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Marianne

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Sujet bac ES - Annale mathématiques 2017
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2017

MATHÉMATIQUES

Série ES

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 5

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précison des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Le candidat s’assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement

EXERCICE 1 – 6 points

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième près.

1. Un supermarché dispose de plusieurs caisses. Un client qui se présente à une caisse doit attendre un certain temps T1T1 avant d’être pris en charge par le caissier. On considère que ce temps d’attente T1T1, exprimé en minute, est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [0 ;12][0\ ; 12].
a. Quelle est la probabilité qu'un client attende au moins 5 minutes avant d'être pris en charge ?
b. Quel est le temps moyen d'attente à une caisse ?

2. Le gérant du magasin décide de mettre à disposition des clients des caisses automatiques, de façon à réduire le temps d'attente pour les clients ayant un panier contenant peu d'articles.
Le temps d'attente T2T_2, exprimé en minute, à chacune de ces caisses automatiques est modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 5 et d’écart type 1,5. Calculer la probabilité que le temps d’attente à une caisse automatique soit compris entre 0,75 minute et 6 minutes.

3. Ces caisses automatiques tombent souvent en panne. On donne les informations suivantes.

  • Le nombre de caisses automatiques est n=10n = 10.
  • La probabilité qu’une caisse automatique tombe en panne pendant une journée donnée est p=0,1p = 0,1.
  • Une panne constatée sur une caisse automatique n'influence pas les autres caisses automatiques.

Soit XX la variable aléatoire correspondant au nombre de caisses automatiques qui tombent en panne pendant une journée donnée.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par XX ? Préciser ses paramètres.
b. Calculer la probabilité pour qu’aucune caisse automatique ne tombe en panne pendant une journée donnée.

4. Sur la devanture de son magasin, le gérant du supermarché affiche : « Plus de 90 % des clients de notre magasin sont satisfaits par la mise en place de nos caisses automatiques. »
Une association de consommateurs souhaite examiner cette affirmation. Pour cela, elle réalise un sondage : 860 clients sont interrogés, et 763 d’entre eux se disent satisfaits par la mise en place de ces caisses automatiques.
Cela remet-il en question l’affirmation du gérant ?

EXERCICE 2 – 5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement spécialité et candidats de la série L

Au 1er janvier 2017, une association sportive compte 900 adhérents. On constate que chaque mois :

  • 25 % des adhérents de l'association ne renouvellent pas leur adhésion ;
  • 12 nouvelles personnes décident d’adhérer à l’association.

PARTIE A

On modélise le nombre d'adhérents de l'association par la suite (un)(un) telle que u0=900u0 = 900 et, pour tout entier naturel nn, un+1=0,75un+12u{n+1}=0,75un+12 Le terme unu_n donne ainsi une estimation du nombre d’adhérents de l'association au bout de nn mois.

1. Déterminer une estimation du nombre d’adhérents au 1er mars 2017.

2. On définit la suite (vn)(vn) par vn=un48vn=un-48 pour tout entier naturel nn.
a. Montrer que (vn)(v
n) est une suite géométrique de raison 0,75.
b. Préciser v0v0 et exprimer vnvn en fonction de nn.
c. En déduire que, pour tout entier naturel nn, un=852×0,75n+48u_n=852\times 0,75^n+48

3. La présidente de l’association déclare qu’elle démissionnera si le nombre d’adhérents devient inférieur à 100. Si on fait l’hypothèse que l'évolution du nombre d'adhérents se poursuit de la même façon, faudra-t-il que la présidente démissionne ? Si oui, au bout de combien de mois ?

PARTIE B

Chaque adhérent verse une cotisation de 10 euros par mois. Le trésorier de l'association souhaite prévoir le montant total des cotisations pour l’année 2017.
Le trésorier souhaite utiliser l’algorithme suivant dans lequel la septième et la dernière ligne sont restées incomplètes (pointillés).

1. Recopier et compléter l’algorithme de façon qu’il affiche le montant total des cotisations de l’année 2017.

Variables SS est un nombre réel

NN est un entier

UU est un nombre réel

Initialisation SS prend la valeur 00

UU prend la valeur 900900

Pour NN allant de 11 à 1212 :

Affecter à SS la valeur …………

Affecter à UU la valeur 0,75U+120,75U+12

Fin pour

Sortie …………

2. Quelle est la somme totale des cotisations perçues par l’association pendant l’année 2017 ?

EXERCICE 3 – 6 points

Commun à tous les candidats

Une entreprise souhaite utiliser un motif décoratif pour sa communication.
Pour réaliser ce motif, on modélise sa forme à l'aide de deux fonctions ff et gg définies par : pour tout réel xx de [0 ;1][0\ ; 1], f(x)=(1x)e3xf(x) = (1 - x)e^{3x} et g(x)=x22x+1g(x)=x^2-2x+1. Leurs courbes représentatives seront notées respectivement Cf\mathcal{C}f et Cg\mathcal Cg.

