Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Sujet spécimen 2020-3 - Spécialité mathématiques
Découvrez, sur SchoolMouv, des milliers de contenus pédagogiques, du CP à la Terminale, rédigés par des enseignants de l’Éducation nationale.
Les élèves de troisième, de première ou de terminale bénéficient, en plus, de contenus spécifiques pour réviser efficacement leur brevet des collèges, leur bac de français ou leur baccalauréat édition 2023.
Fiche annale

ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU

Classe : Première

Enseignement : Spécialité « Mathématiques »

Durée de l’épreuve : 2 heures

Calculatrice autorisée.

SUJET 2020 – SPÉCIMEN 3

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.

Exercice 1 (5 points)

Ce questionnaire à choix multiples (QCM) comprend cinq questions indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou l’absence de réponse ne rapporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb R par f(x)=x2+x+1f(x) = x^2 + x + 1.
Cette fonction est dérivable sur R\mathbb R. Sa fonction dérivée ff^\prime est donnée sur R\mathbb R par :

  • f(x)=x+1f^\prime(x) = x + 1
  • f(x)=2x+1f^\prime(x) = 2x + 1
  • f(x)=2xf^\prime(x) = 2x
  • f(x)=2x2+xf^\prime(x) = 2x^2 + x

Question 2

La somme 1+2+22+23++2101 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{10} est égale à :

  • 21012^{10} - 1
  • 2102^{10}
  • 21112^{11} - 1
  • 2112^{11}

Question 3

On considère l’équation x2+2x8=0x^2 + 2x - 8 = 0.
On note SS la somme des racines de cette équation et PP leur produit.
Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

  • S=2S = 2 et P=8P = - 8
  • S=2S = -2 et P=8P = -8
  • S=2S = -2 et P=8P = 8
  • S=2S = 2 et P=8P = 8

Question 4

On désigne par C\mathcal C le cercle trigonométrique.
Soit xx un réel strictement positif et MM le point de C\mathcal C associé au réel xx.

Alt mathématiques première corrigé bac sujet spécimen

Alors le point MM^{\prime}, symétrique de MM par rapport à OO, est associé au réel :

  • x-x
  • π+x\pi+x
  • πx\pi-x
  • πx-\pi-x

Question 5

Parmi les égalités suivantes, laquelle est vraie pour tout réel xx ?

  • cos(x+2π)=cos(x)\cos{(x + 2\pi)} = \cos {(x)}
  • sin(x)=sin(x)\sin{(-x)} = \sin {(x)}
  • cos(x)=cos(x)\cos{(-x)} = -\cos {(x)}
  • cos2(x)+sin2(x)=2\cos^2(x) + \sin^2(x) = 2

Exercice 2 (5 points)

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb R par :

f(x)=(2x+1)exf(x) = (2x + 1)\text{e}^x

Sur le graphique ci-dessous, sont tracées la courbe Cf\mathscr C_f représentative de la fonction ff, et la droite T\mathcal T, tangente à cette courbe au point d’abscisse 00.

Alt mathématiques première corrigé bac sujet spécimen

Question 1

Déterminer les coordonnées des éventuels points d’intersection de la courbe Cf\mathscr C_f avec l’axe des abscisses.

Question 2

Montrer que, pour tout xx réel, que f(x)=(2x+3)exf^\prime (x) = (2x + 3)\text{e}^x.

Question 3

Dresser le tableau de signes de f(x)f^\prime(x) sur R\mathbb R, puis préciser les variations de ff sur R\mathbb R.

Question 4

  • Déterminer l’équation réduite de la tangente T\mathcal T.
  • Justifier graphiquement que, pour tout réel xx, on a :

(2x+1)ex3x+1(2x + 1)\text{e}^x \geq 3x + 1

Exercice 3 (5 points)

Dans une école d’ingénieurs, certains étudiants s’occupent de la gestion des associations, comme par exemple le BDS (bureau des sports).
Sur les cinq années d’études, le cycle « licence » dure les trois premières années, et les deux dernières années sont celles du cycle de « spécialisation ».
On constate que, dans cette école, il y a 40%40\,\% d’étudiants dans le cycle « licence » et 60%60\, \% dans le cycle de « spécialisation ».

