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Sujet bac ES - Annale mathématiques 2013
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2013

MATHÉMATIQUES

Série ES

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 5

L’usage d’une calculatrice est autorisé.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précison des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Le candidat s'assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement.

Exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

Une usine de somposants électriques dispose de deux unités de production AA et B.B.
La production journalière de l’unité AA est de 600 pièces, celle de l’unité BB est de 900 pièces.

On prélève au hasard un composant de la production d’une journée.

La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité AA est égale à 0,014. La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité BB est égale à 0,024. On note :

  • DD l'évènement  : «  Le composant présente un défaut de soudure. »
  • AA l'évènement  : «  Le composant est produit par l’unité AA. »
  • BB l'évènement  : «  Le composant est produit par l’unité BB. »

On note p(D)p(D) la probabilité de l'évènement DD et pA(D)p_A(D) la probabilité de l'évènement DD sachant que l'évènement AA est réalisé.

Partie A : généralités

1)

a) D’après les données de l'énoncé, préciser pA(D)pA(D) et pB(D)pB(D).

b) Calculer pApA et pBpB

2) Recopier et compléder l'arbre de probabilités ci-dessous.

Alt texte

3)

a) Calculer pAD)pA\cap D) et pBD)pB\cap D)

b) En déduire p(D)p(D)

On prélève dans la production totale un composant présentant un défaut de soudure. Quelle est la probabilité qu’il provienne de l’unité AA1nbsp;?

Partie B : contrôle de qualité

On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 195 et 205 ohms. On admet que la variable aléatoire RR qui , à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale μ=200,5\mu=200,5 et d’écart-type=3,5.
On prélève un composant dans la production.

Les résultats seront arrondis à 0,00001 près, ils pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice ou de la table fournie en annexe 1.

1) Calculer la probabilité p1p_1 de l'évènement : «  la résistance du composant est supérieure à 211 ohms. »

2) Calculer la probabilité p2p_2 de l'évènement : «  la résistance du composant est comprise dans l’intervalle de tolérance indiqué dans l'énoncé. »

3) On prélève au hasard dans la production tros composants. On suppose que les prélèvements sont indépendants l’un d el'autre et que la probabilité qu’un composant soit accepté est égale à 0,84.0,84.
Déterminer la probabilité pp qu’exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés.

Exercice 2 (4 points)

Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.

Question 1

Un étudiant a travaillé durant l'été et dispose d’un capital de 2500 euros.

À partir du premier septembre 2013, il place son capital c0=2500c_0=2500 sur un compte rapportant 0,2 % d’intêrets composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros par mois.

On note cncn le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple le capital disponible au début du mois d’octobre vaudra : c1=1,002c0425=2080c1=1,002 c_0-425=2080 euros.

L'année universitaire s’achève à la fin du mois de juin 2014.

On admet que la suite des capitaux (cn)(c_n) est décrite par les relations :

  • (c0)=2500(c_0)=2500
  • Pour tout entier naturel nn, cn+1=1,002×cn425c{n+1}=1,002 \times cn -425

PROPOSITION : Sans apport supplémentaire l'étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.

Question 2

Sur I=]0 ;+[I=]0\ ;+\infty[, on définit la fonction ff par f(x)=2x+1ln x.f(x)=2x+1-\text{ln}\ x.

PROPOSITION : ff est une fonction convexe sur II.

Question 3

On définit sur l’intervalle I=]0 ;+[I=]0\ ;+\infty[, F(x)=2xln x2x+5F(x)= 2x \text{ln}\ x-2x+5. On a effectué à l'aide d’un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :

Alt texte

PROPOSITION : FF est une primitive de la fonction ff définie sur II par f(x)=2ln xf(x)=2\text{ln}\ x.

Question 4

XX est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance μ=0\mu=0 et d’écart-type σ=0,6\sigma=0,6.

PROPOSITION : P(0,6X0,6)0,68P(-0,6\leq X \leq 0,6)\approx 0,68

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute production est vendue.

L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note xx le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. (xx varie donc dans l’intervalle [0 ;3,6][0\ ;3,6]).

