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Sujet spécimen 2020-2 - Spécialité mathématiques
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Fiche annale

ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU

Classe : Première

Enseignement : Spécialité « Mathématiques »

Durée de l’épreuve : 2 heures

Calculatrice autorisée.

SUJET 2020 – SPÉCIMEN 2

Exercice 1 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les cinq questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte.__
Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Question 1

Pour xx pièces produites, le coût de fabrication C(x)C(x), en milliers d’euros est donné par : C(x)=0,01x30,135x2+0,6x+15C(x) = 0,01x^3 - 0,135x^2 + 0,6x + 15, avec x[0 ;30]x \in [0\ ;\, 30].
Pour 22 pièces produites, le coût de fabrication en euros est :

  • 15,7415,74
  • 157,4157,4
  • 15741\,574
  • 1574015\,740

Question 2

Soit ff une fonction polynôme du second degré donnée, pour tout nombre réel xx par : f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, où aa, bb, cc sont réels. On note Δ\Delta son discriminant. On donne ci-dessous CfC_f la courbe représentative de ff et on suppose qu’elle admet l’axe des abscisses comme tangente en un de ses points.

Alt maths première sujet spécimen bac

On peut affirmer que :

  • a<0a < 0 et Δ<0\Delta < 0
  • a>0a > 0 et Δ=0\Delta = 0
  • a<0a < 0 et Δ=0\Delta = 0
  • a<0a < 0 et Δ>0\Delta > 0

Question 3

cos(x+π2)\cos\left(x +\frac \pi2\right) est égal à :

  • cos(x)sin(x)\cos{(x)} - \sin{(x)}
  • cos(xπ2)\cos\left(x-\frac \pi2\right)
  • sin(x)\sin{(x)}
  • sin(x)-\sin{(x)}

Question 4

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on donne les points A(7 ;4)A\,(-7\ ;\, 4) et B(1 ;2)B\,(1\ ;\, -2).
Le cercle Γ\Gamma de diamètre [AB][AB] admet comme équation dans ce repère :

  • (x+7)2+(y4)2=100(x + 7)^2 + (y - 4)^2 = 100
  • (x+3)2+(y1)2=25(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 25
  • (x+3)2+(y1)2=100(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 100
  • (x+7)2+(y4)2=25(x + 7)^2 + (y - 4)^2 = 25

Question 5

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, les droites DD et DD^{\prime} d’équations cartésiennes respectives 3x+2y1=03x + 2y - 1 = 0 et 6x+4y+2=06x + 4y + 2 = 0 sont :

  • sécantes et non perpendiculaires
  • confondues
  • strictement parallèles
  • perpendiculaires

Exercice 2 (5 points)

Une collectivité locale octroie une subvention de 116 610 euros116\ 610\ \text{euros} pour le forage d’une nappe d’eau souterraine. Une entreprise estime que le forage du premier mètre coûte 130 euros130\ \text{euros} ; le forage du deuxième mètre coûte 52 euros52\ \text{euros} de plus que celui du premier mètre ; le forage du troisième mètre coûte 52 euros52\ \text{euros} de plus que celui du deuxième mètre, etc.
Plus généralement, le forage de chaque mètre supplémentaire coûte 52 euros52\ \text{euros} de plus que celui du mètre précédent.

Pour tout entier nn supérieur ou égal à 11, on note : unun le coût du forage du n-ieˋmen \text{-ième} mètre en euros et SnSn le coût du forage de nn mètres en euros ; ainsi, u1=130u_1 = 130.

Question 1

Calculer u2u2 et u3u3.

Question 2

Préciser la nature de la suite (un)(un). En déduire l’expression de unun en fonction de nn, pour tout nn entier naturel non nul.

Question 3

Calculer S2S2 puis S3S3.

Question 4

Afin de déterminer le nombre maximal de mètres que l’entreprise peut forer avec la subvention qui est octroyée, on considère la fonction Python suivante :

1def nombremetre(S):2C = 1303n = 14while C < S:5C = C + 6¨C11C157,4157,4n = n + 17¨C13C¨C14Creturn n\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{1}}&\quad\text{def nombre\textunderscore metre(S):} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{2}}&\quad\qquad\text{C = 130} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{3}}&\quad\qquad\text{n = 1} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{4}}&\quad\qquad\text{while C < S:} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{5}}&\quad\qquad\qquad\text{C = C + …} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{6}}&\quad\qquad\qquad\text{n = n + 1} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{7}}&\quad\qquad\text{return n} \end{aligned}metre(S):C = 130n = 1while C < S:C = C + n = n + 1return n

Compléter cet algorithme de sorte que l’exécution de la fonction nombremetre(S)\text{nombre\textunderscore metre(S)}metre(S) renvoie le nombre maximal de mètres que l’entreprise peut forer avec la subvention octroyée. Justifier votre réponse.

Question 5

On admet que, pour tout entier naturel non nul, Sn=26n2+104nS_n = 26n^2 + 104n. En déduire la valeur de nn que fournit la fonction Python donnée à la question 4. On expliquera la démarche utilisée.

Exercice 3 (5 points)

Question 1

On lance deux dés cubiques équilibrés « classiques » et on note les numéros apparaissant sur la face supérieure de chaque dé.

Soit XX la variable aléatoire égale au produit des numéros apparaissant sur les deux faces.
Le jeu est gagné si le produit des numéros apparaissant sur les faces supérieures des deux dés lancés est strictement inférieur à 1010.

  • Donner les valeurs prises par la variable aléatoire XX.
  • Déterminer la loi de probabilité de XX.
  • Déterminer la probabilité de gagner.

Question 2

On lance à présent deux dés spéciaux : ce sont des dés cubiques parfaitement équilibrés dont les faces sont numérotées différemment des dés classiques.

  • Les faces du premier dé sont numérotées avec les chiffres : 11, 22, 22, 33, 33, 44.
  • Les faces du deuxième dé sont numérotées avec les chiffres : 11, 33, 44, 55, 66, 88.

On note YY la variable aléatoire égale au produit des numéros apparaissant sur les deux faces après lancer de ces deux dés spéciaux.

Déterminer P(Y<10)P(Y < 10).

Question 3

Est-il préférable de jouer au jeu de la question 1 avec des dés classiques ou avec des dés spéciaux ?

Exercice 4 (5 points)

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb R par : f(x)=e2x+6ex8x4f(x) = \text{e}^{2x} + 6\text{e}^x - 8x - 4.
Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, on considère :

  • CfC_f la courbe représentative de la fonction ff,
  • D\mathcal D la droite d’équation cartésienne y=8x4y = - 8x - 4.

Question 1

Montrer que, pour tout xRx \in \mathbb R, f(x)=2(ex1)(ex+4)f^{\prime}(x) = 2(\text{e}^x - 1)(\text{e}^x + 4).

Question 2

Étudier le signe de f(x)f^{\prime}(x) sur R\mathbb R.

Question 3

Dresser le tableau de variations de la fonction ff sur R\mathbb R.

Question 4

En déduire le signe de f(x)f(x) sur R\mathbb R.

Question 5

La courbe CfC_f et la droite D\mathcal D ont-elles un point commun ? Justifier.