Algèbre : suites de nombres et de motifs

Depuis le CP, tu as déjà eu à résoudre des problèmes impliquant des suites. Tu as, par exemple, déjà rencontré ce genre d'énoncé :

• « Continue la suite E F G E F G E F… »
• Tu as ainsi appris à observer et à comprendre le fonctionnement de ce type de problème. Ici ce sont les lettres E, F et G qui sont répétées tout le temps dans le même ordre : la lettre suivante sera donc « G », puis « E », puis « F », puis à nouveau « G », et ainsi de suite.

Remarque : Une suite ne s'arrête généralement pas. Elle peut continuer jusqu'à l'infini.

Prenons la suite ci-dessous : $$ 2\,–\,5\,–\,8\,–\,11$$ Comment trouver les termes suivants ?

Pour répondre à la question, il faut tout d'abord observer la suite proposée, regarder les opérations possibles entre deux termes qui se suivent, et chercher si cette règle de calcul s'applique partout :

• Pour aller de 2 à 5, on ajoute 3. Regardons si c'est aussi le cas pour passer au nombre suivant.
• Pour aller de 5 à 8, on ajoute 3 aussi. Regardons si c'est aussi le cas pour passer au nombre suivant.
• Pour aller de 8 à 11, on ajoute 3 aussi.
• Dans cette suite, on observe que l'on va d'un terme au suivant en ajoutant 3 à chaque fois.

Prenons la suite ci-dessous : $$3\,–\,6\,–\,12\,–\,24$$ Comment trouver les termes suivants ?

D'abord, on observe la suite proposée et on cherche une règle :

• Pour aller de 3 à 6, on ajoute 3.
• Mais pour aller de 6 à 12, cela ne marche plus !
• La logique n'est donc pas « ajouter 3 » : il faut trouver une autre règle !

On observe aussi que pour aller de 3 à 6, il suffit de multiplier par 2. Regardons si cette règle fonctionne pour tous les termes de la suite :

• $3 \times 2 = 6$
• $6 \times 2 = 12$
• $12 \times 2 = 24$
• Multiplier par 2 fonctionne pour tous les nombres de cette suite !

La règle qui s'applique à cette suite est donc de multiplier par 2 pour trouver le terme suivant. Le terme suivant sera donc :

$$24 \times 2 = 48$$

Ainsi, on peut continuer la suite en respectant toujours la règle « multiplier par 2 », et on trouve :

$$3\,–\,6\,–\,12\,–\,24\,–\,\textcolor{green}{48}\,–\,\textcolor{green}{96}\,–\,\textcolor{green}{192}$$

Prenons la suite ci-dessous : $$2\,–\,6\,–\,14\,–\,30$$ Comment trouver les termes suivants ? D'abord, on observe la suite proposée et on cherche une règle :

• Pour passer de 2 à 6 : on a ajouté 4.
• Pour passer de 6 à 14 : on a ajouté 8.
• Pour passer de 14 à 30 : on a ajouté 16.
• Ici, on constate qu'à chaque fois on ajoute le double de ce qui a été ajouté la fois précédente.

Pour trouver le nombre suivant, on ajoute donc le double de 16, c'est-à-dire 32 :

$$30 + 32 = 62$$

• Le prochain terme sera 62.

On peut continuer la suite en respectant toujours la même règle « ajouter le double de ce qu'on a précédemment ajouté », c'est-à-dire 64, puis 128, etc. La suite sera donc :

$$2\,–\,6\,–\,14\,–\,30\,–\,\textcolor{green}{62}\,–\,\textcolor{green}{126}\,–\,\textcolor{green}{254}$$

Prenons la suite ci-dessous : $$6\,–\,10\,–\,14\,–\,18$$ Ici, la règle est simple : on ajoute 4 à chaque fois. Le nombre 4 est très important ; il va nous servir à trouver le centième nombre !

Nous devons maintenant chercher un nombre de départ. Nous l'appellerons le nombre zéro.

Astuce

Pour trouver ce « nombre zéro » il suffit de prendre le premier nombre de la suite et de lui appliquer l’inverse de la règle qu'on a trouvée :

• si la règle est l'addition d'un nombre, il faudra soustraire ce nombre ;
• si la règle est une multiplication par un nombre, il faudra diviser par ce nombre.

Dans notre exemple, il suffit donc de prendre le premier nombre de la suite (ici c'est 6), puis d'y enlever ce qu'on ajoute à chaque fois dans la suite (ici c'est 4) :

$$6 - 4 = 2$$

• 2 est donc le « nombre zéro ».

L'addition de « nombre zéro » $+$ (« numéro de place » $\times \, 4$) donne le nombre au numéro recherché dans la suite.

Ce tableau reprend ce que l'on vient de démontrer :

On a donc montré que le centième nombre de cette suite est $402$.