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Sujet bac L - Annale mathématiques 2010 - spécialité
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Session 2010

MATHÉMATIQUES

Série L

Épreuve de spécialité de MATHÉMATIQUES - Série L

Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 3

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précison des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Le sujet ne nécessite pas de papier millimétré.

L’usage d’un dictionnaire est interdit.

EXERCICE 1 (5 points)

Un immeuble a la forme du solide ABCDEFGHIJKLABCDEFGHIJKL dont une représentation en perspective parallèle est donnée ci-dessous.

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Une esplanade qui a la forme du carré CDEMCDEM, jouxte cet immeuble.

À un coin de cette esplanade se trouve un mât vertical représenté [MN][MN].

ABMFABMF est un carré de centre DD.

Les points E et C sont les milieux respectifs des segments [MF][MF] et [MB][MB]

Trois dessins sont donnés en annexe. Ils sont à compléter et à rendre avec la copie, en laissant apparents les traits de constructions.

1. On place un projecteur, qui est donc une source de lumière ponctuelle, au point H.H.
Le dessin donné en annexe 1 est une représentation de l’immeuble en perspective parallèle.

a) Sur ce dessin représenter l’ombre du mât sur le sol.

b) On note PP le milieu du mât. Construire l’ombre pp du point PP.

2. À une certaine heure, les rayons du soleil sont parallèles à la droite (GC)(GC). Le dessin donné en annexe 2 est encore une représentation de l’immeuble en perspective parallèle.

a) Sur ce dessin représenter l’ombre au soleil du mât sur le sol à cette heure.

b) L’ombre au soleil du milieu du mât est elle le milieu de l’ombre du mât ? Justifier.

3. En annexe 3 on a amorcé une rerpésentation en perspective centrale de cet immeuble. On suppose que la face BCHGBCHG est situé sur un plan frontal. Les points b,g,k,fb,g,k,f et mm sont les images des points B,G,K,FB,G,K,F et MM dans cette perspective. La droite (δ)(\delta) est la ligne d’horizon.

a) Construire les images c,dc, d et ee des points C,DC,D et EE (l’ordre de construction n’est pas imposé).

b) Compléter la représentation en perspective centrale de l’immeuble. On ne représentera ni le mât ni les arêtes cachées.

EXERCICE 2 (6 points)

Soit la suite UU de terme UnUn définie par U0=0U0=0 et, pour tout entier naturel nn, par :

Un+1=Un+2(n+1)U{n+1}=Un+2(n+1)

1. Montrer que U1=2U1=2 et que U2=6U2=6. Calculer U3U_3.

2. Chacune des trois propositions suivantes est-elle vraie ou fausse ? Justifier les réponses.

Proposition 1 : « La suite U est arithmétique. »

Proposition 2 : « Il existe au moins une valeur de n pour laquelle Un=n2+1.U_n = n^2 +1. »

Proposition 3 : «Pour toutes les valeursden,on a Un=n2+1.U_n =n^2+1.»

3. On considère l'algorithme suivant :

Alt texte

a) Faire fonctionner cet algorithme avec N=3.N=3.
Obtient-on à l’affichage les valeurs des quatre premiers termes de la suite UU1nbsp;?

b) Modifier cet algorithme de manière à obtenir à l’affichage les valeurs des NN premiers termes de la suite UU.

4.

a) Montrer que, pour tout entier naturel kk, (k2+k)+2(k+1)=(k+1)2+k+1(k^2+k)+2(k+1)=(k+1)^2+k+1

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, Un=n2+nU_n=n^2+n.

EXERCICE 3 (4 points)

On considère la fonction ff définie sur l’intervalle [1 ;15][1\ ;15] par f(x)=2+3 ln xf(x)= 2+3\ ln\ x. On appelle (C)(C) la courbe représentative de ff dans un repère orthogonal. On note ff’ la fonction dérivée de ff.

1. Calculer f(x)f’(x), pour tout nombre réel xx de l’intervalle [1 ;15][ 1\ ; 15 ].

2. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe (C)(C) en son point d’abscisse 11.

3. Résoudre l’équation f(x)=8f (x)= 8.

4. Parmi les trois représentations graphiques données ci-dessous, une seule représente la fonction f.f.
Préciser quelle est cette représentation et justifier l’élimination de chacune des deux autres.

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EXERCICE 4 (5 points)

1. Justifier que 103110^{-3}≡-1 (modulo 1313)

2.

a) En déduire le reste de la division euclidienne de 10610^ 6 par 1313.

b) Montrer que 109110^9≡-1(modulo 1313) et que 1012110^{12}≡-1 (modulo 1313)

3. Soit l’entier N=5292729824628.N = 5 292 729 824 628.

a) En remarquant qu’une autre écriture de N est :

N=5×1012+292×109+729×106+824×103+628N=5\times 10^{12}+292\times 10^9+ 729\times 10^6+824 \times 10^3+ 628

Démontrer que NN est congru à 246246 modulo 1313.

b) NN est-il divisible par 13131nbsp;?

Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que le nombre 102010+1210^{2010} + 12 est divisible par 1313.

ANNEXES (à compléter et à rendre avec la copie)

Annexe 1 -EXERCICE 1

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Annexe 2- EXERCICE 1

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