Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Sujet bac L - Annale mathématiques 2013 - spécialité
Fiche annale

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Session 2013

MATHÉMATIQUES

Série L

Enseignement de spécialité

Durée de l’épreuve : 3 heures – coefficient : 4

L’usage d’une calculatrice est autorisé.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précison des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Le candidat s'assurera que le sujet est complet, qu’il correspond bien à sa série et à son choix d’enseignement.

Exercice 1 (6 points)

Une usine de somposants électriques dispose de deux unités de production $A$ et $B.$
La production journalière de l’unité $A$ est de 600 pièces, celle de l’unité $B$ est de 900 pièces.

On prélève au hasard un composant de la production d’une journée.

La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité $A$ est égale à 0,014. La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité $B$ est égale à 0,024. On note :

  • $D$ l'évènement  : «  Le composant présente un défaut de soudure. »
  • $A$ l'évènement  : «  Le composant est produit par l’unité $A$. »
  • $B$ l'évènement  : «  Le composant est produit par l’unité $B$. »

On note $p(D)$ la probabilité de l'évènement $D$ et $p_A(D)$ la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.

Partie A : généralités

1)

a) D’après les données de l'énoncé, préciser $p_A(D)$ et $p_B(D)$.

b) Calculer $p_A$ et $p_B$

2) Recopier et compléder l'arbre de probabilités ci-dessous.

Alt texte

3)

a) Calculer $pA\cap D)$ et $pB\cap D)$

b) En déduire $p(D)$

On prélève dans la production totale un composant présentant un défaut de soudure. Quelle est la probabilité qu’il provienne de l’unité $A$1nbsp;?

Partie B : contrôle de qualité

On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 195 et 205 ohms. On admet que la variable aléatoire $R$ qui , à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale $\mu=200,5$ et d’écart-type=3,5.
On prélève un composant dans la production.

Les résultats seront arrondis à 0,00001 près, ils pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice ou de la table fournie en annexe 1.

1) Calculer la probabilité $p_1$ de l'évènement : «  la résistance du composant est supérieure à 211 ohms. »

2) Calculer la probabilité $p_2$ de l'évènement : «  la résistance du composant est comprise dans l’intervalle de tolérance indiqué dans l'énoncé. »

3) On prélève au hasard dans la production tros composants. On suppose que les prélèvements sont indépendants l’un d el'autre et que la probabilité qu’un composant soit accepté est égale à $0,84.$
Déterminer la probabilité $p$ qu’exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés.

Exercice 2 (4 points)

Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.

Question 1

Un étudiant a travaillé durant l'été et dispose d’un capital de 2500 euros.

À partir du premier septembre 2013, il place son capital $c_0=2500$ sur un compte rapportant 0,2 % d’intêrets composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros par mois.

On note $c_n$ le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple le capital disponible au début du mois d’octobre vaudra : $c_1=1,002 c_0-425=2080$ euros.

L'année universitaire s’achève à la fin du mois de juin 2014.

On admet que la suite des capitaux $(c_n)$ est décrite par les relations :

  • $(c_0)=2500$
  • Pour tout entier naturel $n$, $c_{n+1}=1,002 \times c_n -425$

PROPOSITION : Sans apport supplémentaire l'étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.

Question 2

Sur $I=]0\ ;+\infty[$, on définit la fonction $f$ par $f(x)=2x+1-\text{ln}\ x.$

PROPOSITION : $f$ est une fonction convexe sur $I$.

Question 3

On définit sur l’intervalle $I=]0\ ;+\infty[$, $F(x)= 2x \text{ln}\ x-2x+5$. On a effectué à l'aide d’un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :

Alt texte

PROPOSITION : $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=2\text{ln}\ x$.

Question 4

$X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance $\mu=0$ et d’écart-type $\sigma=0,6$.

PROPOSITION : $P(-0,6\leq X \leq 0,6)\approx 0,68$

Exercice 3 (5 points)

Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute production est vendue.

