Triangles égaux et semblables

Prérequis :

• cours sur l’agrandissement et la réduction d’un figure.

Triangles égaux

Définition

Définition

Triangles égaux :

Deux triangles sont dits égaux s’ils sont superposables, c’est-à-dire si leurs trois côtés sont deux à deux de même longueur.

Par « superposables », on entend que l’on peut faire coïncider exactement les deux triangles, en en déplaçant un et/ou en le faisant tourner sur lui-même ; dans certains cas, on peut aussi avoir besoin de retourner un triangle (comme lors d’une symétrie axiale).

Exemple

Les trois triangles suivants sont égaux :

Trois triangles égaux

Par exemple : en déplaçant celui de gauche sur celui du milieu et en le retournant, et en déplaçant celui de droite aussi sur celui du milieu et en le faisant tourner, on les fait coïncider exactement :

Les trois triangles coïncident exactement

Propriétés

Propriété

Si deux triangles sont égaux, alors leurs angles sont deux à deux de même mesure.

Exemple

Les triangles représentés ci-dessous sont égaux – leurs côtés sont deux à deux de même longueur.

• Leurs angles sont donc deux à deux de même mesure.

Angles deux à deux de même mesure

Attention

La réciproque de cette propriété n’est pas vraie : si deux triangles ont des angles deux à deux de même mesure, ils ne sont pas nécessairement égaux ! Nous le verrons dans la dernière partie de ce cours.

Il existe cependant trois propriétés qui permettent, en fonction des données dont on dispose, de reconnaître des triangles égaux.

Propriété

• Si deux triangles ont leurs côtés deux à deux de même mesure, alors ce sont des triangles égaux – c’est la définition.

Les deux triangles sont égaux

• Si deux triangles ont un angle de même mesure, compris entre deux côtés deux à deux de même longueur, alors ce sont des triangles égaux.

Les deux triangles sont égaux

• Si deux triangles ont un côté de même longueur, compris entre deux angles deux à deux de même mesure, alors ce sont des triangles égaux.

Les deux triangles sont égaux

Astuce

• Pour chacune de ces propriétés, retenez qu’il y a trois égalités à montrer pour conclure que deux triangles sont égaux.
• Veillez aussi à l’endroit où sont les angles et les côtés pour lesquels vous vérifiez les égalités, et qu’ils respectent bien les conditions des propriétés :
• tous les côtés des deux triangles ;
• pour chacun des triangles, un angle et les deux côtés qui forment cet angle.
• pour chacun des triangles, un côté et les deux angles adjacents à ce côté.

Prenons un contre-exemple pour montrer l’importance de la place des éléments auxquels on s’intéresse.
$ABC$ et $DEF$ sont deux triangles rectangles, respectivement en $B$ et en $E$, avec :

• $BC=EF$ ;
• $AC=DE$.

On a bien nos trois égalités ;

• une de mesures d’angles : $\widehat{ABC}=\widehat {DEF}=90\degree$ ;
• deux de longueurs de côtés : $BC=EF$ et $AC=DE$.
• Mais l’angle $\widehat{ABC}$ n’est pas compris entre $[AC]$ et $[BC]$, les deux côtés pour lesquels on a une égalité de longueurs.
  Sur la figure, on peut remarquer que les deux triangles ne sont pas superposables, ils ne sont donc pas égaux.

Nous allons maintenant montrer comment utiliser les trois propriétés pour reconnaître des triangles égaux. Nous allons le faire à travers un même exemple, afin de bien comprendre le principe. Cela nous permettra de revoir aussi quelques propriétés géométriques.

Exemple

On considère $BING$, un parallélogramme quelconque, dont on trace la diagonale $[GI]$.

Parallélogramme BING

Nous allons montrer que les triangles $BIG$ et $NGI$ sont égaux.

• Avec la propriété 1

C’est la méthode la plus immédiate et la plus directe.
$BING$ est un parallélogramme, donc ses côtés opposés sont de même longueur :

$$BI=NG\qquad \text{et}\qquad BG=NI$$

De plus, les triangles $BIG$ et $NGI$ ont un côté commun, $[GI]$.

Côtés deux à deux de même mesure

Les triangles $BIG$ et $NGI$ ont leurs côtés deux à deux de même longueur.

