P2=P1×MP2=P1 \times M et P3=P2×MP3= P2 \times M. (Le détail des calculs n’est pas demandé).

b) Conclure quant à l aprobabilité pp de l'évènement « Le chauffeur doit s'arrêter au troisième feu ».

Annexes- à rendre avec la copie

Annexe 1

Extrait de la table de la loi normale pour μ=200,5\mu=200,5 et σ=3,5\sigma=3,5

tt p(Xt)p(X\leq t) tt p(Xt)p(X\leq t) tt p(Xt)p(X\leq t)
186 0,0000 196 0,0993 206 0,9420
187 0,0001 197 0,1587 207 0,9684
188 0,0002 198 0,2375 208 0,9839
189 0,0005 199 0,3341 209 0,9924
190 0,0013 200 0,4432 210 0,9967
191 0,0033 201 0,5568 211 0,9987
192 0,0076 202 0,6659 212 0,9995
193 0,0161 203 0,7625 213 0,9998
194 0,0316 204 0,8473 214 0,9999
195 0,0580 205 0,9007 215 1,0000

Annexe 2

Alt texte