L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note $x$ le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. ($x$ varie donc dans l’intervalle $[0\ ;3,6]$).

Le bénéfice hebdomadaire est noté $B(x)$, il est exprimé en milliers d’euros.

L’objet de cet exercice est d'étudier cette fonction $B$. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l'autre.

Partie A : étude graphique

On a représenté en annexe 2, la fonction $B$ dans un repère du plan.

Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.

Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.

1) Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égale à 13000 euros.

2) Quel est le bénéfice maximum enviasgeable pour l’entreprise ?

Pour quel nombre $N$ de poulies fabriquées et vendues semble t’il être réalisé ?

Partie B : étude théorique

Le bénéfice hebdomadaire noté $B(x)$, exprimé en milliers d’euros vaut $B(x)=-5+(4-x)e^x$

1)

a) On note $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$.

Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0\ ;3,6]$, on a $B’(x)= (3-x)e^x.$

b) Déterminer le signe de la fonction dérivée $B’$ sur l’intervalle $I$.

c) Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l’intervalle $I$. On indiquera les valeurs de la fonction $B$ aux bornes de l’intervalle.

2)

a) Justifier que l'équation $B(x)=13$ admet deux solutions $x_1$ et $x_2$ l’une dans l’intervalle $[0\ ;3]$ l'autre dans l’intervalle $[3\ ;3,6]$

b) À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à $0,01$ près de chacune des deux solutions.

Exercice 4 (5 points)

Dans cet exercice on étudie l'évolution de la dépense des ménages français en programmes audiovisuels (redevance audiovisuelle, billets de cinéma, vidéos.;.)

On note $D_n$ la dépense des ménages en programmes audiovisuels, exprimée en milliard d’euros, au cours de l'année $1995+n$

année 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
$n$ 0 1 2 3 4 5 6 7
$D_n$ 4,95 5,15 5,25 5,4 5,7 6,3 6,55 6,9

année 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
$n$ 8 9 10 11 12 13 14 15
$D_n$ 7,3 7,75 7,65 7,79 7,64 7,82 7,89 8,08

Soit $f$ la fonction défine pour tout nombre réel $x$, par $f(x)=-0,0032x^3+0,06x^2+5.$
Pour tout entier $n$ vérifiant $0\leq n \leq20$ on décide de modéliser la dépense des ménages français en programmes audiovisuels exprimée en milliards d’euros, au cours de l'année $n$ par le nombre $f(n)$.

1) Calculer $f(5)$

2) Déterminer le pourcentage $p$, de l’erreur commise en remplaçant $D_5$ par $f(5).$
(Le pourcentage d’erreur est obtenu par le calcul : $p=\frac {valeur réelle-valeur estimée}{valeur réelle}$ et le résultat sera donné à 0,1 % près.)

3) En utilisant la fonction $f$, quelle estimation de la dépense totale peut-on effectuer pour l'année $2013$ ?

4) On veut utiliser la fonction $f$ pour estimer la dépense moyenne des ménage entre le 1er janvier $1995$ et le $1^{er}$ janvier $2015$.

On calcule pour cela $M=\frac {1}{20}\int ^{20}_{0} f(x) dx$

a) déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0\ ;20]$.

b) Calculer $M$

Annexes- à rendre avec la copie

Annexe 1

Extrait de la table de la loi normale pour $\mu=200,5$ et $\sigma=3,5$

$t$ $p(X\leq t)$ $t$ $p(X\leq t)$ $t$ $p(X\leq t)$
186 0,0000 196 0,0993 206 0,9420
187 0,0001 197 0,1587 207 0,9684
188 0,0002 198 0,2375 208 0,9839
189 0,0005 199 0,3341 209 0,9924
190 0,0013 200 0,4432 210 0,9967
$191$ $0,0033$ $201$ $0,5568$ $211$ $0,9987$
192 0,0076 202 0,6659 212 0,9995
193 0,0161 203 0,7625 213 0,9998
194 0,0316 204 0,8473 214 0,9999
195 0,0580 205 0,9007 215 1,0000

Annexe 2

Alt texte