Sujet bac ES - Annale mathématiques 2019 - spécialité

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Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

1. Pour tout événement $E$􏰀,on note $\bar{E}$ 􏰀􏰁l’événement contraire de $E$􏰀.
On considère l’arbre pondéré suivant :

Affirmation 1 : La probabilité de $\bar{R}$􏰂􏰁 sachant $S$ est 0,06.

2. Soit 􏰄$k$ un réel tel que $0\leq k < 18$. Soit 􏰇$X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[k; 18]$. On suppose que l’espérance de $X$􏰇 est égale à $12$.

Affirmation 2 : La valeur de 􏰄$k$ est $9$.

3. On considère l’équation suivante :

$$\ln\left(x^2\right)-\ln\left(\dfrac{x^5}{e} \right)+\ln(2)=\ln(2x)+5$$

Affirmation 3 : $\dfrac{1}{e}$􏰍􏰎 est l’unique solution de cette équation.

4. Soit 􏰏$f$ une fonction dérivable sur l’intervalle $[0;15]$. On suppose que sa􏰐􏰐 fonction dérivée, notée $f'$􏰏, est continue sur $[0 ; 15]$. Les variations de $f'$􏰏 sont représentées dans le tableau ci-dessous.

Affirmation 4 : La courbe représentative 􏰑􏰒$C_f$ de la fonction $f$􏰏 admet une et une seule tangente parallèle à l’axe des abscisses.

Affirmation 5 : La fonction $f$􏰏 est convexe sur $[5 ; 15]$.

Pour se rendre à l’université, Julie peut emprunter deux itinéraires, l’un passant par des routes départementales, l’autre par une voie rapide. Elle teste les deux itinéraires.
Lorsque Julie emprunte la voie rapide un jour, la probabilité qu’elle emprunte le même itinéraire le lendemain est de $0,6$. Lorsque Julie emprunte les routes départementales un jour, la probabilité qu’elle emprunte la voie rapide le lendemain est de $0,2$.
Le premier jour, Julie emprunte la voie rapide.

On note :

• 􏰓 $D$ l’événement « Julie emprunte les routes départementales » ;
• 􏰂 $R$ l’événement « Julie emprunte la voie rapide ».

1.
a) Traduire ces informations à l’aide d’un graphe probabiliste dont les sommets seront notés $D$ et $R$􏰂.
b) Donner la matrice d’adjacence $M$ correspondant au graphe probabiliste. Les sommets du graphe seront rangés dans l’ordre alphabétique.

2. Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, l’état probabiliste le $n$-ième jour est défini par la matrice $P_n=(d_n\ r_n)$ où $d_n$ désigne la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le $n$-ième jour et $r_n$ la probabilité que Julie emprunte la voie rapide le $n$-ième jour.
a) Donner􏰖􏰍 $P_1$.􏰉
b) Calculer $M^2$ et en déduire la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le 3^e jour.

3.
a) Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$ et en déduire les expressions de $d_{n+1}$ et $r_{n+1}$ en fonction de $d_n$ et $r_n$􏰙􏰗.
b) Parmi les algorithmes suivants, lequel donne les termes $d_3$ et $r_3$ ?

4. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $r_{n+1}= 0,4 r_n+ 0,2$.

5. On définit la suite $(v_n)$ par $v_n=r_n-\frac{1}{3}$ pour tout entier naturel 􏰕 non nul.
a) Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_1$.
b) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $$\begin{aligned} r_n&=\frac 1 3 +\frac 2 3 \times 0,4^{n-1}\\ &=\frac 1 3 +\frac 5 3 \times 0,4^n \\ \end{aligned}$$

c) Que peut-on prévoir sur le long terme ?

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.
Les résultats seront arrondis au centième.

Partie A
Les cours d’eau français sont surveillés quotidiennement afin de prévenir la population en cas de crue ou pénurie d’eau.
Dans une station hydrométrique, on mesure le débit quotidien d’une rivière.
Ce débit en mètre cube par seconde $(\text{m}^3\cdot\text{s}^{-1})$ peut être modélisé par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale de paramètres $\mu=15,5$ et $\sigma= 6$.

On estime qu’il y a pénurie d’eau lorsque le débit de la rivière est inférieur à $8\ \text{m}^3\cdot\text{s}^{-1}$. On estime qu’il y a un risque de crue lorsque le débit est supérieur à $26\ \text{m}^3\cdot\text{s}^{-1}$.
Entre ces deux débits, il n’y a pas de vigilance particulière.

