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Arithmétique et problèmes de codage
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Introduction :
Ce premier cours de spécialité concerne l’arithmétique et les problèmes de codage.
Nous commencerons par quelques rappels. Ils porteront sur les notations des ensembles de nombre, ainsi que sur le raisonnement par récurrence, une nouvelle notion d’arithmétique qui est abordée dans le programme général de terminale. En deuxième partie, nous verrons la fonction partie entière qui nous amènera à la divisibilité dans avec la division euclidienne.
Rappels sur la récurrence
Les ensembles de nombres
Le plus petit ensemble de nombres est l’ensemble des entiers naturels que l’on note . Cet ensemble contient les entiers nuls et positifs :
L’ensemble des entiers naturels privés de zéro, aussi appelé l’ensemble des entiers naturels non nuls, est noté .
Cet ensemble contient les entiers strictement positifs :
L’ensemble des entiers relatifs est noté . Il contient tous les entiers, c’est-à-dire les entiers positifs, négatifs et zéro :
L’ensemble des entiers relatifs non nuls se note . Cet ensemble contient tous les entiers négatifs et positifs mais est privé de zéro :
Les ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres : ici, l’ensemble des entiers naturels est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs :
Il existe une autre notation pour signifier qu’un ensemble est privé de zéro ou d’une autre valeur.
Raisonnement par récurrence
Métaphore de l’échelle pour la récurrence
Le principe de récurrence est souvent expliqué à l’aide de la métaphore de l’échelle : si on peut se placer d’abord sur un barreau d’une échelle, et si on peut ensuite passer d’un barreau quelconque à son suivant, alors on peut gravir tous les barreaux de cette échelle.
Méthode : raisonnement par récurrence
Soit :
Pour démontrer que est vraie :
L’hérédité n’est à prouver que pour un entier naturel. Si on écrit « on suppose que est vraie pour un entier quelconque », on admet dès cette étape que la relation est vraie pour tous les entiers, ce qui n’aurait pas de sens !
Démontrer que est divisible par 3 pour tout entier naturel .
On appelle , la proposition : est divisible par pour tout entier naturel .
Pour , on a
Or 0 est divisible par 3. Donc est vraie pour .
Supposons que soit vraie à un certain rang .
Cela revient à dire que est divisible par 3.
Montrons que la proposition est vraie au rang suivant , c’est-à-dire que
est divisible par .
Commençons par réécrire l’hypothèse de récurrence à l’aide d’un peu de calcul :
Réécrivons à présent l’expression obtenue à pour retrouver et isoler un facteur 3 :
D’après notre hypothèse de récurrence, est divisible par 3.
Donc il existe un entier tel que soit
On obtient donc :
Donc est vraie : la proposition est héréditaire.
est vraie pour et est vraie. est donc héréditaire pour tout entier naturel positif.
On peut conclure que est divisible par 3 pour tout .
Fonction partie entière
Fonction partie entière :
Tout réel peut être encadré par deux entiers relatifs ; on dit que, pour tout réel , il existe un unique entier relatif tel que soit compris entre inclus et exclu :
L’entier est appelé partie entière de et est noté . C’est l’entier relatif directement inférieur au réel .
Représentation graphique de la fonction partie entière :
La représentation graphique de la fonction partie entière est discontinue sur l’ensemble des réels.
Représentation graphique de la fonction partie entière
Divisibilité dans
Définitions et propriétés
Divisibilité dans :
Soit et des entiers relatifs, étant non nul.
On dit que est un diviseur de lorsqu’il existe un entier relatif tel que .
On peut dire aussi que :
Transitivité:
Soit , et des entiers relatifs.
Si divise et si divise , alors divise .
Comme divise , il existe un entier tel que
Comme divise , il existe un entier tel que
Ainsi,
où donc divise .
Combinaisons linéaires entières
Soit , et des entiers relatifs.
Si divise et , alors pour tous les entiers relatifs et , divise .
Autrement dit, si divise et , alors il divise toutes les combinaisons linéaires entières de et .
Comme divise et , il existe deux entiers et tels que et .
Alors :
où
Ainsi divise .
Division euclidienne
Division euclidienne :
Soit et deux entiers naturels avec non nul. Il existe un unique couple d’entiers naturels tel que :
et
L’entier naturel est le dividende et est le diviseur.
L’entier naturel s’appelle le quotient et s’appelle le reste de la division euclidienne de par .
Soit et deux entiers relatifs avec non nul. Il existe un unique couple avec et , tels que : et
Pour simplifier, la différence entre la division euclidienne dans et la division euclidienne dans , est que dans l’ensemble des entiers relatifs, le et le peuvent être négatifs, ce qui implique d’avoir la possibilité d’avoir un quotient négatif. Par contre le reste est toujours positif.
Problèmes de codage
On se sert par exemple de la notion de division euclidienne lorsque qu’on nous attribue notre numéro de sécurité sociale. Ce numéro est constitué de 15 chiffres :
Voici ce calcul :
Il faut faire la division euclidienne des 13 premiers chiffres par 97. Ensuite on calcule la différence entre 97 et le reste obtenu. On a ainsi les deux derniers chiffres.
Le calcul du numéro de sécurité sociale fait donc appel à la division euclidienne.