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Marianne

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Sujet bac ES - Annale mathématiques 2016 - spécialité
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2016

MATHÉMATIQUES

Série ES

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 7

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précison des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Le candidat s’assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement

EXERCICE 1 – 4 points

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.

Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. Un organisme de formation désire estimer la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l’année 2013. Pour cela, il interroge un échantillon représentatif de 300 stagiaires. On constate que 225 sont satisfaits.

Alors, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l’année 2013 est :

(a) [0,713 ;0,771][0,713\ ; 0,771]

(b) [0,692 ;0,808][0,692\ ; 0,808]

(c) [0,754 ;0,813][0,754\ ; 0,813]

(d) [0,701 ;0,799][0,701\ ; 0,799]

2. En suivant la loi uniforme, on choisit un nombre au hasard dans l’intervalle [4 ;11][4\ ; 11]. La probabilité que ce nombre soit inférieur à 10 est :

(a) 611\frac {6}{11}

(b)107\frac {10}{7}

(c) 1011\frac {10}{11}

(d) 67\frac {6}{7}

3. On considère la fonction ff définie sur RR par f(x)=(x+1)e2𝑥+3f(x) = (x + 1)e^{−2𝑥+3}. La fonction ff est dérivable sur RR et sa fonction dérivée ff’ est donnée par :

(a) f(x)=2e2𝑥+3f(x) = −2e^{−2𝑥+3}

(b) f(x)=e2𝑥+3f’(x) = e^{−2𝑥+3}

(c) f(x)=(2𝑥+3)e2𝑥+3f’(x)= (−2𝑥 + 3)e^{−2𝑥+3}

(d) f(x)=(2𝑥1)e2𝑥+3f’(x) = (−2𝑥 − 1)e^{−2𝑥+3}

4. On considère une fonction ff définie et dérivable sur RR telle que sa fonction dérivée ff’ soit aussi dérivable sur RR. La courbe ci-contre représente la fonction ff’’.

Alt texte

On peut alors affirmer que :

(a) ff est convexe sur [2 ;2][−2\ ; 2].

(b) ff est concave sur [2 ;2][−2\ ; 2].

(c) La courbe représentative de ff sur [2 ;2][−2\ ; 2] admet un point d’inflexion.

(d) ff’ est croissante sur [2 ;2][−2\ ; 2].

EXERCICE 2 – 5 points

Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1er janvier 2014.
On admet que :

  • Si Hugo court un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,2 ;
  • s’il ne court pas un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,4.

On note C l’état « Hugo court » et R l’état « Hugo ne court pas ».
Pour tout entier naturel n, on note :

  • cnc_n la probabilité de l’événement « Hugo court le (n+1)(n + 1)-ième jour » ;
  • rnr_n la probabilité de l’événement « Hugo ne court pas le (n+1)(n + 1)-ième jour » ;
  • PnPn la matrice \pmatrix{cn &r_n} correspondant à l’état probabilite le (n+1)(n + 1)-ième jour.

Le 1er1^{er} janvier 2014, motivé, le jeune homme court.
On a donc P0=\pmatrix{c0 &r_0}=\pmatrix{1 &0}.

1. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et R.

2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets.

3. On donne M^6 = \pmatrix {0,750016 & 0,249984 \ 0,749952 & 0,250048}

Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité c6c6 qu’Hugo coure le 7e7^{e} jour ?
Déterminer une valeur approchée à 10-2 près de c6.c
6.

4.

a. Exprimer Pn+1P{n+1} en fonction en fonction de Pn.Pn.

b. Montrer que, pour tout entier naturel nn, cn+1=0,2cn+0,6.c{n+1} =0,2cn+0,6.

5. Pour tout entier naturel nn, on considère la suite (vn)(vn) définie par vn=cn0,75.vn=c_n-0,75.

a. Montrer que la suite (vn)(v_n ) est une suite géométrique de raison 0,2. Préciser le premier terme.

b.Exprimer vnvn en fonction de nn. Déterminer la limite de la suite (vn)(vn ).

c. Justifier que, pour tout entier naturel nn, cn=0,75+0,25×0,2nc_n=0,75+0,25\times 0,2^n.

d. Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu’Hugo coure le 29 décembre 2014 ?

e. Conjecturer alors l’état stable de ce graphe.
Comment valider votre conjecture ?

