[TAB]((auto, c, n, texte-centre, 15)) [LI] | **BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2012** ((100.00)) | [/LI] [/TAB] %C% **MATHÉMATIQUES Série L** %C% %C% **Épreuve de spécialité de MATHÉMATIQUES - Série L** %C% %C% Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 3 %C% <<((100,50,0,0,0)) %C% __**L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.**__ %C% >> [TAB]((auto, c, n, texte-centre, 15)) [LI] |**Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précison des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.**| [/LI] [/TAB] <<((100,30,0,0,0)) Le sujet ne nécessite pas de papier millimétré. L’usage d’un dictionnaire est interdit. >> <<((100,50,0,0,0)) **Exercice 1 (5 points)** >> Un club a 100 adhérents. Leur répartition est décrite dans le tableau suivant ci-dessous : [TAB]((auto, c, n, texte-gauche, 15)) [LI] | ((33.33)) | | Hommes ((33.33)) | | Femmes ((33.33)) | [/LI] [LI] | Marié(e)s | | 48 | | 27 | [/LI] [LI] | Célibataires | | 12 | | 13 | [/LI] [/TAB] On choisit un adhérent au hasard. On considère les événements : * $H$ l’événement : « l’adhérent choisi est un homme » ; * $F$ l’événement : « l’adhérent choisi est une femme » ; * $M$ l’événement : « l’adhérent choisi est marié » ; * $C$ l’événement : « l’adhérent choisi est célibataire ». **Dans cet exercice, on donnera la valeur exacte de chaque probabilité.** 1\. Calculer la probabilité de l’événement $F$ ainsi que celle de l’événement $M$. 2\. Déterminer la probabilité que l’adhérent choisi soit marié sachant que c’est une femme. Les événements $F$ et $M$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 3\. Déterminer la probabilité que l’adhérent choisi soit un homme sachant qu’il est célibataire. <<((100,50,0,0,0)) **Exercice 2 (4 points)** >> **__Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.__** Soient $f , g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[0\ ;+\infty[$ par : $f(x)=\frac {1}{2}(x+1)-\text{ln}(x+1)$ $g(x)=0,5e^{-x}$ $h(x)=\frac{1}{2x+2}$ On note $(C_f )$, $(C_g)$ et $(C_h)$ les courbes représentatives de $f, g$ et $h$ dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O\ ;\overrightarrow {i}, \overrightarrow j)$ On note $f’$ la fonction dérivée de $f$. 1\. Soit $A$ le point de coordonnées $(0\ ;\frac{1}{2})$ dans le repère $(O\ ;\overrightarrow {i}, \overrightarrow j)$.Démontrer que le point $A$ est commun aux trois courbes $(C_f )$ , $(C_g )$ et $(C_h)$. 2\. Démontrer que, pour tout nombre réel positif $x$, $f ’(x)=\frac{x-1}{2(x+1)}$ 3\. Démontrer que les trois courbes $(C_f )$ , $(C_g )$ et $(C_h )$ admettent la même tangente au point $A$. 4\. Démontrer qu’une seule des trois fonctions $f$ , $g$ et $h$ n’est pas décroissante sur $[0\ ;+\infty[$. <<((100,50,0,0,0)) **Exercice 3 (6 points)** >> Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $u(n)$ le nombre entier naturel qui s’écrit dans le système décimal avec $n$ chiffres tous égaux à 1. Par exemple $u(3)$ est égal à 111. 1\. Existe t-il un entier $n$ tel que $u(n)$ soit divisible par 2 ? Justifier la réponse. 2\. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour que le nombre entier $u(n)$ soit divisible par 3. **Dans toute la suite de l’exercice on s’intéresse au problème suivant : « Trouver des entiers naturels non nuls n tels que le nombre entier $u(n)$ soit divisible par $n+1$. »** 3\. Montrer que 6 est une solution de ce problème. 4\. On considère l’algorithme suivant : [IMG]((100)) ![Alt texte](https://images.schoolmouv.fr/tle-l-maths-annale-2012-img01.png) # [/IMG] Donner les affichages pour $n= 10$. Interpréter les affichages de cet algorithme relativement au problème posé. <<((100,50,0,0,0)) **Exercice 4 (5 points)** >> [IMG]((50)) ![Alt texte](https://images.schoolmouv.fr/tle-l-maths-annale-2012-img02.png) # [/IMG] Le dessin ci-dessus représente, en perspective parallèle, un terrain $ABCD$ qui a la forme d’un carré de centre $I$. À l’intérieur de ce terrain, $A_1B_1C_1D_1$ est une aire de jeu dont la forme est celle d’un carré. Celui-ci a pour centre $I$ et ses bords sont parallèles à ceux du carré $ABCD$. Les segments $[IP]$ et $[AM]$ représentent deux piquets plantés verticalement, la hauteur de $[AM]$ étant égale au double de celle de $[IP]$. **__Un dessin est donné en annexe. Il est à compléter au fur et à mesure de la résolution de l’exercice et à rendre avec la copie. Les candidats sont invités à laisser apparents les traits de construction.__** Le dessin en annexe est une représentation en perspective centrale du terrain $ABCD$ dans laquelle le plan $(ABM)$ est frontal. Les points $a, b, c, d, m$ et $b_1$ représentent respectivement les points $A, B, C, D, M$ et $B_1$. <<((100,0,0,0,30)) a. La ligne d’horizon $(h)$ est parallèle à la droite $(ab)$. Compléter cette représentation en perspective centrale par le point $w$, point de fuite principal, la ligne d’horizon $(h)$, ainsi que les deux points de distance $w_1$ et $w_2$. b. Construire les points $i, a_1 , c_ 1$ et $d_1$ représentant les points $I, A_1, C_1$ et $D_1$ puis représenter le piquet $[IP]$. >> **<<((100,50,0,0,0)) Annexe – Exercice 4 (à compléter et à rendre avec la copie) >>** [IMG]((70)) ![Alt texte](https://images.schoolmouv.fr/tle-l-maths-annale-2012-img03.png) [/IMG]