sujet bac ES mathématiques annale 2017

PARTIE A

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants.

deˊriver((1x)*exp(3x))\text{dériver} ((1-x)^{*} \text{exp} (3x))
: 3x*exp(3*x)+2exp(3*x)-3x^{*}\text{exp}(3^{*}x)+2^{*}\text{exp}(3^{*}x)

factoriser3x*exp(3*x)+2exp(3*x)\text{factoriser} -3x^{*}\text{exp}(3^{*}x)+2^{*}\text{exp}(3^{*}x)
: exp(3x)*(3x+2)\text{exp}(3x)^{*}(-3x+2)

factoriser(deˊriver(exp(3x)*(3x+2)))\text{factoriser}( \text{dériver}(\text{exp}(3x)^{*}(-3x+2)))
: 3*exp(3*x)(13x)3^{*}\text{exp}(3^{*}x)(1-3x)

Lecture : la dérivée de la fonction ff est donnée par f(x)=3xe3x+2e3xf'(x)=-3xe^{3x}+2e^{3x}, ce qui, après factorisation, donne f(x)=(3x+2)e3xf'(x)=(-3x + 2)e^{3x}.

1. Étudier sur [0 ;1][0\ ; 1] le signe de la fonction dérivée ff', puis donner le tableau de variation de ff sur [0 ;1][0\ ; 1] en précisant les valeurs utiles.

2. La courbe Cf\mathcal C_f possède un point d’inflexion. Déterminer ses coordonnées.

PARTIE B

On se propose de calculer l’aire de la partie grisée sur le graphique.

1. Vérifier que les points AA et BB de coordonnées respectives (1 ;0)(1\ ; 0) et (0 ;1)(0\ ; 1) sont des points communs aux courbes Cf\mathcal Cf et Cg\mathcal Cg.

2. On admet que : pour tout xx dans [0 ;1][0\ ; 1], f(x)g(x)=(1x)(e3x1+x)f(x)-g(x)=(1-x)(e^{3x}-1+x).
a. Justifier que pour tout xx dans [0 ;1][0\ ; 1], e3x10e^{3x}-1\geq 0.
b. En déduire que pour tout xx dans [0 ;1][0\ ; 1], e3x1+x0e^{3x}- 1 + x\geq 0.
c. Étudier le signe de f(x)g(x)f(x)-g(x) pour tout xx dans [0 ;1][0\ ; 1].

3. a. Calculer 01g(x)dx\int ^1 0 g(x) \text{d}x
b. On admet que : 01f(x)dx=e349\int^1
0 f(x)\text{d}x=\dfrac{e^3-4}{9} Calculer l’aire SS, en unité d’aire, de la partie grisée. Arrondir le résultat au dixième.

EXERCICE 4 – 3 points

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on considère le premier chiffre des entiers naturels non nuls, en écriture décimale. Par exemple, le premier chiffre de 2017 est 2 et le premier chiffre de 95 est 9.
Dans certaines circonstances, le premier chiffre d’un nombre aléatoire non nul peut être modélisé par une variable aléatoire XX telle que pour tout entier cc compris entre 1 et 9, P(X=c)=ln(c+1)ln(c)ln(10)P(X=c)=\dfrac{\text{ln}(c+1)-\text{ln}(c)}{\text{ln}(10)}

Cette loi est appelée loi de Benford.

1. Que vaut P(X=1)P(X=1) ?

2. On souhaite examiner si la loi de Benford est un modèle valide dans deux cas particuliers.
a. Premier cas.
Un fichier statistique de l’INSEE indique la population des communes en France au 1er janvier 2016 (champ : France métropolitaine et départements d’outre-mer de la Guadeloupe, de la Guyane, de la Martinique et de la Réunion).
À partir de ce fichier, on constate qu’il y a 36 677 communes habitées. Parmi elles, il y a 11 094 communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre 1.
Cette observation vous semble-t-elle compatible avec l’affirmation : « le premier chiffre de la population des communes en France au 1er janvier 2016 suit la loi de Benford » ?
b. Deuxième cas.
Pour chaque candidat au baccalauréat de la session 2017, on considère sa taille en centimètres.
On désigne par XX la variable aléatoire égale au premier chiffre de la taille en centimètres d’un candidat pris au hasard.
La loi de Benford vous semble-t-elle une loi adaptée pour XX ?