Cours Calculer des fractions

$$\frac{1}{2}+\frac{3}{\color{#0070C0}{8}}=\frac{1\times\color{#E67E22}{4}}{2\times\color{#E67E22}{4}}+\frac{3}{\color{#0070C0}{8}}=\frac{4}{\color{#0070C0}{8}}+\frac{3}{\color{#0070C0}{8}}=\frac{7}{\color{#0070C0}{8}}$$

$$\frac{5}{\color{#0070C0}{9}}-\frac{1}{3}=\frac{5}{\color{#0070C0}{9}}-\frac{1\times\color{#E67E22}{3}}{3\times\color{#E67E22}{3}}=\frac{5}{\color{#0070C0}{9}}-\frac{3}{\color{#0070C0}{9}}=\frac{2}{\color{#0070C0}{9}}$$

$$5+\frac{3}{\color{#0070C0}{4}}=\frac{5\times\color{#E67E22}{4}}{1\times\color{#E67E22}{4}}+\frac{3}{\color{#0070C0}{4}}=\frac{20}{\color{#0070C0}{4}}+\frac{3}{\color{#0070C0}{4}}=\frac{23}{\color{#0070C0}{4}}$$

Calculons : $$\left(3+\frac{3}{4}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)$$

• Additionner les fractions

On additionne : $$\frac{3}{4}+\frac{1}{2}$$ On écrit $\frac{1}{2}$ avec le dénominateur 4 : $$\frac{3}{\color{#0070C0}{4}}+\frac{1\times\color{#E67E22}{2}}{2\times\color{#E67E22}{2}}=\frac{3}{\color{#0070C0}{4}}+\frac{2}{\color{#0070C0}{4}}$$

Donc :

$$\frac{3}{\color{#0070C0}{4}}+\frac{2}{\color{#0070C0}{4}}=\frac{5}{\color{#0070C0}{4}}\qquad\frac{5}{\color{#0070C0}{4}}=1+\frac{1}{\color{#0070C0}{4}}$$

• Additionner les entiers

On additionne : $$3 + 2 = 5$$

• Rassembler le tout

$$5 + 1 + \frac{1}{4}$$ Le résultat est donc : $$6 + \frac{1}{4}$$

Calculons : $$5-(2 + \frac{2}{3})$$

En s’aidant d’une représentation graphique

Représentons cette soustraction avec une demi-droite graduée en commençant par une bande de 5 unités en orange :

Hachurons en rose la partie à soustraire :

Le résultat est ce qui reste de la bande orange :

C’est $\frac{1}{3}$ pour arriver à la graduation 3 puis 2 pour arriver à la graduation 5.

Le résultat est donc :$$2 + \frac{1}{3}$$

À l’aide d’additions ou soustractions $$5-(2 + \frac{2}{3})$$

Nous pouvons mettre toutes les fractions en tiers :

$$\frac{15}{\color{#0070C0}{3}}-\left(\frac{6}{\color{#0070C0}{3}}+\frac{2}{\color{#0070C0}{3}}\right)=\frac{15}{\color{#0070C0}{3}}-\frac{8}{\color{#0070C0}{3}}=\frac{7}{\color{#0070C0}{3}}$$

Voici une autre technique pour arriver au même résultat : $5$ c’est $4+\frac{3}{3}$

$$5-\left(2+\frac{2}{3}\right)=\left(4+\frac{3}{\color{#0070C0}{3}}\right)-\left(2+\frac{2}{\color{#0070C0}{3}}\right)$$

On peut maintenant faire la soustraction :

Un ruban bleu, rouge et vert mesure : $$6 + \frac{3}{4}$$ La partie bleue mesure : $$2 + \frac{1}{8}$$ La partie rouge mesure : $$3 + \frac{1}{2}$$ Quelle est la longueur de la partie verte ?

Représentons ce ruban dans le schéma suivant :

• Additionner les parties bleues et rouges

$$2+\frac{1}{8}+3+\frac{1}{2}$$

$$2+3+\frac{1}{8}+\frac{1}{2}$$

$$5+\frac{1}{\color{#0070C0}{8}}+\frac{1\times\color{#E67E22}{4}}{2\times\color{#E67E22}{4}}=5+\frac{1}{\color{#0070C0}{8}}+\frac{4}{\color{#0070C0}{8}}$$

$$5+\frac{1}{\color{#0070C0}{8}}+\frac{4}{\color{#0070C0}{8}}=5+\frac{5}{\color{#0070C0}{8}}$$

• Écrire la longueur totale avec le même dénominateur

$$6+\frac{3}{4}=6+\frac{3\times\color{#E67E22}{2}}{4\times\color{#E67E22}{2}}=6+\frac{6}{\color{#0070C0}{8}}$$

• Calculer la partie verte

Par différence, on peut maintenant trouver la valeur de la partie verte :

$$\left(6+\frac{6}{\color{#0070C0}{8}}\right)-\left(5+\frac{5}{\color{#0070C0}{8}}\right)=(6-5)+\left(\frac{6}{\color{#0070C0}{8}}-\frac{5}{\color{#0070C0}{8}}\right)=1+\frac{1}{\color{#0070C0}{8}}$$

La partie verte du ruban mesure donc $1+\frac{1}{8}$

Calculons : $$3\times\frac{3}{2}$$ Pour bien comprendre, prenons la représentation de $\frac{3}{2}$  :

Calculer $3\times\frac{3}{2}$ reviens à calculer :

$$\frac{3}{\color{#0070C0}{2}}+\frac{3}{\color{#0070C0}{2}}+\frac{3}{\color{#0070C0}{2}}$$

Et cela fait : $$\frac{3}{\color{#0070C0}{2}}+\frac{3}{\color{#0070C0}{2}}+\frac{3}{\color{#0070C0}{2}}=\frac{9}{\color{#0070C0}{2}}$$

Donc : $$3\times\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$$

Calculons : $$6\times\frac{4}{5}$$

Multiplier $\frac{4}{5}$ par 6 revient à additionner 6 fois la fraction $\frac{4}{5}$ :

$$\frac{4}{\color{#0070C0}{5}}+\frac{4}{\color{#0070C0}{5}}+\frac{4}{\color{#0070C0}{5}}+\frac{4}{\color{#0070C0}{5}}+\frac{4}{\color{#0070C0}{5}}+\frac{4}{\color{#0070C0}{5}}$$

On additionne les numérateurs :

$$\frac{4+4+4+4+4+4}{\color{#0070C0}{5}}=\frac{24}{\color{#0070C0}{5}}$$

Donc :

$$6\times\frac{4}{5}=\frac{24}{5}$$

Adeline possède 20 billes. Elle prend les $\frac{3}{4}$ de sa collection.

Pour savoir combien elle a pris de billes, nous devons calculer $\frac{3}{4}$ fois 20 billes.

Ce calcul se fait en deux étapes :

• Partager la quantité en parts égales

Le dénominateur de la fraction est 4. On partage donc les billes en 4 parts égales : 20 c’est $5 \times$ 4 donc chaque part contiendra 5 billes.

• Multiplier par le nombre de parts

Nous cherchons 3 parts.

• 1 part → 5 billes
• 3 parts → $5 \times 3$ = 15 billes

Adeline a pris 15 billes.

Pour faire un excellent gâteau, un pâtissier doit utiliser $\frac{3}{5}$ de 40 grammes de levure.

• Partager la quantité en parts égales

Le dénominateur de la fraction est 4. On partage les 40 g en 5 parts égales : 40 c’est $8 \times 5$ donc chaque part contiendra 8 g de levure.

• Multiplier par le nombre de parts

Nous cherchons 3 parts.

• 1 part → 8 g de levure
• 3 parts → $8\times 3 = 24$ g de levure

Le pâtissier doit utiliser 24 g de levure.

Pour faire un excellent gâteau, un pâtissier doit utiliser $\frac{3}{5}$ de 40 grammes de levure.

• Partager la quantité en parts égales

Le dénominateur de la fraction est 4.

On partage les 40 g en 5 parts égales : 40 c’est $8 \times 5$ donc chaque part contiendra 8 g de levure.

• Multiplier par le nombre de parts

Nous cherchons 3 parts.

• 1 part → 8 g de levure
• 3 parts → $8\times 3 = 24$ g de levure

Le pâtissier doit utiliser 24 g de levure.