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Sujet bac ES - Annale mathématiques 2019 - spécialité
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2019

Vendredi 21 juin 2019


MATHÉMATIQUES – Série ES

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

DURÉE DE L’ÉPREUVE : 3 heures. – COEFFICIENT : 7


Ce sujet comporte 8 pages numérotées de 1/8 à 8/8, dont l’annexe 1 et l’annexe 2 page 8/8 sont à rendre avec la copie.

L’usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Le candidat s’assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement (obligatoire ou spécialité).

Exercice 1 (5 points)
Commun à tous les candidats

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.

1. Pour tout événement EE􏰀,on note Eˉ\bar{E} 􏰀􏰁l’événement contraire de EE􏰀.
On considère l’arbre pondéré suivant :

Alt texte

Affirmation 1 : La probabilité de Rˉ\bar{R}􏰂􏰁 sachant SS est 0,06.

2. Soit 􏰄kk un réel tel que 0k<180\leq k < 18. Soit 􏰇XX une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [k;18][k; 18]. On suppose que l’espérance de XX􏰇 est égale à 1212.

Affirmation 2 : La valeur de 􏰄kk est 99.

3. On considère l’équation suivante :

ln(x2)ln(x5e)+ln(2)=ln(2x)+5\ln\left(x^2\right)-\ln\left(\dfrac{x^5}{e} \right)+\ln(2)=\ln(2x)+5

Affirmation 3 : 1e\dfrac{1}{e}􏰍􏰎 est l’unique solution de cette équation.

4. Soit 􏰏ff une fonction dérivable sur l’intervalle [0;15][0;15]. On suppose que sa􏰐􏰐 fonction dérivée, notée ff'􏰏, est continue sur [0;15][0 ; 15]. Les variations de ff'􏰏 sont représentées dans le tableau ci-dessous.

Alt texte

Affirmation 4 : La courbe représentative 􏰑􏰒CfC_f de la fonction ff􏰏 admet une et une seule tangente parallèle à l’axe des abscisses.

Affirmation 5 : La fonction ff􏰏 est convexe sur [5;15][5 ; 15].

Exercice 2 (5 points)

Candidats de ES ayant suivi la spécialité

Pour se rendre à l’université, Julie peut emprunter deux itinéraires, l’un passant par des routes départementales, l’autre par une voie rapide. Elle teste les deux itinéraires.
Lorsque Julie emprunte la voie rapide un jour, la probabilité qu’elle emprunte le même itinéraire le lendemain est de 0,60,6. Lorsque Julie emprunte les routes départementales un jour, la probabilité qu’elle emprunte la voie rapide le lendemain est de 0,20,2.
Le premier jour, Julie emprunte la voie rapide.

On note :

  • 􏰓 DD l’événement « Julie emprunte les routes départementales » ;
  • 􏰂 RR l’événement « Julie emprunte la voie rapide ».

1.
a) Traduire ces informations à l’aide d’un graphe probabiliste dont les sommets seront notés DD et RR􏰂.
b) Donner la matrice d’adjacence MM correspondant au graphe probabiliste. Les sommets du graphe seront rangés dans l’ordre alphabétique.

2. Pour tout entier nn supérieur ou égal à 11, l’état probabiliste le nn-ième jour est défini par la matrice Pn=(dn rn)Pn=(dn\ rn) où dndn désigne la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le nn-ième jour et rnrn la probabilité que Julie emprunte la voie rapide le nn-ième jour.
a) Donner􏰖􏰍 P1P
1.􏰉
b) Calculer M2M^2 et en déduire la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le 3e jour.

3.
a) Exprimer, pour tout entier naturel nn non nul, Pn+1P{n+1} en fonction de PnPn et en déduire les expressions de dn+1d{n+1} et rn+1r{n+1} en fonction de dndn et rnrn􏰙􏰗.
b) Parmi les algorithmes suivants, lequel donne les termes d3d3 et r3r3 ?

terminale es sujet bac spécialité mathématiques

4. Montrer que, pour tout entier naturel nn non nul, rn+1=0,4rn+0,2r{n+1}= 0,4 rn+ 0,2.

5. On définit la suite (vn)(vn) par vn=rn13vn=rn-\frac{1}{3} pour tout entier naturel 􏰕 non nul.
a) Démontrer que (vn)(v
n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme v1v1.
b) Exprimer vnv
n en fonction de nn puis démontrer que, pour tout entier naturel nn non nul : rn=13+23×0,4n1=13+53×0,4n\begin{aligned} r_n&=\frac 1 3 +\frac 2 3 \times 0,4^{n-1}\ &=\frac 1 3 +\frac 5 3 \times 0,4^n \ \end{aligned}

c) Que peut-on prévoir sur le long terme ?

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.
Les résultats seront arrondis au centième.

Partie A
Les cours d’eau français sont surveillés quotidiennement afin de prévenir la population en cas de crue ou pénurie d’eau.
Dans une station hydrométrique, on mesure le débit quotidien d’une rivière.
Ce débit en mètre cube par seconde (m3s1)(\text{m}^3\cdot\text{s}^{-1}) peut être modélisé par une variable aléatoire DD qui suit la loi normale de paramètres μ=15,5\mu=15,5 et σ=6\sigma= 6.