EXERCICE 3 – 5 points

Commun à tous les candidats

Un téléphone portable contient en mémoire 3 200 chansons archivées par catégories : rock, techno, rap, reggae… dont certaines sont interprétées en français.

Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock.

Une des fonctionnalités du téléphone permet d’écouter de la musique en mode « lecture aléatoire » : les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l’ensemble du répertoire.

Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture. On note :

  • RR l’événement : « la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock » ;
  • FF l’événement : « la chanson écoutée est interprétée en français ».

Les PARTIES A et B sont indépendantes.

PARTIE A

1. Calculer P(R)P(R), la probabilité de l’événement RR.

2. 35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français ; traduire cette donnée en utilisant les événements RR et FF.

3. Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu’elle soit interprétée en français.

4. Parmi toutes les chansons enregistrées 38,5 % sont interprétées en français.

Montrer que P(FR)=0,28P(F \cup \overline R)=0,28.

5. En déduire PR(F)P_{\overline R}(F) et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat.

PARTIE B

Les résultats de cette partie seront arrondis au millième.

Le propriétaire du téléphone écoute régulièrement de la musique à l’aide de son téléphone portable.

On appelle XX la variable aléatoire qui, à chaque écoute de musique, associe la durée (en minutes) correspondante ; on admet que XX suit la loi normale d’espérance μ=30\mu = 30 et d’écart-type σ=10.\sigma = 10.
Le propriétaire écoute de la musique.

1. Quelle est la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes ?

2. Quelle est la probabilité que cette écoute dure plus d’une heure ?

EXERCICE 4 – 6 points

Commun à tous les candidats

La courbe (C)(C) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction ff définie et dérivable sur [0,5 ;6][0,5\ ; 6]. Les points A(1;3)A(1 ; 3) et BB d’abscisse 1,51,5 sont sur la courbe (C)(C).
Les tangentes à la courbe (C)(C) aux points AA et BB sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point BB est horizontale.

Alt texte

On note ff’ la fonction dérivée de ff.

Les PARTIES A et B sont indépendantes.

PARTIE A : ÉTUDE GRAPHIQUE

1. Déterminer f(1,5)f’(1,5).

2. La tangente à la courbe (C)(C) au point AA passe par le point de coordonnées (0 ;2)(0\ ; 2). Déterminer une équation de cette tangente.

3. Donner un encadrement de l’aire, en unités d’aire et à l’unité près, du domaine compris entre la courbe (C)(C), l’axe des abscisses et les droites d’équation x=1x = 1 et x=2x = 2.

4. Déterminer la convexité de la fonction ff sur [0,5 ;6][0,5\ ; 6]. Argumenter la réponse.

PARTIE B : ÉTUDE ANALYTIQUE

On admet que la fonction ff est définie sur [0,5 ;6][0,5\ ; 6] par f(x)=2x+5+3ln(x)f(x) = −2x + 5 + 3\text{ln}(x).

1. Pour tout réel xx de [0,5 ;6][0,5\ ; 6], calculer f(x)f’(x) et montrer que f(x)=2x+3xf’(x)=\frac {-2x+3}{x}

2. Étudier le signe de ff’ sur [0,5 ;6][0,5\ ; 6] puis dresser le tableau de variation de ff sur [0,5 ;6][0,5\ ; 6].

3. Montrer que l’équation f(x)=0f(x)= 0 admet exactement une solution α\alpha sur [0,5 ;6][0,5\ ; 6]. Donner une valeur approchée de α\alpha à 10-2 près.

4. En déduire le tableau de signe de ff sur [0,5 ;6][0,5\ ; 6].

5. On considère la fonction 𝐹 définie sur [0,5 ;6][0,5\ ; 6] par F(x)=x2+2x+3xlnxF(x) = -x^2 + 2x + 3x\text{lnx}.

a. Montrer que FF est une primitive de ff sur [0,5 ;6][0,5\ ; 6].

b. En déduire l’aire exacte, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe (C)(C), l’axe des abscisses et les droites d’équation x=1x = 1 et x=2x = 2. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième.