Cours Connaître et reconnaître les parallélogrammes

Rappel

• Un polygone est une figure géométrique fermée délimitée par des segments.
• Un quadrilatère est un polygone possédant quatre côtés et donc quatre sommets.
• Dans un quadrilatère, les diagonales sont les deux segments qui relient les paires de deux sommets opposés, c’est-à-dire non consécutifs.

Les parallélogrammes

Définition et propriétés

Définition

Parallélogramme :

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Propriété

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :

• ses côtés opposés sont de même longueur ;
• ses diagonales se coupent en leur milieu, qui est le centre de symétrie du parallélogramme ;
• ses angles opposés sont de même mesure.

Reconnaître un parallélogramme

Nous venons de voir, entre autres, cette propriété : si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de même longueur.
Réciproquement, si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme.

• Cette deuxième propriété est appelée réciproque de la première propriété.

Les réciproques des propriétés que nous avons vues nous permettent de reconnaître un parallélogramme de différentes façons, en fonction des informations que nous connaissons.

Propriété

Informations sur les quatre côtés

• Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme.

Informations sur deux côtés

• Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.

Informations sur les diagonales

• Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.

Illustrons, par exemple, les propriétés 3 et 4.

• Considérons les segments $[AB]$ et $[CD]$ suivants, qui sont parallèles et de même longueur :

• Nous pouvons affirmer que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.

Attention

Veillez à bien nommer les quadrilatères : choisissons un sommet, n’importe lequel, choisissons un sens de rotation, et notons dans l’ordre les lettres que nous rencontrons en tournant dans le sens choisi.

Dans le dernier exemple, nous pouvons conclure que $ABDC$ est un parallélogramme.
Mais $ABCD$ n’est pas un parallélogramme, car il s’agit d’un quadrilatère croisé (ses côtés $[BC]$ et $[AD]$ se croisent) :

• Considérons les segments $[EF]$ et $[GH]$ suivants, qui se coupent en leur milieu.

• Nous pouvons affirmer que le quadrilatère $EHFG$ est un parallélogramme.

Vous aurez, au cours de vos études, à établir qu’un quadrilatère est un parallélogramme. Il s’agira alors de choisir, en fonction de vos données, la propriété que vous pourrez utiliser. Donnons-en un exemple.

Exemple

Considérons les deux cercles $\mathcal C_1$ et $\mathcal C_2$ suivants :

• de diamètres respectifs $[AB]$ et $[CD]$,
• qui ont le même centre $O$.

Nous cherchons à démontrer que le quadrilatère $ACBD$ est un parallélogramme.

• Nous nous rendons compte que $[AB]$ et $[CD]$ forment les diagonales de $ACBD$.
  On pense donc à la propriété sur les diagonales d’un parallélogramme : il faut montrer que $[AB]$ et $[CD]$ se coupent en leur milieu.
• Comme $[AB]$ et $[CD]$ sont des diamètres de deux cercles qui ont le même centre, ils passent tous les deux par le centre de ces cercles et se coupent donc en $O$.
• Toujours parce que $[AB]$ et $[CD]$ sont les diamètres de $\mathcal C_1$ et $\mathcal C_2$, nous avons :

$$\begin{aligned} OA&=OB \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [c’est le rayon de $\mathcal C_1$]}}} \\ OC&=OD \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [c’est le rayon de $\mathcal C_2$]}}} \end{aligned}$$

• Ainsi, $O$ est le milieu de $[AB]$ et $[CD]$, et $[AB]$ et $[CD]$ se coupent en leur milieu.
• $ACBD$ est donc un parallélogramme.

Construire un parallélogramme

Les propriétés que nous avons données permettent aussi de construire un parallélogramme.
Nous allons donner trois méthodes, très classiques.

• Dans les méthodes suivantes, on cherche à construire un parallélogramme $ABCD$.

Méthode 1 : Comment construire un parallélogramme en traçant ses côtés opposés parallèles

Nous nous servons de cette propriété : si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.

• Traçons deux côtés consécutifs, $[AB]$ et $[BC]$, par exemple.

• Avec une règle et une équerre, traçons la parallèle à $[BC]$ passant par $A$.

• De la même façon, on trace la parallèle à $[AB]$ passant par $C$.

• Les deux droites se coupent en un point, que l’on note $D$.
  Puis on trace les segments $[CD]$ et $[AD]$.
• Par construction, les côtés opposés de $ABCD$ sont parallèles deux à deux.
  $ABCD$ est bien un parallélogramme.

Méthode 2 : Comment construire un parallélogramme en traçant ses côtés opposés de même longueur

Nous nous servons de cette propriété : si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme.

• Traçons deux côtés consécutifs, $[AB]$ et $[BC]$, par exemple.

• Réglons ensuite l’écartement d’un compas sur la longueur de $[BC]$, plaçons la pointe du compas sur $A$ et reportons la longueur de $[BC]$ en traçant un arc de cercle.
• Réglons maintenant l’écartement sur la longueur de $[AB]$, pointons le compas sur $C$ et reportons la longueur de $[AB]$ en traçant un autre arc de cercle.

• Les deux arcs se coupent en un point, que l’on note $D$.
  Puis traçons les segments $[CD]$ et $[AD]$.
• Par construction, les côtés opposés de $ABCD$ sont deux à deux de même longueur.
  $ABCD$ est bien un parallélogramme.

Méthode 3 : Comment construire un parallélogramme en traçant ses diagonales

Nous nous servons de cette propriété : si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.

• Traçons un segment, $[AC]$ par exemple, et marquons son milieu, noté $O$.

• Plaçons un point $B$, hors de la droite $(AC),$ et construisons son symétrique par rapport au point $O$. Nous obtenons ainsi le point $D$.

• Puis traçons les segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[AD]$.
• Par construction, les diagonales de $ABCD$ se coupent en leur milieu.
  $ABCD$ est bien un parallélogramme.

Parallélogrammes particuliers

D’après sa définition, un parallélogramme est un quadrilatère qui possède des côtés opposés parallèles. C’est le cas en particulier du losange, du rectangle et du carré : ce sont des parallélogrammes particuliers.

À retenir

Comme un losange, un rectangle et un carré sont des parallélogrammes, ils possèdent toutes les propriétés que nous avons données dans la première partie de ce cours :

• leurs côtés opposés sont parallèles et de même longueur ;
• leurs angles opposés ont la même mesure ;
• leurs diagonales se coupent en leur milieu.

Nous allons ici rappeler la définition de ces parallélogrammes particuliers, qui permet de les reconnaître, avant de montrer par l’exemple une façon de les construire.

Le losange

Définition

Losange :

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur.

Propriété

Si un parallélogramme est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires.

Réciproquement, si un parallélogramme possède des diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.

Nous pouvons construire un losange si nous connaissons la longueur d’un côté, donc de tous ses côtés, et la mesure d’un angle.

Exemple

Soit un losange $ABCD$ de $4\text{ cm}$ de côté avec $\widehat{ABC} = 30\degree$.

• Traçons un segment $[AB]$ mesurant $4\text{ cm}$.
  Puis traçons une demi-droite d’origine $B$ qui forme un angle de $30\degree$ avec $[AB]$.
  Plaçons $C$ sur cette demi-droite tel que $BC = AB$, en se servant par exemple d’un compas pour reporter la longueur $AB$.
• Plaçons la pointe du compas sur $C$, sans changer l’écartement du compas, et traçons un arc de cercle.
• Plaçons la pointe du compas sur $A$, toujours sans changer l’écartement du compas, et traçons un autre arc de cercle.
• Les deux arcs se coupent en un point noté $D$.
  Puis traçons les segments $[CD]$ et $[AD]$.
• Nous avons tracé le losange $ABCD$.

Le rectangle

Définition

Rectangle :

Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont droits.

Propriété

Si un parallélogramme est un rectangle, alors ses diagonales sont de même longueur.

Réciproquement, si un parallélogramme possède des diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.

Nous pouvons tracer un rectangle si nous connaissons la longueur de deux côtés consécutifs, et donc de tous ses côtés (un rectangle est un parallélogramme), et nous savons déjà que tous ses angles seront droits.

Exemple

Soit un rectangle $ABCD$ tel que $AB = 5\text{ cm}$ et $BC = 8\text{ cm}$.
$[AB]$ et $[CD]$ sont des côtés opposés du rectangle, et $[BC]$ et $[AD]$ aussi. Donc, leurs longueurs sont égales deux à deux :

$$\begin{aligned} CD&=AB=5\ \text{cm} \\ AD&=BC=8\ \text{cm} \end{aligned}$$

• Traçons un segment $[AB]$ mesurant $5\text{ cm}$ et traçons la droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par $B$.
  Plaçons le point $C$ sur cette droite tel que $BC = 8\text{ cm}$.
• Réglons l’écartement d’un compas sur la longueur de $[AB]$, puis plaçons la pointe du compas sur $C$ et traçons un arc de cercle.
• Réglons ensuite l’écartement du compas sur la longueur de $[BC]$, plaçons la pointe du compas sur $A$ et traçons un second arc de cercle.
• Les deux arcs se coupent en un point noté $D$.
  Puis traçons les segments $[CD]$ et $[AD]$.
• Nous avons tracé le rectangle $ABCD$.

Le carré

Définition

Carré :

Un carré est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur et dont les quatre angles sont droits.

Propriété

Les diagonales d’un carré :

• se coupent en leur milieu ;
• sont de même longueur ;
• sont perpendiculaires.

Réciproquement, si un parallélogramme possède des diagonales de même longueur et perpendiculaires, alors c’est un carré.

Astuce

• Si un quadrilatère est un carré, alors c’est un losange.
• Si un quadrilatère est un carré, alors c’est un rectangle.

