Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Marianne

Conforme au programme
officiel 2018 - 2019

Sujet bac ES - Annale mathématiques 2014 - spécialité
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2014

MATHÉMATIQUES

Série ES

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 7

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précison des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Le candidat s’assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement

Exercice 1 : (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. L’arbre de probabilités ci-dessous représente une situation où AA et BB sont deux événements, dont les événements contraires sont respectivement notés A\overline A et B.\overline B.

Alt texte

Alors

a) P_A (B)=  0,18

b) P(A \cap B)=  0,9

c) PA(B)=0,7P_A(\overline B)=0,7  

d) P(B)=0,5P(\overline B)=0,5

2. Avec le même arbre, la probabilité de l’événement BB est égale à :

a) 0,5

b) 0,18

c) 0,26

d) 0,38

3. On considère une fonction f définie et continue sur l’intervalle [1 ;15][1\ ; 15]. Son tableau de variation est indiqué ci-dessous. 

Alt texte

Soit FF une primitive de la fonction ff sur l’intervalle [1 ;15][1\ ; 15]. On peut être certain que :

a) La fonction FF est négative sur l’intervalle [3 ;4][3\ ; 4].

b) La fonction FF est positive sur l’intervalle [4 ;12][4\ ; 12].

c) La fonction FF est décroissante sur l’intervalle [4 ;12][4\ ; 12].

d) La fonction FF est décroissante sur l’intervalle [1 ;3][1\ ; 3].

4. Pour tout réel xx de l’intervalle ]0 ;+[] 0\ ; +\infty [: l’équation ln x+ln (x+3)=3ln2\text{ln}\ x+\text{ln}\ (x+3)=3\text{ln}2 est équivalente à l’équation :

a) 2x+3=62x+ 3 = 6

b) 2x+3=82x + 3= 8

c) x^2+3x= 6

d) x2+3x=8x^2+3x= 8
 5. gg est la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+[] 0\ ; +\infty [ par g(x)=5xg(x)=\frac{5}{x}.  On note CC sa courbe représentative.

L’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine délimité par la courbe CC, l’axe des abscisses, et les droites d’équations x=2x=2 et x=6, est égale à :

a) 5(ln6ln2)5 (\text{ln} 6-\text{ln} 2)

b) 16226g(x)dx\frac {1}{6-2} \int ^6_2 g(x)dx

c) 5 ln 6+5 ln 25\ \text{ln}\ 6+ 5\ \text{ln}\ 2

d) g(6)g(2)g(6)-g(2)

Exercice 2 : (5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement spécialité

Alice participe à une compétition de tir à l'arc ; elle effectue plusieurs lancers de flèches.
Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 0,9.
Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, Alice se déconcentre et la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 0,4.
On suppose qu'au premier lancer, elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer.
Pour tout nombre entier naturel nn strictement positif, on note :
anan la probabilité qu’Alice atteigne la cible au nn-ième lancer ;
bnb
n la probabilité qu’Alice manque la cible au nn-ième lancer ;
Pn=\pmatrix{an &b_n} la matrice ligne traduisant l'état probabiliste au nn-ième lancer.

1.

a) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l'état « Alice atteint la cible » et B l'état « Alice manque sa cible »).

b) Indiquer la matrice de transition MM associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l’ordre (A,B).

c) Justifier que P1 =\pmatrix{0,5 &0,5} et P2 =\pmatrix{0,65 &0,35}.

2.

a) Montrer que, pour tout nombre entier nn strictement positif, an+1=0,9an+0,4bna{n+1} = 0,9an + 0,4b_n.

b) En déduire que, pour tout nombre entier nn strictement positif, an+1=0,5an+0,4a{n+1} = 0,5an + 0,4.

3.

a) Compléter l’algorithme fourni en annexe 1 de façon à ce qu’il affiche l'état probabiliste au nn-ième lancer.

b) Déterminer l'affichage de cet algorithme pour n=5n=5.

4.

a) On considère la suite (un)(un) définie pour tout nombre entier naturel nn strictement positif par : un=an0,8un =an-0,8.
Montrer que la suite (un)(u
n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) Donner l’expression de unun en fonction de nn, puis en déduire que pour tout nombre entier naturel nn strictement positif, an=0,80,3×0,5n1an=0,8-0,3 \times 0,5^{n-1}.

c) À long terme, que peut-on penser de la probabilité qu’Alice atteigne la cible ?

d) Par quelle autre méthode aurait-on pu trouver le résultat précédent ?

Exercice 3 : (5 points)

Commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A :

Chaque jour, Antoine s’entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire XX qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [20 ;60][ 20\ ; 60 ].

1. Calculer la probabilité pp pour que l’entrainement dure plus de 30 minutes.

2. Calculer l’espérance de XX. Interpréter ce résultat.

Partie B :

Dans cette partie les probabilités seront, si besoin, arrondies au millième.

Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s’entraine sont dites de premier choix si leur diamètre est compris entre 56,75 mm et 57,25 mm ; sinon elles sont dites de second choix.

On note DD la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de l’entreprise, associe son diamètre, en millimètres.

On suppose que DD suit la loi normale d’espérance 57 et d’écart-type 0,11.

1. Déterminer la probabilité p1p_1 que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57 mm.

2. Déterminer la probabilité p2p_2 que la boule prélevée soit une boule de premier choix.

3. En déduire la probabilité p3p_3 que la boule prélevée soit une boule de second choix.

Partie C :

Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses 14 000 licenciés quant à l’organisation des tournois.

Antoine estime que les 80 adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club : les 80 adhérents ont répondu, et 66 ont déclaré qu’ils étaient satisfaits.

1. Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée ff de personnes satisfaites de la FFB ?

2. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion pp de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l’intervalle seront arrondies au millième.

Exercice 4: (5 points)

Commun à tous les candidats

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant 15 heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang. On obtient la courbe fournie en annexe 2.

A. Étude graphique :

Avec la précision permise par le graphique, indiquer :

1. la concentration à l’instant initial ;

2. l’intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à 0,4 gramme par litre. On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires.

B. Étude théorique :

On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction  définie sur l’intervalle [0 ;15][ 0\ ; 15 ] par : f(x)=(x+2)e0,5xf(x)=(x+2)e^{-0,5x}, où xx représente le nombre d’heures écoulées depuis l’instant initial et f(x)f(x) la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang.

1. On note f′ la fonction dérivée de la fonction ff. Justifier que f’(x)=-0,5xe^{-0,5x} et en déduire le tableau de variation de la fonction sur [0 ;15].[0\ ; 15].

2. Justifier que l’équation f(x)=0,1f(x)= 0,1 admet une unique solution α sur l’intervalle [0 ;15].[0\ ; 15].

3. Déterminer un encadrement de α\alpha d’amplitude un dixième.

4. Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous :

Alt texte

En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction ff sur l’intervalle [0 ;15][0\ ; 15] et préciser l’abscisse d’un éventuel point d’inflexion.

C. Interprétation des résultats :

En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous.

1. On estime que le médicament n’est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à 0,1 gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif ?

2. Au bout de combien d’heures la baisse de concentration ralentit-elle ?

Annexes – à rendre avec la copie

Annexe 1

Alt texte

Annexe 2

Alt texte