Cours Connaître les critères de divisibilité d'un nombre entier

Prérequis : avant de commencer, tu peux revoir le cours de CM1 sur le cours : connaître les critères de divisibilité d’un nombre entier.

Rappel

Définition

Nombre entier

Un nombre entier est un nombre qui s’écrit sans virgule.

Exemple

37 ou 169 sont des nombres entiers.

Divisible

Un nombre entier est divisible par un autre nombre si le résultat de la division est un nombre entier.

Exemple

• 15 est un nombre divisible par 3
• $15 \div 3 = 5$
• On peut faire 3 groupes de 5.
• 15 est aussi divisible par 5
• $15 \div 5 = 3$
• On peut faire 5 groupes de 3.
• 15 n’est pas divisible par 2
• $15 \div 2 = 7,5$
• On ne peut pas faire 2 groupes égaux sans reste.

Déterminer des diviseurs d’un nombre entier inférieur ou égal à 100

Pour savoir rapidement si un nombre est divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10, il existe des astuces simples. On les appelle des critères de divisibilité.

Première astuce : je regarde le dernier chiffre du nombre.

• Divisible par 2

Un nombre est divisible par 2 s’il est pair. Un nombre pair se termine par un 0 2 4 6 ou 8.

Exemple

• 87 n’est pas divisible par 2.

• 48 est divisible par 2.

• Divisible par 10

Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par un 0.

Exemple

• 80 est divisible par 10.

• 74 n’est pas divisible par 10.

• Divisible par 5

Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par un 0 ou 5.

Exemple

• 75 est divisible par 5

• 93 n’est pas divisible par 5.

Deuxième astuce : j’additionne les chiffres du nombre.

• Divisible par 3

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est dans la table de 3 : 0 3 6 9 12 15 ou 18.

Exemple

• $48$ → $4 + 8 = 12$
• 48 est divisible par 3

• $64$ → $6 + 4 = 10$
• 64 n’est pas divisible par 3

• Divisible par 9

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est 9 ou 18.

Exemple

• $49$ → $4 + 9 = 13$
• 49 n’est pas divisible par 9

• $99$ → $9 + 9 = 18$
• 99 est divisible par 9

Astuce

Si un nombre est divisible par 9, alors il est forcément divisible par 3.

Déterminer tous les diviseurs d’un nombre entier inférieur ou égal à 30

Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre, on peut suivre une méthode organisée.

Méthode :

• On divise le nombre par 1, puis par 2, puis par 3 etc.. Attention de ne pas oublier de nombres !
• À chaque division, si le résultat est un nombre entier, on note les deux nombres :
• le nombre par lequel on divise (exemple : $14 \div 2 = 7$ → on note 2)
• le résultat obtenu (exemple : $14 \div 2 = 7$ → on note 7)
• On peut s’arrêter quand on retombe sur un nombre déjà trouvé. Cela signifie que tous les diviseurs ont été trouvés.

Exemple

Trouver tous les diviseurs de 30.

On test les divisions :

La liste des diviseurs de 30 est donc : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30.

À retenir

Les diviseurs d’un nombre vont toujours par paires.

Déterminer les diviseurs communs à deux nombres entiers inférieurs ou égaux à 30

Des nombres différents peuvent avoir les mêmes diviseurs.

Exemple

Par exemple, nous allons rechercher les diviseurs communs à 24 et à 16.

Les diviseurs communs à 24 et 16 sont donc : 1 ; 2 et 4.

Déterminer des multiples communs à deux nombres entiers inférieurs à 15

Un multiple d’un nombre est le résultat obtenu quand on multiplie ce nombre par 1, 2, 3, 4…

Pour trouver un multiple commun à deux nombres, on peut lister leurs multiples et chercher un nombre identique dans les deux listes.

Exemple

Lister des multiples de 6 et de 8 :

Le premier nombre que l’on retrouve dans les deux listes est 24.

24 est un multiple commun à 6 et à 8.

C’est le plus petit multiple commun.

Exemple

Lister des multiples de 3 et 7 :

Le premier nombre que l’on retrouve dans les deux listes est 21.

21 est un multiple commun à 3 et à 7.

C’est le plus petit multiple commun.