BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2016
MATHÉMATIQUES
Série ES
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ |
Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 7
L’usage de la calculatrice est autorisé.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précison des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le candidat s’assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement |
EXERCICE 1 – 4 points
Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.
Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
1. Un organisme de formation désire estimer la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l’année 2013. Pour cela, il interroge un échantillon représentatif de 300 stagiaires. On constate que 225 sont satisfaits.
Alors, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l’année 2013 est :
(a)
(b)
(c)
(d)
2. En suivant la loi uniforme, on choisit un nombre au hasard dans l’intervalle . La probabilité que ce nombre soit inférieur à 10 est :
(a)
(b)
(c)
(d)
3. On considère la fonction définie sur par . La fonction est dérivable sur et sa fonction dérivée est donnée par :
(a)
(b)
(c)
(d)
4. On considère une fonction définie et dérivable sur telle que sa fonction dérivée soit aussi dérivable sur . La courbe ci-contre représente la fonction .
On peut alors affirmer que :
(a) est convexe sur .
(b) est concave sur .
(c) La courbe représentative de sur admet un point d’inflexion.
(d) est croissante sur .
EXERCICE 2 – 5 points
Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1er janvier 2014.
On admet que :
- Si Hugo court un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,2 ;
- s’il ne court pas un jour donné, la probabilité qu’il ne coure pas le lendemain est de 0,4.
On note C l’état « Hugo court » et R l’état « Hugo ne court pas ».
Pour tout entier naturel n, on note :
- la probabilité de l’événement « Hugo court le -ième jour » ;
- la probabilité de l’événement « Hugo ne court pas le -ième jour » ;
- la matrice \pmatrix{cn &r_n} correspondant à l’état probabilite le -ième jour.
Le janvier 2014, motivé, le jeune homme court.
On a donc P0=\pmatrix{c0 &r_0}=\pmatrix{1 &0}.
1. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et R.
2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique des sommets.
3. On donne M^6 = \pmatrix {0,750016 & 0,249984 \ 0,749952 & 0,250048}
Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité qu’Hugo coure le jour ?
Déterminer une valeur approchée à 10-2 près de
4.
a. Exprimer en fonction en fonction de
b. Montrer que, pour tout entier naturel ,
5. Pour tout entier naturel , on considère la suite définie par
a. Montrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,2. Préciser le premier terme.
b.Exprimer en fonction de . Déterminer la limite de la suite .
c. Justifier que, pour tout entier naturel , .
d. Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu’Hugo coure le 29 décembre 2014 ?
e. Conjecturer alors l’état stable de ce graphe.
Comment valider votre conjecture ?
EXERCICE 3 – 5 points
Commun à tous les candidats
Un téléphone portable contient en mémoire 3 200 chansons archivées par catégories : rock, techno, rap, reggae… dont certaines sont interprétées en français.
Parmi toutes les chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock.
Une des fonctionnalités du téléphone permet d’écouter de la musique en mode « lecture aléatoire » : les chansons écoutées sont choisies au hasard et de façon équiprobable parmi l’ensemble du répertoire.
Au cours de son footing hebdomadaire, le propriétaire du téléphone écoute une chanson grâce à ce mode de lecture. On note :
- l’événement : « la chanson écoutée est une chanson de la catégorie rock » ;
- l’événement : « la chanson écoutée est interprétée en français ».
Les PARTIES A et B sont indépendantes.
PARTIE A
1. Calculer , la probabilité de l’événement .
2. 35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français ; traduire cette donnée en utilisant les événements et .
3. Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu’elle soit interprétée en français.
4. Parmi toutes les chansons enregistrées 38,5 % sont interprétées en français.
Montrer que .
5. En déduire et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat.
PARTIE B
Les résultats de cette partie seront arrondis au millième.
Le propriétaire du téléphone écoute régulièrement de la musique à l’aide de son téléphone portable.
On appelle la variable aléatoire qui, à chaque écoute de musique, associe la durée (en minutes)
correspondante ; on admet que suit la loi normale d’espérance et d’écart-type
Le propriétaire écoute de la musique.
1. Quelle est la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes ?
2. Quelle est la probabilité que cette écoute dure plus d’une heure ?
EXERCICE 4 – 6 points
Commun à tous les candidats
La courbe ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction définie et dérivable sur . Les points et d’abscisse sont sur la courbe .
Les tangentes à la courbe aux points et sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point est horizontale.
On note la fonction dérivée de .
Les PARTIES A et B sont indépendantes.
PARTIE A : ÉTUDE GRAPHIQUE
1. Déterminer .
2. La tangente à la courbe au point passe par le point de coordonnées . Déterminer une équation de cette tangente.
3. Donner un encadrement de l’aire, en unités d’aire et à l’unité près, du domaine compris entre la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équation et .
4. Déterminer la convexité de la fonction sur . Argumenter la réponse.
PARTIE B : ÉTUDE ANALYTIQUE
On admet que la fonction est définie sur par .
1. Pour tout réel de , calculer et montrer que
2. Étudier le signe de sur puis dresser le tableau de variation de sur .
3. Montrer que l’équation admet exactement une solution sur . Donner une valeur approchée de à 10-2 près.
4. En déduire le tableau de signe de sur .
5. On considère la fonction 𝐹 définie sur par .
a. Montrer que est une primitive de sur .
b. En déduire l’aire exacte, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe , l’axe des abscisses et les droites d’équation et . En donner ensuite une valeur arrondie au dixième.