Connaître les quadrilatères : rectangles, losanges et carrés : Fiche de cours - Mathématiques

Introduction :

L’objectif de ce cours est d’étudier trois quadrilatères particuliers et de donner les propriétés des longueurs des côtés, des angles, des diagonales et de symétrie de chacun.
Dans ce cours, nous reverrons dans un premier temps le vocabulaire des quadrilatères, puis nous étudierons les propriétés du rectangle, du losange et du carré.

Généralités sur le quadrilatère

Rappel

Un quadrilatère est un polygone possédant quatre côtés.

$quadrilatère rectangle losange carré$

À retenir

Le quadrilatère $ABCD$ a :

$4$ sommets : les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ ;
$4$ côtés : les segments $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ et $[DA]$ ;
$4$ angles : $\widehat{A}$ , $\widehat{B}$ , $\widehat{C}$ et $\widehat{D}$ ;
$2$ diagonales : les segments $[BD]$ et $[AC]$ .

Le rectangle

Définition

Rappel

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

$quadrilatère rectangle losange carré$

Dans le rectangle $ABCD$ ci-dessus : $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90\degree$ .

Propriétés des côtés d’un rectangle

À retenir

Un rectangle a ses côtés opposés parallèles et de même longueur.

$quadrilatère rectangle losange carré$

Dans le rectangle $ABCD$ ci-dessus, $AD = BC$ , $BA = CD$ et les côtés $[AD]$ et $[BC]$ sont parallèles, de même que les côtés $[BA]$ et $[CD]$ .

Propriétés des diagonales d’un rectangle

Propriété

Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu.

$quadrilatère rectangle losange carré$

Dans le rectangle $ABCD$ ci-dessus, $AC = BD$ et les segments $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu : $O$ .

Axes de symétrie d’un rectangle

Propriété

Un rectangle a deux axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés.

$quadrilatère rectangle losange carré$

Le losange

Définition

Rappel

Un losange est un quadrilatère qui a $4$ côtés de même longueur.

$quadrilatère rectangle losange carré$

Dans le losange $ABCD$ ci-dessus, $AB = BC = CD = DA$ .

Propriétés des côtés d’un losange

Propriété

Un losange a ses côtés opposés parallèles (et de même longueur).

$quadrilatère rectangle losange carré$

Dans le losange $ABCD$ ci-dessus, les côtés $[AD]$ et $[BC]$ sont parallèles, de même que les côtés $[BA]$ et $[CD]$ sont parallèles.

Propriétés des diagonales d’un losange

Propriété

Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

$quadrilatère rectangle losange carré$

Dans le losange $ABCD$ ci-dessus, les segments $[AC]$ et $[BD]$ sont perpendiculaires et qu’ils se coupent en leur milieu : $O$ .

Axes de symétrie d’un losange

Propriété

Un losange a deux axes de symétrie qui sont ses diagonales.

$quadrilatère rectangle losange carré$

Le carré

Définition

Rappel

Un carré est à la fois un rectangle et un losange :

il a $4$ angles droits ;
il a $4$ côtés de même longueur.

$quadrilatère rectangle losange carré$

Dans le carré $ABCD$ ci-dessus, $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = \widehat{D} = 90\degree$ et $AB = BC = CD = DA$ .

Propriétés des côtés d’un carré

Propriété

Un carré a ses côtés opposés parallèles et de même longueur.

$quadrilatère rectangle losange carré$

Dans le carré $ABCD$ ci-dessus, $AD = BC$ et $BA = CD$ et les côtés $[AD]$ et $[BC]$ sont parallèles, de même que $[BA]$ et $[CD]$ .

Propriétés des diagonales d’un carré

Propriété

Les diagonales d’un carré ont la même longueur et se coupent perpendiculairement en leur milieu.

$quadrilatère rectangle losange carré$

Dans le carré $ABCD$ ci-dessus, les segments $[AC]$ et $[BD]$ ont même longueur et se coupent perpendiculairement en leur milieu : $O$ .

Astuce

Un carré est un losange particulier dont les diagonales sont égales.

Axes de symétrie d’un carré

Propriété

Un carré a quatre axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés et ses diagonales.

$quadrilatère rectangle losange carré$

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons vu les propriétés de trois quadrilatères particuliers.

Le rectangle, qui a $4$ angles droits, ses côtés opposés parallèles et de même longueur et ses diagonales de même longueur qui se coupent en leur milieu.
Le losange, qui a $4$ côtés de même longueur, ses côtés opposés parallèles et de même longueur et ses diagonales qui se coupent perpendiculairement en leur milieu.
Et enfin le carré, qui a $4$ angles droits et $4$ côtés de même longueur, ses côtés opposés parallèles et de même longueur, et ses diagonales de même longueur qui se coupent perpendiculairement en leur milieu.