• Ils sont donc égaux.
• Avec la propriété 2

On utilise de nouveau les égalités de longueurs :

$$BI=NG\qquad \text{et}\qquad BG=NI$$

On sait que les angles opposés d’un parallélogramme sont de même mesure, donc :

$$\widehat{IBG}=\widehat{GNI}$$

Un angle de même mesure compris entre deux côtés deux à deux de même longueur

Les triangles $BIG$ et $NGI$ ont un angle de même mesure, compris entre deux côtés deux à deux de même longueur.

• Ils sont donc égaux.
• Avec la propriété 3

Cette méthode est valable, mais elle est à réserver aux adeptes du dicton : « Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? »…

Comme $BING$ est un parallélogramme, les droites $(BG)$ et $(NI)$ sont parallèles, et la droite $(IG)$ les coupe respectivement en $G$ et $I$. Donc les angles alternes internes sont de même mesure :

$$\widehat{BGI}=\widehat{NIG}$$

La droite (IG) coupe les droites parallèles (BG) et (NI)

De la même façon, les droites $(GN)$ et $(BI)$ sont parallèles, et $(IG)$ les coupe respectivement en $G$ et $I$. Donc les angles alternes internes sont de même mesure :

$$\widehat{GIB}=\widehat{IGN}$$

La droite (IG) coupe les droites parallèles (GN) et (BI)

De plus, $[GI]$ est un côté commun à $BIG$ et $NGI$.

Un côté de même longueur compris entre deux angles deux à deux de même mesure

Les triangles $BIG$ et $NGI$ ont un côté de même longueur, compris entre deux angles deux à deux de même mesure.

• Ils sont donc égaux.

Astuce

Il existe encore une méthode – c’est la richesse des propriétés d’un parallélogramme !
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, qui est son centre de symétrie. On le note $O$.

Diagonales d’un parallélogramme

Ainsi, par la symétrie de centre $O$ :

• $N$ est l’image de $B$ ;
• $G$ est l’image de $I$ ;
• $I$ est l’image de $G$.
• Le triangle $NGI$ est l’image du triangle $BIG$ par la symétrie centrale de centre $O$.
  Or, deux triangles symétriques par rapport à un point sont superposables. Les deux triangles sont donc égaux.

Application

Énoncé

On considère la pyramide $ANGKR$ :

• sa base est le rectangle (non carré) $ANGK$, dont les diagonales se coupent en $O$ ;
• son sommet est $R$ ;
• sa hauteur est $[OR]$ (elle est perpendiculaire aux diagonales de la base).

L’objectif est de montrer que toutes les faces latérales de la pyramide $ANGKR$ sont des triangles isocèles, et que certains sont égaux.

• Montrer que les triangles $AOR$, $NOR$, $GOR$ et $KOR$ sont égaux.
• En déduire que les faces latérales de la pyramide sont isocèles.
• Associez les faces latérales qui sont des triangles égaux.

Corrigé

Astuce

Dans les exercices, quand il vous sera demandé de montrer que deux triangles sont égaux, ou quand savoir que deux triangles sont égaux vous permettra de répondre à la question posée, la première chose à faire est de vérifier quelles égalités vous pouvez montrer. Parfois, vous aurez à faire appel à d’autres propriétés géométriques que vous avez apprises, comme nous l’avons vu dans l’exemple de la partie précédente.

• Ceci fait, vous saurez alors quelle propriété utiliser.

• Égalité des triangles $AOR$, $NOR$, $GOR$ et $KOR$

Ces quatre triangles sont rectangles en $O$. Ils ont donc un angle de même mesure.
En outre, le segment $[OR]$ est commun aux quatre triangles, ils ont donc tous un côté de même longueur.

De plus, nous savons que les diagonales d’un rectangle sont de même longueur et se coupent en leur milieu, soit $O$. On peut en déduire les égalités de longueur :

$$OA=ON=OG=OK$$

Attention

Il ne faut pas vous laisser tromper par la perspective de la représentation, où ces longueurs ne sont pas égales ! N’oubliez pas que les mathématiques permettent d’aller au-delà des apparences…

Nous avons montré que les triangles $AOR$, $NOR$, $GOR$ et $KOR$ ont un angle de même mesure (leurs angles droits), compris entre deux côtés deux à deux de même mesure.

