Sujet spécimen 2020-1 - Spécialité mathématiques

Exercice 1 (5 points)

Une ancienne légende raconte que le jeu d’échecs a été inventé par un vieux sage. Son roi voulut le remercier en lui accordant n’importe quel cadeau en récompense. Le vieux sage demanda qu’on lui fournisse un peu de riz pour ses vieux jours, et plus précisément qu’on place :

On note $u$1u1​ le nombre de grains de riz présents sur la première case, $u$2 le nombre de grains sur la deuxième case, et ainsi de suite jusqu’à la $64^\text{e}$ case.

Question 1

Déterminer $u$1u1​, $u$2, $u$3u3​, $u$4 et $u_5$.

Question 2

Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u${n+1}un+1​ en fonction de $u$n.

Question 3

En déduire la nature de la suite $(u$n)(un​) et en préciser les éléments caractéristiques.
Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u$n en fonction de $n$.

Question 4

Calculer le nombre de grains de riz qui doivent être disposés sur le plateau pour satisfaire à la demande du vieux sage.

Question 5

On veut écrire une fonction en langage Python qui détermine à partir de quelle case, le vieux sage disposera d’au moins $R$ grains de riz. Une ébauche de cette fonction est donnée ci-dessous.

Recopier et compléter cette fonction afin qu’elle renvoie le résultat désiré.

Exercice 2 (5 points)

Une urne contient six jetons rouges dont un est marqué « gagnant » et quatre jetons verts dont trois sont marqués « gagnant ».
On tire au hasard un jeton de l’urne et on note les événements :

• $R$ : « le jeton tiré est rouge »,
• $V$
• ¨C15C¨C16C¨C17C¨C18C¨C19C : « le jeton tiré est gagnant ».

Question 1

Modéliser la situation à l’aide d’un arbre de probabilité.

Question 2

Calculer la probabilité de l’événement « le jeton tiré est un jeton vert et marqué gagnant ».

Question 3

Soit $P(G)$ la probabilité de tirer un jeton gagnant.
Montrer que $P(G) =\frac 25$.

Question 4

Sachant que le jeton tiré est gagnant, calculer la probabilité qu’il soit de couleur rouge.

Question 5

On tire maintenant, toujours au hasard et simultanément, deux jetons dans l’urne.
Calculer la probabilité que les deux jetons soient marqués « gagnant ». Expliquer votre démarche.

Exercice 3 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x) = x^3 + 7x^2 + 11x - 19$.
On note $\mathcal C$ sa courbe représentative dans un repère $(O\ ;\, \vec \imath,\, \vec \jmath\,)$ du plan.

Question 1

On note $f^\prime$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb R$. Déterminer l’expression de $f^\prime(x)$.

Question 2

Résoudre dans $\mathbb R$ l’inéquation $3x^2 + 14x + 11 > 0$.
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.

Question 3

Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal C$ au point d’abscisse $0$.

Question 4

Justifier que $1$ est solution de $x^3 + 7x^2 + 11x - 19 = 0$.
Vérifier que pour tout réel $x$ : $f(x) = (x - 1)(x^2 + 8x + 19)$.

Question 5

Étudier le signe de la fonction $f$ et en dresser le tableau de signes sur $\mathbb R$.

Exercice 4 (5 points)

Dans un repère orthonormé $(O\ ;\, \vec \imath,\,\vec \jmath)$, on considère les points $A\,(3\ ;\, 1)$, $B\,(-3\ ;\, 3)$ et $C\,(2\ ;\, 4)$.

Question 1

Montrer que l’équation $x + 3y - 6 = 0$ est une équation cartésienne de la droite $(AB)$.

Question 2

Déterminer une équation cartésienne de la droite $d$, perpendiculaire à la droite $(AB)$ et passant par le point $C$.

Question 3

En déduire les coordonnées du point $K$, projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.

Question 4

Calculer la distance $AB$ et déterminer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$.

Question 5

En déduire une équation du cercle de diamètre $[AB]$.