  • Parmi les étudiants du cycle « licence », 8%8\, \% sont membres du BDS.
  • Parmi les étudiants du cycle de « spécialisation », 10%10\, \% sont membres du BDS.

On considère un étudiant de cette école choisi au hasard, et on considère les événements suivants :

  • LL : « L’étudiant est dans le cycle « licence » ; L\overline L est son événement contraire.
  • BB : « L’étudiant est membre du BDS » ; B\overline B est son événement contraire.

La probabilité d’un événement AA est notée P(A)\text{P}(A).

PARTIE A

Question 1

Recopier et compléter l’arbre pondéré modélisant la situation.

Alt mathématiques première corrigé bac sujet spécimen

Question 2

Calculer la probabilité que l’étudiant choisi soit en cycle « licence » et membre du BDS.

Question 3

En utilisant l’arbre pondéré, montrer que P(B)=0,092\text{P}(B) = 0,092.

PARTIE B

Le BDS décide d’organiser une randonnée en montagne. Cette sortie est proposée à tous les étudiants de cette école, mais le prix qu’ils auront à payer pour y participer est variable. Il est de 60 euros60\ \text{euros} pour les étudiants qui ne sont pas membres du BDS, et de 20 euros20\ \text{euros} pour les étudiants qui sont membres du BDS.

On désigne par XX la variable aléatoire donnant la somme à payer pour un étudiant qui désire faire cette randonnée.

Question 1

Quelles sont les valeurs prises par XX ?

Question 2

Donner la loi de probabilité de XX, et calculer l’espérance de XX.

Exercice 4 (5 points)

Bob s’est fixé un objectif : participer à un marathon qui aura lieu très bientôt dans sa ville.

Pour cela, il désire programmer sa préparation au marathon de la manière suivante :

  • lors du premier entraînement, il décide de courir 20 km20\ \text{km} ;
  • il augmente ensuite, à chaque entraînement, la distance à courir de 5%5\,\%.

On peut modéliser la distance parcourue lors de ses entraînements par une suite (dn)(dn), où, pour tout entier naturel nn non nul, le nombre dndn désigne la distance à courir en kilomètre, lors de son n-ieˋmen\text{-ième} entraînement.
On a ainsi d1=20d_1 = 20.

Question 1

Calculer d2d2, puis vérifier que d3=22,05d3 = 22,05.

Question 2

Pour tout entier naturel nn non nul, exprimer dn+1d{n+1} en fonction de dndn.

Question 3

Justifier que, pour tout entier naturel n1n \geq 1, dn=20×1,05n1d_n = 20 \times 1,05^{n-1}.

Question 4

Quelle distance, arrondie à 1 m1\ \text{m} près, va courir Bob lors de son 10e10^\text{e} entraînement ?

Question 5

La distance à courir lors d’un marathon est de 42,195 km42,195\ \text{km}. Bob estime qu’il sera prêt pour la course, s’il parvient à courir au moins 43 km43\ \text{km} lors d’un de ses entraînements. Recopier et compléter le script suivant, écrit en langage Python, dont la valeur de nn, après exécution de ce script, est le nombre minimal d’entraînements permettant à Bob d’être prêt pour le marathon.

1= 12= 203while :4= 5= 1,05  d\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{1}}&\quad\text{n \purple = \green 1} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{2}}&\quad\text{d \purple = \green{20}} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{3}}&\quad \text{\green{while} \red{……}:} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{4}}&\quad \qquad\text{n \purple = \red{……}} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{5}}&\quad \qquad\text{d \purple = \green{1,05} $\purple{\ast}$ d} \end{aligned}