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Marianne

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Connaître et utiliser les cas d'égalité des triangles

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Introduction :

Au cours de cette leçon, nous apprendrons à comparer les triangles.
Nous verrons ainsi dans quelles conditions deux triangles sont égaux et comment prouver leur égalité. Ensuite, nous apprendrons ce que sont des triangles semblables.

Triangles égaux

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Définition

Triangles égaux :

Deux triangles sont égaux s’ils sont superposables.

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Propriété

Deux triangles égaux ont des côtés de même longueur et des angles de même mesure.

Activité

On trace le triangle ABCABC.

  • On trace un segment [AB][AB] mesurant 5 cm5 \ \text{cm}.
  • On trace l’angle ABC^\widehat{ABC} mesurant 40°40\degree.
  • On place le point CC à 3 cm3\ \text{cm} du point BB.
  • On trace les segments du triangle ABCABC.

On trace le triangle EDFEDF.

  • On trace un segment [ED][ED] mesurant 5 cm5\ \text{cm}.
  • On trace l’angle EDF^\widehat{EDF} mesurant 40°40\degree.
  • On place le point FF à 3 cm3\ \text{cm} du point DD.
  • On trace les segments du triangle EDFEDF.
  • On découpe les deux triangles.

Triangles ABC et EDF-Mathématiques-4e

On a tracé deux angles de même mesure ABC^=EDF^\widehat{ABC} = \widehat{EDF} et les côtés, qui définissent ces angles, de même longueur.
AB=EDAB = ED ; et BC=DFBC = DF

  • Les deux triangles sont par conséquent superposables donc égaux.
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Propriété

Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur, alors ces deux triangles sont égaux.

Activité

On trace le triangle ABCABC.

  • On trace un segment [AB][AB] mesurant 7 cm7\ \text{cm}.
  • On trace l’angle ABC^\widehat{ABC} mesurant 30°30\degree.
  • On trace l’angle BAC^\widehat{BAC} mesurant 60°60\degree.
  • On place le point CC ainsi construit.
  • On trace les segments du triangle ABCABC.

On trace le triangle EDFEDF.

  • On trace un segment [ED][ED] mesurant 7 cm7\ \text{cm}.
  • On trace l’angle EDF^\widehat{EDF} mesurant 30°30\degree.
  • On trace l’angle DEF^\widehat{DEF} mesurant 60°60\degree.
  • On place le point FF ainsi construit.
  • On trace les segments du triangle EDFEDF.
  • On découpe les deux triangles.

Triangles ABC et EDF-Mathématiques-4e

  • On a tracé deux segments de même mesure AB=EDAB = ED et les angles des triangles aux extrémités de ce segment sont de même mesure : ABC^= EDF^\widehat{ABC} = \widehat{EDF} ; BAC^=DEF^\widehat{BAC} =\widehat{DEF}

Les deux triangles sont par conséquent superposables donc égaux.

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Propriété

Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure, alors ces deux triangles sont égaux.

Activité

  • On trace un triangle ABCABC tel que :
  • AB=5 cmAB = 5\ \text{cm} ;
  • BC=4 cmBC = 4\ \text{cm} ;
  • AC=3 cmAC = 3\ \text{cm} ;
  • On trace un triangle EDFEDF tel que :
  • ED=5 cmED = 5\ \text{cm} ;
  • DF=4 cmDF = 4\ \text{cm} ;
  • EF=3 cmEF = 3\ \text{cm} ;
  • On découpe les deux triangles.
  • On a tracé deux triangles ayant les mêmes mesures : AB=EDAB = ED ; BC=DFBC = DF ; et AC=EFAC = EF

Triangles superposables ABC et EDF- Mathématiques-4e

  • Les deux triangles sont par conséquent superposables donc égaux.
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Propriété

Si deux triangles ont leurs trois côtés de même longueur, alors ces deux triangles sont égaux.

Regardons à présent le cas de deux triangles ayant les mêmes mesures d’angle.

Triangles semblables

Activité

  • On trace un triangle ABCABC tel que :
  • AB=10 cmAB = 10\ \text{cm}
  • ABC^=45°\widehat{ABC} = 45\degree
  • BAC^=60°\widehat{BAC}= 60\degree
  • On trace un triangle EDFEDF tel que :
  • ED=8 cmED = 8\ \text{cm}
  • EDF^=45°\widehat{EDF}= 45\degree
  • DEF^=60°\widehat{DEF}= 60\degree
  • On découpe les triangles.

Triangles aux même mesures d’angles-Mathématiques-4e

On remarque qu’on peut réaliser deux triangles différents avec pourtant des mesures d’angle identiques. Ces triangles possèdent cependant des caractéristiques communes, on les appellera triangles semblables.

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Définition

Triangles semblables :

Deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux.

Conclusion :

Dans ce cours nous avons appris que deux triangles pouvaient être égaux. Nous avons vu également que deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux.