Fiche de révision Connaître et reconnaître les parallélogrammes

Les parallélogrammes

Définition et propriétés

• Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
• Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :
• ses côtés opposés sont de même longueur ;
• ses diagonales se coupent en leur milieu, qui est le centre de symétrie du parallélogramme ;
• ses angles opposés sont de même mesure.

Reconnaître un parallélogramme

• Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c'est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur, alors c'est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.

Attention

Il faut bien nommer les quadrilatères : on choisit un sommet et un sens de rotation, puis on note les lettres dans l'ordre. Un quadrilatère mal nommé peut être croisé (ex. $ABCD$ au lieu de $ABDC$).

Construire un parallélogramme $ABCD$

• Méthode 1 (côtés parallèles) : tracer deux côtés consécutifs $[AB]$ et $[BC]$, puis la parallèle à $(BC)$ passant par $A$ et la parallèle à $(AB)$ passant par $C$ ; leur intersection est $D$.
• Méthode 2 (côtés de même longueur) : tracer $[AB]$ et $[BC]$, puis au compas reporter $BC$ depuis $A$ et $AB$ depuis $C$ ; l'intersection des arcs est $D$.
• Méthode 3 (diagonales) : tracer $[AC]$ et son milieu $O$, placer $B$ hors de $(AC)$, construire $D$ symétrique de $B$ par rapport à $O$, puis relier les sommets.

Parallélogrammes particuliers

• Le losange, le rectangle et le carré sont des parallélogrammes : ils ont donc toutes les propriétés du parallélogramme.

Le losange

• Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur.
• Si un parallélogramme est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires.
• Réciproque : si un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.
• Construction : avec la longueur d'un côté et un angle (on trace $[AB]$, l'angle en $B$, on place $C$ tel que $BC=AB$, puis $D$ à l'intersection de deux arcs de même rayon centrés en $A$ et $C$).

Le rectangle

• Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont droits.
• Si un parallélogramme est un rectangle, alors ses diagonales sont de même longueur.
• Réciproque : si un parallélogramme a des diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.
• Construction : avec deux côtés consécutifs (on trace $[AB]$, la perpendiculaire en $B$, on place $C$, puis $D$ à l'intersection de deux arcs).

Le carré

• Un carré est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur et dont les quatre angles sont droits.
• Les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu, sont de même longueur et sont perpendiculaires.
• Réciproque : si un parallélogramme a des diagonales de même longueur et perpendiculaires, alors c'est un carré.
• Un carré est à la fois un losange et un rectangle.

Attention

Les réciproques sont fausses : un losange ou un rectangle n'est pas forcément un carré.

À retenir

Reconnaître un parallélogramme particulier avec ses diagonales :

• diagonales de même longueur $\Rightarrow$ rectangle ;
• diagonales perpendiculaires $\Rightarrow$ losange ;
• diagonales de même longueur et perpendiculaires $\Rightarrow$ carré.

Aire d'un parallélogramme et résolution de problèmes

Aire

• L'aire d'un parallélogramme est égale au produit d'une base par la hauteur associée (segment perpendiculaire à la base, joignant la base au côté opposé) : $$\mathcal A=\text{base}\times\text{hauteur}$$
• Justification : le parallélogramme a la même aire qu'un rectangle de longueur la base et de largeur la hauteur.

Problèmes avec conversions

• Pour calculer une aire, toutes les longueurs doivent être exprimées dans la même unité.
• Rappels : $1\ \text{m}=100\ \text{cm}$ et $1\ \text{m}^2=100\ \text{dm}^2$ (et $1\ \text{dm}^2=100\ \text{cm}^2$).

Exemple

Parallélogramme de base $8\ \text{m}$ et de hauteur $250\ \text{cm}=2,5\ \text{m}$ : $\mathcal A=8\times2,5=20\ \text{m}^2$. Avec un rectangle de $4\ \text{m}$ sur $3\ \text{m}$ ($12\ \text{m}^2$), l'aire totale est $32\ \text{m}^2=3\,200\ \text{dm}^2$.