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Sujet spécimen 2020-4 - Spécialité mathématiques
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Fiche annale

ÉPREUVES COMMUNES DE CONTRÔLE CONTINU

Classe : Première

Enseignement : Spécialité « Mathématiques »

Durée de l’épreuve : 2 heures

Calculatrice autorisée.

SUJET 2020 – SPÉCIMEN 4

Exercice 1 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte.
Recopiez le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

Question 1

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb R par :

f(x)=(x+1)exf(x) = (x + 1)\text{e}^x

La fonction dérivée ff^\prime de ff est donnée sur R\mathbb R par :

  • f(x)=exf^\prime(x) = \text{e}^x
  • f(x)=(x+2)exf^\prime(x) = (x + 2)\text{e}^x
  • f(x)=xexf^\prime(x) = -x\text{e}^x
  • f(0)=0f^\prime(0) = 0

Question 2

Pour tous réels aa et bb, le nombre eaeb\frac {\text{e}^a}{\text{e}^{-b}} est égal à :

  • eab\text{e}^{a-b}
  • eab\text{e}^{\frac a{-b}}
  • ebea\frac {\text{e}^b}{\text{e}^{-a}}
  • eaeb\text{e}^a-\text{e}^{-b}

Question 3

Soit (un)(un) une suite arithmétique telle que u3=92u3 =\frac 92 et u6=3u6 = 3.
Alors le premier terme u0u
0 et la raison RR de la suite sont :

  • u0=6u_0 = 6 et R=12R = -\frac 12
  • u0=12u_0 = \frac 12 et R=6R = 6
  • u0=6u_0 = 6 et R=12R = \frac 12
  • u0=32u_0 = \frac 32 et R=12R = \frac 12

Question 4

On considère le programme écrit en langage Python ci-dessous.

1s = 02for i in range(51):3s = s + i\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{1}}&\quad\text{s = 0} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{2}}&\quad\text{for i in range(51):} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{3}}&\quad\qquad\text{s = s + i} \end{aligned}

Quelle est la valeur contenue dans la variable s\text{s} après exécution du programme ?

  • 5151
  • 13261\,326
  • 12751\,275
  • 25002\,500

Question 5

La valeur exacte de la somme S=1+12+(12)2++(12)15S=1+\frac 12+\left(\frac 12\right)^2+…+\left(\frac 12 \right)^{15} est :

  • 1,7500305181,750030518
  • 2(12)152-\left(\frac 12 \right)^{15}
  • 2(12)142-\left(\frac 12 \right)^{14}
  • 1,9999694821,999969482

Exercice 2 (5 points)

Un rameur est une machine d’exercice physique simulant les mouvements d’une personne qui fait de l’aviron.
Il est souvent utilisé pour l’entraînement sportif afin d’améliorer sa condition physique.
La courbe ci-dessous représente la puissance (en watt) en fonction du temps (en dixième de seconde) développée par un rameur débutant.

PARTIE A : Répondre par lecture graphique aux deux questions suivantes

Question 1

Quelle est la puissance maximale atteinte par ce rameur ?

Question 2

Pendant combien de temps la puissance développée reste-t-elle au-dessus de 100 watts100\ \text{watts} ?

Alt mathématiques première sujet bac spécimen

PARTIE B : Modélisation par une fonction

On suppose que la courbe est la courbe représentative de la fonction ff définie sur l’intervalle [0,2 ;4][0,2\ ;\, 4] par :

f(x)=(8x+32)exf(x) = (-8x + 32)\text{e}^x

On note ff^\prime la fonction dérivée de ff. On admet que, pour tout réel xx de l’intervalle [0,2 ;4][0,2\ ;\, 4] :

f(x)=(8x+24)exf^\prime(x) = (-8x + 24)\text{e}^x

Question 1

Étudier le signe de f(x)f^\prime(x) puis en déduire les variations de ff sur [0,2 ;4][0,2\ ;\, 4].

Question 2

Déterminer la valeur exacte du maximum de la fonction ff.

On suppose que le sportif améliore sa meilleure performance de 5%5\,\% tous les mois. Combien de mois d’entraînement seront-ils nécessaires pour qu’il dépasse les 200 W200\ \text{W} ?

Exercice 3 (5 points)

Un magasin commercialise des canapés et des tables de salon.
Quand un client se présente, il achète au plus un canapé et au plus une table de salon. Une étude a montré que :

  • la probabilité pour qu’un client achète un canapé est 0,240,24 ;
  • la probabilité pour qu’un client achète une table de salon quand il a acheté un canapé est 0,250,25 ;
  • la probabilité pour qu’un client achète une table de salon quand il n’achète pas de canapé est 0,10,1.

On choisit un client au hasard parmi ceux ayant participé à l’étude. On note :

  • CC l’événement « le client achète un canapé » et C\overline C son événement contraire ;
  • TT l’événement « le client achète une table de salon » et T\overline T son événement contraire.

Question 1

Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

Question 2

Calculer la probabilité que le client achète un canapé et une table de salon.

Question 3

Montrer que la probabilité P(T)P(T) est égale à 0,1360,136.

Question 4

Dans ce magasin, le prix moyen d’un canapé est de 1000 euros1\,000\ \text{euros} et le prix moyen d’une table de salon est de 300 euros300\ \text{euros}. On note XX la variable aléatoire correspondant à la somme payée par le client.

  • Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de XX.

xixi 00 300300 10001\,000 13001\,300
P(X=xi)P(X=xi)
  • Calculer l’espérance de XX.
    Donner une interprétation de ce nombre dans le contexte de l’exercice.

Exercice 4 (5 points)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,) d’unité 1 cm1\ \text{cm}.

On considère la droite DD d’équation x+3y5=0x + 3y - 5 = 0.

Question 1

Montrer que le point AA de coordonnées (2 ;1)(2\ ;\, 1) appartient à la droite DD et tracer la droite DD dans le repère (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,).

Question 2

Montrer que la droite DD^{\prime} passant par le point BB de coordonnées (4 ;2)(4\ ;\, 2) et perpendiculaire à la droite DD admet pour équation 3xy10=03x - y - 10 = 0.

Question 3

Soit HH le projeté orthogonal de BB sur la droite DD.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées de HH.

Question 4

On considère le cercle C\mathcal C de diamètre [AB][AB] et on note Ω\Omega son centre.

  • Déterminer une équation de C\mathcal C ; préciser son rayon et les coordonnées de Ω\Omega.
  • Le point HH appartient-il à C\mathcal C ? Justifier.