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Les différents types de quadrilatères

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Introduction :

Les quadrilatères sont des figures géométriques particulières.
Dans ce cours, nous allons apprendre les propriétés générales des quadrilatères puis étudier les quadrilatères particuliers. Nous les définirons ainsi un à un avant de faire un point méthodologique pour apprendre à tracer chacun d’entre eux.

Définition du quadrilatère

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Définition

Quadrilatère :

Un quadrilatère est un polygone particulier possédant quatre côtés et donc quatre sommets.

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Rappel

Un polygone est une figure géométrique fermée délimitée par des segments.

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Propriété

Dans un quadrilatère, la somme des angles vaut 360°360\degree.

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Exemple

De la théorie à la pratique

Si on essaye de tracer un quadrilatère tel que :

  • ABC^=30°\widehat{ABC}=30\degree
  • BCD^=60°\widehat{BCD}=60\degree
  • BAD^=40°\widehat{BAD}=40\degree
  • ADC^=110°\widehat{ADC}=110\degree

On constate qu’il est impossible de le tracer. En effet, si on calcule la somme des angles, elle vaut 240°240\degree et non 360°360\degree. Pour pouvoir construire un quadrilatère, la somme de ses angles doit être égale à 360°360\degree.

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À retenir

La diagonale d’un quadrilatère est le segment joignant deux angles opposés non successif.

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Voyons maintenant les différents types de quadrilatères particuliers.

Les différents types de quadrilatères

Le parallélogramme

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Définition

Parallélogramme :

Un parallélogramme est un quadrilatère qui possède des côtés opposés parallèles et égaux deux à deux. Cela signifie que les côtés qui sont en face l’un de l’autre sont parallèles et de même mesure.

Méthodologie pour tracer un parallélogramme

Pour tracer un parallélogramme, on a besoin de la mesure de deux côtés consécutifs ainsi que de la mesure d’un angle.

Soit un parallélogramme ABCDABCD tel que AB=3 cmAB = 3\ \text{cm} ; BC=6 cmBC = 6\ \text{cm} et ABC^=45°\widehat{ABC}= 45\degree.
On a donc AB=CDAB = CD et AD=BCAD = BC car ce sont des côtés opposés du parallélogramme.
Ainsi CD=3 cmCD = 3\ \text{cm} et AD=6 cmAD = 6\ \text{cm}.

  • On trace un segment [AB][AB] mesurant 3 cm3 \text{ cm}. Puis, on trace l’angle ABC^\widehat{ABC} de 45°45\degree et on place le point CC tel que BC=6 cmBC = 6\ \text{cm}.
  • On écarte son compas de 3 cm3 \text{ cm} (soit la longueur du segment [CD][CD]), on place la pointe du compas sur CC et on trace un arc de cercle. On écarte ensuite le compas de 6 cm6 \text{ cm} (soit la longueur du segment [AD][AD]), on place la pointe du compas sur AA et on trace un arc de cercle. On place le point DD à l’intersection des deux arcs de cercle et on relie le point DD aux points AA et CC.
  • On a tracé un parallélogramme.

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À retenir

La longueur d’un parallélogramme est son côté le plus long.
La largeur d’un parallélogramme est son côté le plus court.

Le rectangle

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Définition

Rectangle :

Un rectangle est un quadrilatère dont les côtés consécutifs sont perpendiculaires. Il possède également des côtés opposés parallèles et égaux deux à deux.

Méthodologie pour tracer un rectangle

Pour tracer un rectangle, on a besoin de la mesure de deux côtés consécutifs.

Soit un rectangle ABCDABCD tel que AB=5 cmAB = 5\text{ cm} et BC=8 cmBC = 8\text{ cm}.
On a donc AB=CDAB = CD et AD=BCAD = BC car ce sont les côtés opposés du rectangle.
Ainsi, CD=5 cmCD = 5\text{ cm} et AD=8 cmAD = 8\text{ cm}.

  • On trace un segment [AB][AB] mesurant 5 cm5\text{ cm} et on trace la droite perpendiculaire à [AB][AB] passant par BB. On place le point CC sur cette droite tel que BC=8 cmBC = 8\text{ cm}.
  • On écarte le compas de 5 cm5\text{ cm} (soit la longueur du segment [CD][CD]), on place la pointe du compas sur CC et on trace un arc de cercle ;
  • On écarte son compas de 8 cm8\text{ cm} (soit la longueur du segment [AD][AD]), on place la pointe du compas sur AA et on trace un arc de cercle.
  • Le point DD se situe à l’intersection des deux arcs de cercle. On relie le point DD aux points AA et CC. On obtient un rectangle ABCDABCD.

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Le carré

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Définition

Carré :

Un carré est un quadrilatère possédant quatre angles droits, quatre côtés de même mesure et dont les côtés opposés sont deux à deux parallèles.

Méthodologie pour tracer un carré

Pour tracer un carré, il suffit de connaître la mesure d’un côté.

En effet, le carré possédant quatre côtés de même mesure, si on connait la longueur d’un côté, on connait par conséquent la longueur des trois autres.

Soit un carré ABCDABCD de 2 cm2\text{ cm} de côté.

  • On trace un segment [AB][AB] mesurant 2 cm2\text{ cm}, puis la droite perpendiculaire à [AB][AB] passant par BB. On place le point CC sur cette droite tel que BC=2 cmBC = 2\text{ cm}.
  • On écarte son compas de 2 cm2\text{ cm} (soit la longueur du segment [CD][CD]), on place la pointe du compas sur CC et on trace un arc de cercle.
  • On écarte le compas de 2 cm2\text{ cm} (soit la longueur du segment [AD][AD]), on place la pointe du compas sur AA et on trace un arc de cercle.
  • Le point DD se situe à l’intersection des deux arcs de cercle. On relie le point DD aux points AA et CC. On a tracé le carré ABCDABCD.

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Le losange

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Définition

Losange :

Un losange est un quadrilatère possédant quatre côtés de même mesure et ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux.

Méthodologie pour tracer un losange

Pour tracer un losange, on a besoin de la longueur d’un de ses côtés ainsi que de la mesure d’un angle.

En effet, le losange possédant quatre côtés de même mesure, si on connaît la longueur d’un côté, on connaît la longueur des trois autres.

Soit un losange ABCDABCD de 4 cm4\text{ cm} de côté avec ABC^=30°\widehat{ABC} = 30\degree.

  • On trace un segment [AB][AB] mesurant 4 cm4\text{ cm}, puis on trace l’angle ABC^\widehat{ABC} de 30°30\degree. On place le point CC tel que BC=4 cmBC = 4\text{ cm}.
  • On écarte le compas de 4 cm4\text{ cm} (soit la longueur du segment [CD][CD]), on place la pointe du compas sur CC et on trace un arc de cercle.
  • On écarte son compas de 4 cm4\text{ cm} (soit la longueur du segment [AD][AD]), on place la pointe du compas sur AA et on trace un arc de cercle.
  • Le point DD se situe à l’intersection des deux arcs de cercle. On relie le point DD aux points AA et CC. On a tracé le losange ABCDABCD.

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Le trapèze

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Définition

Trapèze :

Un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles.

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Attention

Les deux autres côtés ne sont pas forcément parallèles.

Méthodologie pour tracer un trapèze

Pour tracer un trapèze, on a besoin de la longueur de trois de ses côtés ainsi que de la mesure de deux de ses angles.

Soit un trapèze ABCDABCD tel que BC=3 cmBC = 3\text{ cm}, AD=2,5 cmAD = 2,5\text{ cm}, DC=5 cmDC = 5\text{ cm}, CDA^=70°\widehat{CDA}= 70\degree et DCB^=51°\widehat{DCB}= 51\degree.

  • On trace un segment [DC][DC] mesurant 5 cm5\text{ cm}. On trace l’angle CDA^\widehat{CDA} de 70°70\degree.
  • On place le point AA tel que AD=2,5 cmAD = 2,5\text{ cm}. On trace l’angle DCB^\widehat{DCB} de 51°51\degree.
  • On place le point BB tel que BC=3 cmBC =3\text{ cm} et on trace le segment [AB][AB] qui mesurera ainsi 3 cm3\text{ cm}.

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bannière à retenir

À retenir

Les deux côtés parallèles du trapèze s’appellent les bases du trapèze. Celui ayant la plus grande mesure sera nommé la « grande base » et l’autre la « petite base ».

La hauteur du trapèze est le segment reliant les deux bases perpendiculairement. On s’intéresse principalement à sa mesure et non à sa position dans le trapèze. Ainsi, il y a plusieurs hauteurs pour un même trapèze mais elles ont toutes la même mesure puisque les bases sont parallèles.

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Deux trapèzes particuliers

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Définition

Trapèze rectangle :

Le trapèze rectangle est un trapèze possédant exactement deux angles droits.

trapèze rectangle connaître les quadrilatères mathématiques cinquième Un trapèze rectangle

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Définition

Trapèze isocèle :

Le trapèze isocèle est un trapèze possédant des côtés non parallèles de même longueur.

trapèze isocèle connaître les quadrilatères mathématiques cinquième Un trapèze isocèle