Attention, les réciproques de ces deux propriétés ne sont pas vraies :

• si un quadrilatère est un losange, sans précision supplémentaire, on ne peut pas affirmer que c’est un carré ;
• si un quadrilatère est un rectangle, sans précision supplémentaire, on ne peut pas affirmer que c’est un carré.

Nous pouvons tracer un carré si nous connaissons la longueur d’un côté, et donc de tous les côtés, et nous savons déjà que tous ses angles seront droits.

Exemple

Soit un carré $ABCD$ de $2\text{ cm}$ de côté.

• Traçons un segment $[AB]$ mesurant $2\text{ cm}$, puis la droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par $B$.
  Plaçons le point $C$ sur cette droite tel que $BC = 2\text{ cm}$.
• Pointons un compas sur $C$ et réglons l’écartement sur la longueur de $[BC]$.
  Puis traçons un arc de cercle.
• Plaçons ensuite la pointe du compas sur $A$, sans changer l’écartement, et traçons un arc de cercle.
• Les deux arcs se coupent en un point noté $D$.
  Puis traçons les segments $[CD]$ et $[AD]$.
• Nous avons tracé le carré $ABCD$.

À retenir

Pour reconnaître un parallélogramme particulier à partir du codage d’une figure :

• si ses diagonales sont de même longueur, alors c’est un rectangle ;
• si ses diagonales sont perpendiculaires, alors c’est un losange ;
• si ses diagonales sont à la fois de même longueur et perpendiculaires, alors c’est un carré.

Aire d’un parallélogramme et résolution de problèmes

Aire d’un parallélogramme

Nous allons maintenant découvrir comment calculer l’aire d’un parallélogramme. Considérons la figure ci-dessous, représentée sur un quadrillage, où nous cherchons à calculer l’aire du parallélogramme $ABCD$ :

Nous voyons, grâce aux carreaux, que les triangles $ADG$ et $BCF$ ont la même aire.
Calculer l’aire du parallélogramme revient donc à calculer l’aire du rectangle $ABFG$, de longueur $AB$ et de largeur $AG$ :

$$\begin{aligned} \text{Aire}(ABCD)&=\text{Aire}(ABFG) \\ &=AB\times AG \\ &=AB\times DH \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $AG=DH$]}}} \end{aligned}$$

Quand on veut calculer l’aire d’un parallélogramme, on s’intéresse :

• à un côté, ici $[AB]$, qu’on appelle base ;
• et à la hauteur associée, ici $[DH]$, qui est un segment perpendiculaire à la base, dont une extrémité est sur cette base et l’autre sur le côté opposé.
• L’aire du parallélogramme est alors égale au produit des longueurs de la base et de la hauteur associée.

Propriété

L’aire $\textcolor{#7F00FF}{\mathcal A}$ d’un parallélogramme est égale à :

$$\textcolor{#7F00FF}{\mathcal A}=\textcolor{#009900}{\text{base}} \times \textcolor{#FF7F00}{\text{hauteur}}$$

Résoudre un problème d’aire avec des conversions

Pour calculer une aire, les longueurs utilisées dans une même formule doivent être exprimées dans la même unité.

Rappel

Par exemple :

$$1\ \text{m}=100\ \text{cm}$$

et :

$$1\ \text{dm}^2=100\ \text{cm}^2$$

Exemple

Une cour est composée d’un parallélogramme et d’un rectangle.

Le parallélogramme a pour base $8\ \text{m}$ et pour hauteur $250\ \text{cm}$.

Le rectangle mesure $4\ \text{m}$ de longueur et $3\ \text{m}$ de largeur.

Nous cherchons à calculer l’aire totale de la cour.((fleche))

Avant d’effectuer les calculs, exprimons toutes les longueurs dans la même unité.

$$250\ \text{cm}=2,5\ \text{m}$$

#### Aire du parallélogramme

L’aire d’un parallélogramme est égale au produit de la longueur d’une base par la hauteur associée :

$$\mathcal A_{\text p}=\text{base}\times\text{hauteur}$$

Donc :

$$ \begin{aligned} \mathcal A_{\text p} &=8\times2,5\\ &=20 \end{aligned} $$

• L’aire du parallélogramme est $20\ \text{m}^2$.

#### Aire du rectangle

L’aire d’un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur :

$$ \begin{aligned} \mathcal A_{\text r} &=4\times3\\ &=12 \end{aligned} $$

• L’aire du rectangle est $12\ \text{m}^2$.

#### Aire totale

L’aire totale de la cour est :

$$ \begin{aligned} \mathcal A &=\mathcal A_{\text p}+\mathcal A_{\text r}\\ &=20+12\\ &=32 \end{aligned} $$

• L’aire totale de la cour est $32\ \text{m}^2$.

On souhaite maintenant exprimer cette aire en $\text{dm}^2$.

Comme :

$$1\ \text{m}^2=100\ \text{dm}^2$$

on obtient :

$$32\times100=3\,200$$

• L’aire totale est donc aussi égale à $3\,200\ \text{dm}^2$.