1. Calculer la probabilité qu’il y ait pénurie d’eau.

2. Calculer la probabilité qu’il n’y ait pas de vigilance particulière.

3. Justifier, sans utiliser la calculatrice, que la probabilité que le débit observé soit compris entre $3,5\ \text{m}^3\cdot\text{s}^{-1}$ et $27,5\ \text{m}^3\cdot\text{s}^{-1}$ est d’environ $0,95$.

Partie B
Deux équipes effectuent les relevés de débit du cours d’eau sur la station hydrométrique. Sébastien appartient à la première équipe.
Un quart des relevés est effectué par l’équipe de Sébastien, le reste par la seconde équipe.

On choisit $10$ relevés au hasard sur l’ensemble des relevés de la station, ensemble qui est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à $10$ tirages avec remise. On s’intéresse au nombre de relevés effectués par l’équipe de Sébastien parmi ces $10$ relevés.

1. Quelle loi de probabilité modélise cette situation ? Préciser les paramètres de cette loi.

2. Calculer la probabilité que $4$ relevés exactement soient effectués par l’équipe de Sébastien.

3. Calculer la probabilité qu’au moins $2$ relevés soient effectués par l’équipe de Sébastien.

Partie C
Ces relevés sont utilisés pour tester la qualité de l’eau : « satisfaisante » ou « non satisfaisante ». On s’intéresse à la proportion de relevés de qualité « satisfaisante ».

Combien, au minimum, faut-il effectuer de relevés pour obtenir un intervalle au niveau de confiance de $95\ \%$ dont l’amplitude est inférieure à $0,1$ ?

Un ébéniste décide de refaire les accoudoirs d’un fauteuil (ébauche du fauteuil en annexe 1). On modélise l’accoudoir à l’aide de la fonction $f$ définie sur $[0 ; 60]$ par : $$f(x)=70+(14x+42)\text{e}^{-\frac{x}{5}}$$

La courbe représentative de $f$, notée $C_f$ est donnée en annexe 2.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $[0 ; 60]$. On note $f^\prime$ sa fonction dérivée et $f^{\prime \prime}$ sa fonction dérivée seconde.

Partie A
Dans toute cette partie, les réponses sont obtenues graphiquement à partir de la courbe représentative de 􏰏 donnée en annexe 2.

On admet que le point $A$ de $C_f$ d’abscisse $7$ est un point d’inflexion de $C_f$.

1. Déterminer une valeur approchée de $f(0)$ et $f(60)$.

2. Déterminer $f^{\prime \prime}(7)$.

3. On considère la surface située entre l’axe des abscisses, la courbe $C_f$, et les droites d’équation $x= 0$ et $x= 60$.

a) Hachurer la surface décrite ci-dessus sur l’annexe 2.

b) L’ébéniste estime l’aire de cette surface à $3\ 800$ unités d’aire. Cette estimation est-elle correcte ?

Partie B

1. Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 60]$ on a : $$f^\prime(x)=\frac 1 5 (-14x+28)\text{e}^{-\frac{x}{5}}$$

2.
a)Étudier le signe de $f^\prime(x)$ sur l’intervalle $[0;60]$.

b) Dresser le tableau de variations de la fonction 􏰏 sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
On arrondira à l’unité près les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations.

3. Un logiciel de calcul formel permet d’afficher les lignes suivantes :

En utilisant les résultats ci-dessus, étudier la convexité de $f$.

4. Pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 60]$, on pose : $$g(x)=(14x+42)\text{e}^{-\frac{x}{5}}$$

$$G(x)=(-70x-560)\text{e}^{-\frac{x}{5}}$$

a) Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.

b) En déduire une primitive de $f$ 􏰏sur l’intervalle $[0;60]$.

c) Calculer la valeur exacte de $\int_{0}^{60} f(x)\text d x$, puis en donner une valeur approchée à l’unité d’aire près.

Partie C

L’ébéniste découpe $2$ accoudoirs identiques sur le modèle de la surface hachurée de l’annexe 1 en choisissant comme unité le $\text{cm}$.
Il souhaite vernir les deux faces de chaque accoudoir (annexe 1) ainsi que le dossier 2 du fauteuil dont l’aire est égale à $5\ 400\ \text{cm}$. Or il lui reste le quart d’un petit pot de 2 vernis pouvant couvrir $10\ \text{m}^2$.
Aura-t-il suffisamment de vernis ?

Exercice 4
Annexe 1 : ébauche du fauteuil

Annexe 2