Le bénéfice hebdomadaire est noté B(x)B(x), il est exprimé en milliers d’euros.

L’objet de cet exercice est d'étudier cette fonction BB. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l'autre.

Partie A : étude graphique

On a représenté en annexe 2, la fonction BB dans un repère du plan.

Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.

Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.

1) Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égale à 13000 euros.

2) Quel est le bénéfice maximum enviasgeable pour l’entreprise ?

Pour quel nombre NN de poulies fabriquées et vendues semble t’il être réalisé ?

Partie B : étude théorique

Le bénéfice hebdomadaire noté B(x)B(x), exprimé en milliers d’euros vaut B(x)=5+(4x)exB(x)=-5+(4-x)e^x

1)

a) On note BB’ la fonction dérivée de la fonction BB.

Montrer que pour tout réel xx de l’intervalle [0 ;3,6][0\ ;3,6], on a B(x)=(3x)ex.B’(x)= (3-x)e^x.

b) Déterminer le signe de la fonction dérivée BB’ sur l’intervalle II.

c) Dresser le tableau de variation de la fonction BB sur l’intervalle II. On indiquera les valeurs de la fonction BB aux bornes de l’intervalle.

2)

a) Justifier que l'équation B(x)=13B(x)=13 admet deux solutions x1x1 et x2x2 l’une dans l’intervalle [0 ;3][0\ ;3] l'autre dans l’intervalle [3 ;3,6][3\ ;3,6]

b) À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,010,01 près de chacune des deux solutions.

Exercice 4 (5 points)

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement spécialité

Dans cet exercice on étudie l'évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinéma, vidéos.;.)

On note DnD_n la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliard d’euros, au cours de l'année 1995+n1995+n

année 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
nn 0 1 2 3 4 5 6 7
DnD_n 4,95 5,15 5,25 5,4 5,7 6,3 6,55 6,9

année 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
nn 8 9 10 11 12 13 14 15
DnD_n 7,3 7,75 7,65 7,79 7,64 7,82 7,89 8,08

Soit ff la fonction défine pour tout nombre réel xx, par f(x)=0,0032x3+0,06x2+5.f(x)=-0,0032x^3+0,06x^2+5.
Pour tout entier nn vérifiant 0n200\leq n \leq20 on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d’euros, au cours de l'année nn par le nombre f(n)f(n).

1) Calculer f(5)f(5)

2) Déterminer le pourcentage pp, de l’erreur commise en remplaçant D5D_5 par f(5).f(5).
(Le pourcentage d’erreur est obtenu par le calcul : p=valeurreˊellevaleurestimeˊevaleurreˊellep=\frac {valeur réelle-valeur estimée}{valeur réelle} et le résultat sera donné à 0,1 % près.)

3) En utilisant la fonction ff, quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l'année 20132013 ?

4) On veut utiliser la fonction ff pour estimer la dépense moyenne des ménage entre le 1er janvier 19951995 et le 1er1^{er} janvier 20152015.

On calcule pour cela M=120020f(x)dxM=\frac {1}{20}\int ^{20}_{0} f(x) dx

a) déterminer une primitive FF de la fonction ff sur l’intervalle [0 ;20][0\ ;20].

b) Calculer MM

Annexes- à rendre avec la copie

Annexe 1

Extrait de la table de la loi normale pour μ=200,5\mu=200,5 et σ=3,5\sigma=3,5

tt p(Xt)p(X\leq t) tt p(Xt)p(X\leq t) tt p(Xt)p(X\leq t)
186 0,0000 196 0,0993 206 0,9420
187 0,0001 197 0,1587 207 0,9684
188 0,0002 198 0,2375 208 0,9839
189 0,0005 199 0,3341 209 0,9924
190 0,0013 200 0,4432 210 0,9967
191191 0,00330,0033 201201 0,55680,5568 211211 0,99870,9987
192 0,0076 202 0,6659 212 0,9995
193 0,0161 203 0,7625 213 0,9998
194 0,0316 204 0,8473 214 0,9999
195 0,0580 205 0,9007 215 1,0000

Annexe 2

Alt texte