Cours Connaître les critères de divisibilité d’un nombre entier

Prérequis : N’hésite pas à consulter le cours de : CM1 - Connaître les critères de divisibilité d’un nombre entier.

Rappel

Définition

Nombre entier

Un nombre entier est un nombre qui s’écrit sans virgule.

Exemples : 37 ou 169 sont des nombres entiers.

Divisible

Un nombre entier est divisible par un autre nombre si le résultat de la division est un nombre entier.

Exemples :

• 15 est un nombre divisible par 3
• $15 \div 3 = 5$
• On peut faire 3 groupes de 5.
• 15 est aussi divisible par 5
• $15 \div 5 = 3$
• On peut faire 5 groupes de 3.
• 15 n’est pas divisible par 2
• $15 \div 2 = 7,5$
• On ne peut pas faire 2 groupes égaux sans reste.

Déterminer des diviseurs d’un nombre entier inférieur ou égal à 100

Pour savoir rapidement si un nombre est divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10, il existe des astuces simples. On les appelle des critères de divisibilité.

Première astuce : je regarde le dernier chiffre du nombre.

• Divisible par 2

Un nombre est divisible par 2 s’il est pair. Un nombre pair se termine par un 0 2 4 6 ou 8.

Exemple

• 87 n’est pas divisible par 2.

• 48 est divisible par 2.

• Divisible par 10

Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par un 0.

Exemple

• 80 est divisible par 10.

• 74 n’est pas divisible par 10.

• Divisible par 5

Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par un 0 ou 5.

Exemple

• 75 est divisible par 5

• 93 n’est pas divisible par 5.

Deuxième astuce : j’additionne les chiffres du nombre.

• Divisible par 3

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est dans la table de 3 : 0 3 6 9 12 15 ou 18.

Exemple

• $48$ → $4 + 8 = 12$
• 48 est divisible par 3

• $64$ → $6 + 4 = 10$
• 64 n’est pas divisible par 3

• Divisible par 9

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est 9 ou 18.

Exemple

• $49$ → $4 + 9 = 13$
• 49 n’est pas divisible par 9

• $99$ → $9 + 9 = 18$
• 99 est divisible par 9

Astuce

Si un nombre est divisible par 9, alors il est forcément divisible par 3.

Déterminer tous les diviseurs d’un nombre entier inférieur ou égal à 30

Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre, on peut suivre une méthode organisée.

Méthode :

• On divise le nombre par 1, puis par 2, puis par 3 etc.. Attention de ne pas oublier de nombres !
• À chaque division, si le résultat est un nombre entier, on note les deux nombres :
• le nombre par lequel on divise (exemple : $14 \div 2 = 7$ → on note 2)
• le résultat obtenu (exemple : $14 \div 2 = 7$ → on note 7)
• On peut s’arrêter quand on retombe sur un nombre déjà trouvé. Cela signifie que tous les diviseurs ont été trouvés.

Exemple

Trouver tous les diviseurs de 30.

On test les divisions :

La liste des diviseurs de 30 est donc : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30.

À retenir

Les diviseurs d’un nombre vont toujours par paires.

Déterminer les diviseurs communs à deux nombres entiers inférieurs ou égaux à 30

Des nombres différents peuvent avoir les mêmes diviseurs.

Exemple

Par exemple, nous allons rechercher les diviseurs communs à 24 et à 16.

Les diviseurs communs à 24 et 16 sont donc : 1 ; 2 et 4.

Déterminer des multiples communs à deux nombres entiers inférieurs à 15

Un multiple d’un nombre est le résultat obtenu quand on multiplie ce nombre par 1, 2, 3, 4…

Pour trouver un multiple commun à deux nombres, on peut lister leurs multiples et chercher un nombre identique dans les deux listes.

Exemple

Lister des multiples de 6 et de 8 :

Le premier nombre que l’on retrouve dans les deux listes est 24.

24 est un multiple commun à 6 et à 8.

C’est le plus petit multiple commun.

Exemple

Lister des multiples de 3 et 7 :

Le premier nombre que l’on retrouve dans les deux listes est 21.

21 est un multiple commun à 3 et à 7.

C’est le plus petit multiple commun.