Pré-requis : Une fraction se présente sous cette forme :

Additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs identiques

Rappel

Lorsque des fractions ont le même dénominateur, il est possible de les additionner ou de les soustraire.

• Étape 1 : on additionne ou on soustrait les numérateurs.
• Étape 2 : on laisse le dénominateur.

Exemple

$\dfrac{2}{15}+ \dfrac{7}{15} = \dfrac{2 + 7}{15} = \dfrac{9}{15}$

$\dfrac{9}{17}- \dfrac{6}{17} = \dfrac{9 - 6}{17} = \dfrac{3}{17}$

Additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

À retenir

Quand les fractions ont des dénominateurs différents, on ne peut pas les additionner ou les soustraire directement. Il faut d'abord les réduire au même dénominateur.

• Étape 1 : chercher un dénominateur commun pour les deux fractions.
• Étape 2 : transformer les deux fractions pour qu’elles aient le même dénominateur.
• Étape 3 : additionner ou soustraire les numérateurs.
• Étape 4 : conserver le dénominateur commun.

Astuce

Astuce pour l’étape 1 : Pour trouver le dénominateur commun, il faut chercher un nombre qui est dans la table de chaque dénominateur : c’est ce qu'on appelle un multiple commun.

Exemple

On doit résoudre : $\dfrac{2}{3}+ \dfrac{5}{6}$

Étape 1 : On remarque que 6 est un multiple commun. C’est donc un bon choix de dénominateur commun.

À retenir

On cherche le plus petit multiple commun aux dénominateurs.

Exemple

Addition

On doit calculer : $\dfrac{9}{5}+ \dfrac{2}{10}$

Étape 1 : Ici, on cherche un nombre qui est à la fois dans la table de 5 et dans la table de 3 nous remarquons que 10 fait parti des deux tables, avec : $5 \times2 = 10$.

Étape 2 : $\dfrac{9}{5} = \dfrac{9 \times 2}{5 \times 2} = \dfrac{18}{10}$

Étapes 3 et 4 : $\dfrac{9}{5}+ \dfrac{2}{10} =\dfrac{18}{10}+ \dfrac{2}{10} = \dfrac{18 + 2}{10} = \dfrac{20}{10}$

Soustraction

On doit calculer : $\dfrac{3}{4}- \dfrac{4}{8}$

Étape 1 : Ici, on cherche un nombre qui est à la fois dans la table de 8 et dans la table de 4 : c’est le cas de 8 ($4\times2$).

Étape 2 : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$

Étapes 3 et 4 : $\dfrac{3}{4}- \dfrac{4}{8} =\dfrac{6}{8}- \dfrac{4}{8} = \dfrac{2}{8}$

Application

Énoncé : Thomas fait un parcours de 18 km en vélo. Le matin, il parcourt $2 + \dfrac{1}{3}$ km , puis $1 + \dfrac{2}{6}$ km l’après-midi.

Question : Quelle fraction de km lui reste-t-il a parcourir ce soir ?

Résolution :

Étapes 1 et 2  : Mettons toutes les distances parcourues au même dénominateur pour faire les additions :

Le matin : $2 + \dfrac{1}{3}= \dfrac{2 \times 3}{3}+ \dfrac{1}{3} =\dfrac{6}{3}+ \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$

Thomas a parcouru $\dfrac{7}{3}$ le matin.

L’après-midi : $1 + \dfrac{2}{6}= \dfrac{1 \times 6}{6}+ \dfrac{2}{6} =\dfrac{6}{6}+ \dfrac{2}{6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3} $

Thomas a parcouru $\dfrac{4}{3}$ l’après-midi.

Étapes 3 et 4 : On fait la somme des fractions parcourues le matin et l’après-midi. En tout il a déjà parcouru : $\dfrac{7}{3}+ \dfrac{4}{3} =\dfrac{7 + 4}{3} = \dfrac{11}{3} $

On cherche maintenant la fraction qu'il lui reste à parcourir : $18 - \dfrac{11}{3}= \dfrac{18 \times 3}{3}- \dfrac{11}{3} =\dfrac{54}{3}- \dfrac{11}{3} = \dfrac{43}{3}$

Phrase réponse : Il lui reste à parcourir $\dfrac{43}{3}$ des 18 km !