On estime qu’il y a pénurie d’eau lorsque le débit de la rivière est inférieur à 8 m3s18\ \text{m}^3\cdot\text{s}^{-1}. On estime qu’il y a un risque de crue lorsque le débit est supérieur à 26 m3s126\ \text{m}^3\cdot\text{s}^{-1}.
Entre ces deux débits, il n’y a pas de vigilance particulière.

1. Calculer la probabilité qu’il y ait pénurie d’eau.

2. Calculer la probabilité qu’il n’y ait pas de vigilance particulière.

3. Justifier, sans utiliser la calculatrice, que la probabilité que le débit observé soit compris entre 3,5 m3s13,5\ \text{m}^3\cdot\text{s}^{-1} et 27,5 m3s127,5\ \text{m}^3\cdot\text{s}^{-1} est d’environ 0,950,95.

Partie B
Deux équipes effectuent les relevés de débit du cours d’eau sur la station hydrométrique. Sébastien appartient à la première équipe.
Un quart des relevés est effectué par l’équipe de Sébastien, le reste par la seconde équipe.

On choisit 1010 relevés au hasard sur l’ensemble des relevés de la station, ensemble qui est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à 1010 tirages avec remise. On s’intéresse au nombre de relevés effectués par l’équipe de Sébastien parmi ces 1010 relevés.

1. Quelle loi de probabilité modélise cette situation ? Préciser les paramètres de cette loi.

2. Calculer la probabilité que 44 relevés exactement soient effectués par l’équipe de Sébastien.

3. Calculer la probabilité qu’au moins 22 relevés soient effectués par l’équipe de Sébastien.

Partie C
Ces relevés sont utilisés pour tester la qualité de l’eau : « satisfaisante » ou « non satisfaisante ». On s’intéresse à la proportion de relevés de qualité « satisfaisante ».

Combien, au minimum, faut-il effectuer de relevés pour obtenir un intervalle au niveau de confiance de 95 %95\ \% dont l’amplitude est inférieure à 0,10,1 ?

Exercice 4 (5 points)

Commun à tous les candidats

Un ébéniste décide de refaire les accoudoirs d’un fauteuil (ébauche du fauteuil en annexe 1). On modélise l’accoudoir à l’aide de la fonction ff définie sur [0;60][0 ; 60] par : f(x)=70+(14x+42)ex5f(x)=70+(14x+42)\text{e}^{-\frac{x}{5}}

La courbe représentative de ff, notée CfC_f est donnée en annexe 2.
On admet que la fonction ff est deux fois dérivable sur l’intervalle [0;60][0 ; 60]. On note ff^\prime sa fonction dérivée et ff^{\prime \prime} sa fonction dérivée seconde.

Partie A
Dans toute cette partie, les réponses sont obtenues graphiquement à partir de la courbe représentative de 􏰏 donnée en annexe 2.

On admet que le point AA de CfCf d’abscisse 77 est un point d’inflexion de CfCf.

1. Déterminer une valeur approchée de f(0)f(0) et f(60)f(60).

2. Déterminer f(7)f^{\prime \prime}(7).

3. On considère la surface située entre l’axe des abscisses, la courbe CfC_f, et les droites d’équation x=0x= 0 et x=60x= 60.

a) Hachurer la surface décrite ci-dessus sur l’annexe 2.

b) L’ébéniste estime l’aire de cette surface à 3 8003\ 800 unités d’aire. Cette estimation est-elle correcte ?

Partie B

1. Justifier que pour tout nombre réel xx de l’intervalle [0;60][0 ; 60] on a : f(x)=15(14x+28)ex5f^\prime(x)=\frac 1 5 (-14x+28)\text{e}^{-\frac{x}{5}}

2.
a)Étudier le signe de f(x)f^\prime(x) sur l’intervalle [0;60][0;60].

b) Dresser le tableau de variations de la fonction 􏰏 sur l’intervalle [0;60][0 ; 60].
On arrondira à l’unité près les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variations.

3. Un logiciel de calcul formel permet d’afficher les lignes suivantes :

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En utilisant les résultats ci-dessus, étudier la convexité de ff.

4. Pour tout nombre réel xx de l’intervalle [0;60][0 ; 60], on pose : g(x)=(14x+42)ex5g(x)=(14x+42)\text{e}^{-\frac{x}{5}}

et

G(x)=(70x560)ex5G(x)=(-70x-560)\text{e}^{-\frac{x}{5}}

a) Montrer que GG est une primitive de gg sur l’intervalle [0;60][0 ; 60].

b) En déduire une primitive de ff 􏰏sur l’intervalle [0;60][0;60].

c) Calculer la valeur exacte de 060f(x)dx\int_{0}^{60} f(x)\text d x, puis en donner une valeur approchée à l’unité d’aire près.

Partie C

L’ébéniste découpe 22 accoudoirs identiques sur le modèle de la surface hachurée de l’annexe 1 en choisissant comme unité le cm\text{cm}.
Il souhaite vernir les deux faces de chaque accoudoir (annexe 1) ainsi que le dossier 2 du fauteuil dont l’aire est égale à 5 400 cm5\ 400\ \text{cm}. Or il lui reste le quart d’un petit pot de 2 vernis pouvant couvrir 10 m210\ \text{m}^2.
Aura-t-il suffisamment de vernis ?

Annexes : à rendre avec la copie

Exercice 4
Annexe 1 : ébauche du fauteuil

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Annexe 2

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