• Ils sont donc égaux.
• Faces latérales isocèles

Les triangles $AOR$, $NOR$, $GOR$ et $KOR$ sont égaux, leurs côtés sont donc deux à deux de même longueur. Ainsi :

$$RA=RN=RG=RK$$

• Les triangles $ARN$, $NRG$, $GRK$ et $KRA$, autrement dit, les faces latérales de la pyramide, sont donc tous isocèles en $R$.
• Faces latérales égales

$ANGK$ est un rectangle, ses côtés opposés sont donc de même longueur :

$$AN=GK\qquad \text{et}\qquad AK=NG$$

Ainsi, les triangles $ARN$ et $GRK$ ont leurs côtés deux à deux de même longueur.

• Ces deux triangles sont donc égaux.

De la même façon, les triangles $NRG$ et $KRA$ ont leurs côtés deux à deux de même longueur.

• Ces deux triangles sont donc égaux.

Triangles semblables

On considère un triangle $ABC$ et le triangle $DEF$, qui est son agrandissement de rapport $k>1$.

$ABC$ et $DEF$ ne sont pas des triangles égaux (la longueur des côtés du premier a été multipliée par $k$).
Cependant, nous avons vu qu’un agrandissement, ou une réduction, conserve les angles. Nous avons donc :

$$\widehat{BAC}=\widehat{EDF} \qquad \widehat{CBA}=\widehat{FED}\qquad \widehat{ACB}=\widehat{DFE}$$

• On dit que les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables.

Définition

Triangles semblables :

Des triangles semblables sont des triangles dont les angles sont deux à deux de même mesure.

Attention

Ainsi :

• deux triangles égaux sont semblables ;
• mais deux triangles semblables ne sont pas nécessairement égaux.

Astuce

Pour montrer que deux triangles sont semblables, dans la pratique, il suffit de montrer que deux couples d’angles sont deux à deux de même mesure. En effet, le troisième couple sera également de même mesure, puisque la somme des angles d’un triangle vaut $180\degree$.

À retenir

Vocabulaire :

Lorsque deux triangles sont semblables :

• les angles égaux sont appelés angles homologues ;
• les sommets des angles égaux sont appelés sommets homologues ;
• les côtés opposés aux angles égaux sont appelés côtés homologues.

Si deux triangles sont semblables, l’un est l’agrandissement de l’autre (et ce dernier est la réduction du premier). Nous retrouvons alors la propriété vue pour les agrandissements et les réductions.

Propriété

Deux triangles semblables ont les longueurs de leurs côtés proportionnelles deux à deux.

Attention

On veillera à ce que les longueurs soient exprimées dans la même unité.

Exemple

On considère les triangles $ABC$ et $DEF$ ci-dessous représentés :

Triangles ABC et DEF

On cherche à déterminer les longueurs manquantes de $[DF]$ et $[EF]$.

Le codage des triangles nous permet de repérer deux couples d’angles deux à deux de même mesure :

$$\widehat{BAC}=\widehat{EDF}\qquad \text{et}\qquad \widehat{CBA}=\widehat{DFE}$$

• Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont donc semblables.

Précisons les éléments homologues :

Angles homologues	$\widehat{BAC}$ et $\widehat{EDF}$	$\widehat{CBA}$ et $\widehat{DFE}$	$\widehat{ACB}$ et $\widehat{FED}$
Sommets homologues	$A$ et $D$	$B$ et $F$	$C$ et $E$
Côtés homologues	$[BC]$ et $[EF]$	$[AC]$ et $[DE]$	$[AB]$ et $[DF]$

Maintenant, comme $ABC$ et $DEF$ sont semblables, les longueurs des côtés de l’un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l’autre. Notons $k$ le coefficient de proportionnalité. Utilisons un tableau de proportionnalité, en veillant à bien mettre par colonne les longueurs des côtés homologues :

Tableau de proportionnalité des longueurs de ABC et DEF

Nous pouvons calculer $k$, puisque nous connaissons $AC$ et $DE$ :

$$\begin{aligned} k&=\dfrac {DE}{AC} \\ &=\dfrac{3,01}{4,3} \\ &=0,7 \end{aligned}$$

• Et nous trouvons donc :

$$\begin{aligned} DF&=k\times AB \\ &=0,7\times 6,2\ \text{dm} \\ &=\boxed{4,34\ \text{dm}} \\ \\ EF&=k\times BC \\ &=0,7\times 3,7\ \text{dm} \\ &=\boxed{2,59\ \text{dm}} \end{aligned}$$

On peut terminer en précisant que le triangle $DEF$ est une réduction du triangle $ABC$ de rapport $0,7$.