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Sujet bac L - Annale mathématiques 2012 - spécialité
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Session 2012

MATHÉMATIQUES

Série L

Épreuve de spécialité de MATHÉMATIQUES - Série L

Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 3

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précison des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Le sujet ne nécessite pas de papier millimétré.

L’usage d’un dictionnaire est interdit.

Exercice 1 (5 points)

Un club a 100 adhérents. Leur répartition est décrite dans le tableau suivant ci-dessous :

Hommes Femmes
Marié(e)s 48 27
Célibataires 12 13

On choisit un adhérent au hasard. On considère les événements :

  • HH l’événement : « l’adhérent choisi est un homme » ;
  • FF l’événement : « l’adhérent choisi est une femme » ;
  • MM l’événement : « l’adhérent choisi est marié » ;
  • CC l’événement : « l’adhérent choisi est célibataire ».

Dans cet exercice, on donnera la valeur exacte de chaque probabilité.

1. Calculer la probabilité de l’événement FF ainsi que celle de l’événement MM.

2. Déterminer la probabilité que l’adhérent choisi soit marié sachant que c’est une femme. Les événements FF et MM sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

3. Déterminer la probabilité que l’adhérent choisi soit un homme sachant qu’il est célibataire.

Exercice 2 (4 points)

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soient f,gf , g et hh trois fonctions définies sur [0 ;+[[0\ ;+\infty[ par :

f(x)=12(x+1)ln(x+1)f(x)=\frac {1}{2}(x+1)-\text{ln}(x+1)

g(x)=0,5exg(x)=0,5e^{-x}

h(x)=12x+2h(x)=\frac{1}{2x+2}

On note (Cf)(Cf ), (Cg)(Cg) et (Ch)(C_h) les courbes représentatives de f,gf, g et hh dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ;i,j)(O\ ;\overrightarrow {i}, \overrightarrow j)

On note ff’ la fonction dérivée de ff.

1. Soit AA le point de coordonnées (0 ;12)(0\ ;\frac{1}{2}) dans le repère (O ;i,j)(O\ ;\overrightarrow {i}, \overrightarrow j).Démontrer que le point AA est commun aux trois courbes (Cf)(Cf ) , (Cg)(Cg ) et (Ch)(C_h).

2. Démontrer que, pour tout nombre réel positif xx, f(x)=x12(x+1)f ’(x)=\frac{x-1}{2(x+1)}

3. Démontrer que les trois courbes (Cf)(Cf ) , (Cg)(Cg ) et (Ch)(C_h ) admettent la même tangente au point AA.

4. Démontrer qu’une seule des trois fonctions ff , gg et hh n’est pas décroissante sur [0 ;+[[0\ ;+\infty[.

Exercice 3 (6 points)

Pour tout entier naturel non nul nn, on note u(n)u(n) le nombre entier naturel qui s’écrit dans le système décimal avec nn chiffres tous égaux à 1.

Par exemple u(3)u(3) est égal à 111.

1. Existe t-il un entier nn tel que u(n)u(n) soit divisible par 2 ? Justifier la réponse.

2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur nn pour que le nombre entier u(n)u(n) soit divisible par 3.

Dans toute la suite de l’exercice on s’intéresse au problème suivant : « Trouver des entiers naturels non nuls n tels que le nombre entier u(n)u(n) soit divisible par n+1n+1. »

3. Montrer que 6 est une solution de ce problème.

4. On considère l’algorithme suivant :

Alt texte

Donner les affichages pour n=10n= 10. Interpréter les affichages de cet algorithme relativement au problème posé.

Exercice 4 (5 points)

Alt texte

Le dessin ci-dessus représente, en perspective parallèle, un terrain ABCDABCD qui a la forme d’un carré de centre II. À l’intérieur de ce terrain, A1B1C1D1A1B1C1D1 est une aire de jeu dont la forme est celle d’un carré. Celui-ci a pour centre II et ses bords sont parallèles à ceux du carré ABCDABCD. Les segments [IP][IP] et [AM][AM] représentent deux piquets plantés verticalement, la hauteur de [AM][AM] étant égale au double de celle de [IP][IP].

Un dessin est donné en annexe. Il est à compléter au fur et à mesure de la résolution de l’exercice et à rendre avec la copie. Les candidats sont invités à laisser apparents les traits de construction.

Le dessin en annexe est une représentation en perspective centrale du terrain ABCDABCD dans laquelle le plan (ABM)(ABM) est frontal. Les points a,b,c,d,ma, b, c, d, m et b1b1 représentent respectivement les points A,B,C,D,MA, B, C, D, M et B1B1.

a. La ligne d’horizon (h)(h) est parallèle à la droite (ab)(ab). Compléter cette représentation en perspective centrale par le point ww, point de fuite principal, la ligne d’horizon (h)(h), ainsi que les deux points de distance w1w1 et w2w2.

b. Construire les points i,a1,c1i, a1 , c 1 et d1d1 représentant les points I,A1,C1I, A1, C1 et D1D1 puis représenter le piquet [IP][IP].

Annexe – Exercice 4 (à compléter et à rendre avec la copie)

Alt texte