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Sujet zéro - Spécialité mathématiques
Fiche annale

Enseignement de spécialité de mathématiques

Classe de première

Durée : 2 heures

L’usage de la calculatrice est autorisé selon réglementation en vigueur.
Les documents, sous forme papier ou électronique, sont interdits.
Consignes :
Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants que le candidat doit traiter.
Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Exercice 1

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée, mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Pour tout réel xx, (ex)3(\text{e}^x)^3 est égal à :

a) ex×e3\text e^x\times \text e^3 b) ex+3\text e^{x+3} c) e3x\text e^{3x} d) ex3\text e^{x^3}

Pour tout réel xx, cos(x+π)\cos(x+\pi) est égal à :

a) sinx\sin x b) cosx-\cos x c) cosx\cos x d) sinx-\sin x

On souhaite modéliser le niveau de la mer par une suite (Un)(Un) de façon que U0U0 représente le niveau de la mer, en mm\text{mm}, en 2003 et que UnUn représente le niveau de la mer, en mm\text{mm}, nn années après 2003.
Selon le site www.notre-planete.info/terre/climatologie
meteo, on constate une hausse assez rapide du niveau de la mer, qu’on estime à 3,3 mm3,3\ \text{mm} par an depuis 2003.
Pour traduire ce constat, la suite (Un)(U_n) doit être :

a) une suite géométrique de raison 3,33,3 b) une suite géométrique de raison 1,0331,033 c) une suite arithmétique de raison 1,0331,033 d) une suite arithmétique de raison 3,33,3

Les figures ci-dessous représentent quatre polynômes du second degré dans un repère orthonormé et le signe de leur discriminant Δ\Delta.
Parmi ces propositions, laquelle est juste ?

a)

Alt texte

b)

Alt texte

c)

Alt texte

d)

Alt texte

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
DD est une droite dont une équation cartésienne est 2xy+3=02x-y+3=0. Parmi ces propositions, laquelle est juste ?

La droite DD passe par le point AA de coordonnées (2 ;1)(2\ ;\,1). La droite DD est dirigée par le vecteur directeur de coordonnées (12)\begin{pmatrix}-1 \ 2 \end{pmatrix}. Le vecteur de coordonnées (21)\begin{pmatrix}2 \ -1 \end{pmatrix} est normal à la droite DD. Le point d'intersection de la droite DD avec l’axe des abscisses a comme coordonnées (0 ;3)(0\ ;\,3).

Exercice 2

Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.
Dans un repère orthonormé d’unité 30 cm30\ \text{cm} ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe CfC_f représentative de la fonction ff définie sur l’intervalle [1 ;2][-1\ ;\,2] par :

f(x)=(x+2)exf(x)=(-x+2)\text{e}^x

Alt texte

Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe CfC_f. On nomme LL la longueur de la plaque rectangulaire et ll sa largeur.

On note ff^{\prime} la fonction dérivée de ff.

a. Montrer que, pour tout réel xx de l’intervalle [1 ;2][-1\ ;\,2], f(x)=(x+1)exf^{\prime}(x)=(-x+1)\text{e}^x .

b. En déduire le tableau de variations de la fonction ff sur [1 ;2][-1\ ;\,2].

La longueur LL de la plaque rectangulaire est de 90 cm90\ \text{cm}. Trouver sa largeur ll exacte en cm\text{cm}.

Exercice 3

Une compagnie d’assurance auto propose deux types de contrat :

  • un contrat « Tous risques » dont le montant annuel est de 500 euros500\ \text{euros} ;
  • un contrat « de base » dont le montant annuel est de 400 euros400\ \text{euros}.

En consultant le fichier clients de la compagnie, on recueille les données suivantes :

  • 60 %60\ \% des clients possèdent un véhicule récent (moins de 5 ans) ;
  • les autres clients ont un véhicule ancien ;
  • parmi les clients possédant un véhicule récent, 70 %70\ \% ont souscrit au contrat « Tous risques » ;
  • parmi les clients possédant un véhicule ancien, 50 %50\ \% ont souscrit au contrat « Tous risques ».

On considère un client choisi au hasard.
D’une manière générale, la probabilité d’un événement AA est notée P(A)P(A) et son événement contraire est noté Aˉ\bar A.

On note les événements suivants :

  • RR : « Le client possède un véhicule récent » ;
  • TT : « Le client a souscrit au contrat “Tous risques” ».

On note XX la variable aléatoire qui donne le montant du contrat souscrit par un client.

Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l’exercice.

Alt texte

Calculer la probabilité qu’un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat « Tous risques », c’est-à-dire calculer P(RT)P(R\cap T).

Montrer que P(T)=0,62P(T)=0,62.

La variable aléatoire XX ne prend que deux valeurs aa et bb. Déterminer ces deux valeurs, les probabilités P(X=a)P(X=a) et P(X=b)P(X=b), puis l’espérance de XX.

Exercice 4

En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 20 %20\ \% de son intensité lumineuse. L’intensité lumineuse est exprimée en candela (cd\text{cd}).
On utilise une lampe torche qui émet un rayon d’intensité lumineuse réglée à 400 cd400\ \text{cd}.

On superpose nn plaques de verres identiques (nn étant un entier naturel) et on désire mesurer l’intensité lumineuse InIn du rayon à la sortie de la nn-ième plaque.
On note I0=400I
0=400 l’intensité lumineuse du rayon émis par la lampe torche avant de traverser les plaques (intensité lumineuse initiale). Ainsi, cette situation est modélisée par la suite (In)(I_n).

Montrer par un calcul que I1=320I_1=320.

a. Pour tout entier naturel nn, exprimer In+1I{n+1} en fonction de InIn.

b. En déduire la nature de la suite InI_n. Préciser sa raison et son premier terme.

c. Pour tout entier naturel nn, exprimer InI_n en fonction de nn.

On souhaite déterminer le nombre minimal nn de plaques à superposer afin que le rayon initial ait perdu au moins 70 %70\ \% de son intensité lumineuse initiale après sa traversée des plaques.

Afin de déterminer le nombre de plaques à superposer, on considère la fonction Python suivante.

def nombrePlaques(J):

I=400

n=0

while I > J:

I = 0.8*I

n = n+1

return n

a. Préciser, en justifiant, le nombre jj de sorte que l’appel nombrePlaques(j) renvoie le nombre de plaques à superposer.

b. Le tableau suivant donne des valeurs de InI_n. Combien de plaques doit-on superposer ?

nn 00 11 22 33 44 55 66 77
InI_n 400400 320320 256256 204,8204,8 163,84163,84 131,07131,07 104,85104,85 83,88683,886