Cours : Connaître et utiliser les cas d'égalité des triangles

Connaître et utiliser les cas d'égalité des triangles

Introduction :

Au cours de cette leçon, nous apprendrons à comparer les triangles.
Nous verrons ainsi dans quelles conditions deux triangles sont égaux et comment prouver leur égalité. Ensuite, nous apprendrons ce que sont des triangles semblables.

Triangles égaux

Définition

Triangles égaux :

Deux triangles sont égaux s’ils sont superposables.

Propriété

Deux triangles égaux ont des côtés de même longueur et des angles de même mesure.

Activité

On trace le triangle $ABC$.

On trace un segment $[AB]$ mesurant $5 \ \text{cm}$.
On trace l’angle $\widehat{ABC}$ mesurant $40\degree$.
On place le point $C$ à $3\ \text{cm}$ du point $B$.
On trace les segments du triangle $ABC$.

On trace le triangle $EDF$.

On trace un segment $[ED]$ mesurant $5\ \text{cm}$.
On trace l’angle $\widehat{EDF}$ mesurant $40\degree$.
On place le point $F$ à $3\ \text{cm}$ du point $D$.
On trace les segments du triangle $EDF$.
On découpe les deux triangles.

$Triangles ABC et EDF-Mathématiques-4e$

On a tracé deux angles de même mesure $\widehat{ABC} = \widehat{EDF}$ et les côtés, qui définissent ces angles, de même longueur.
$AB = ED$ ; et $BC = DF$

Les deux triangles sont par conséquent superposables donc égaux.

Propriété

Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur, alors ces deux triangles sont égaux.

Activité

On trace le triangle $ABC$.

On trace un segment $[AB]$ mesurant $7\ \text{cm}$.
On trace l’angle $\widehat{ABC}$ mesurant $30\degree$.
On trace l’angle $\widehat{BAC}$ mesurant $60\degree$.
On place le point $C$ ainsi construit.
On trace les segments du triangle $ABC$.

On trace le triangle $EDF$.

On trace un segment $[ED]$ mesurant $7\ \text{cm}$.
On trace l’angle $\widehat{EDF}$ mesurant $30\degree$.
On trace l’angle $\widehat{DEF}$ mesurant $60\degree$.
On place le point $F$ ainsi construit.
On trace les segments du triangle $EDF$.
On découpe les deux triangles.

$Triangles ABC et EDF-Mathématiques-4e$

On a tracé deux segments de même mesure $AB = ED$ et les angles des triangles aux extrémités de ce segment sont de même mesure : $\widehat{ABC} = \widehat{EDF}$ ; $\widehat{BAC} =\widehat{DEF}$

Les deux triangles sont par conséquent superposables donc égaux.

Propriété

Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure, alors ces deux triangles sont égaux.

Activité

On trace un triangle $ABC$ tel que :
$AB = 5\ \text{cm}$ ;
$BC = 4\ \text{cm}$ ;
$AC = 3\ \text{cm}$ ;
On trace un triangle $EDF$ tel que :
$ED = 5\ \text{cm}$ ;
$DF = 4\ \text{cm}$ ;
$EF = 3\ \text{cm}$ ;
On découpe les deux triangles.
On a tracé deux triangles ayant les mêmes mesures : $AB = ED$ ; $BC = DF$ ; et $AC = EF$

$Triangles superposables ABC et EDF- Mathématiques-4e$

Les deux triangles sont par conséquent superposables donc égaux.

Propriété

Si deux triangles ont leurs trois côtés de même longueur, alors ces deux triangles sont égaux.

Regardons à présent le cas de deux triangles ayant les mêmes mesures d’angle.

Triangles semblables

Activité

On trace un triangle $ABC$ tel que :
$AB = 10\ \text{cm}$
$\widehat{ABC} = 45\degree$
$\widehat{BAC}= 60\degree$
On trace un triangle $EDF$ tel que :
$ED = 8\ \text{cm}$
$\widehat{EDF}= 45\degree$
$\widehat{DEF}= 60\degree$
On découpe les triangles.

$Triangles aux même mesures d’angles-Mathématiques-4e$

On remarque qu’on peut réaliser deux triangles différents avec pourtant des mesures d’angle identiques. Ces triangles possèdent cependant des caractéristiques communes, on les appellera triangles semblables.

Définition

Triangles semblables :

Deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux.

Conclusion :

Dans ce cours nous avons appris que deux triangles pouvaient être égaux. Nous avons vu également que deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux.