Cours : Connaître et reconnaître les parallélogrammes

Rappel

• Un polygone est une figure géométrique fermée délimitée par des segments.
• Un quadrilatère est un polygone possédant quatre côtés et donc quatre sommets.
• Dans un quadrilatère, une diagonale est un segment qui relie deux sommets opposés, c’est-à-dire non consécutifs.

Diagonales d’un quadrilatère

Les parallélogrammes

Définition et propriétés

Définition

Parallélogramme :

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Propriété

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :

• ses côtés opposés sont de même longueur ;
• ses angles opposés sont de même mesure ;
• ses diagonales se coupent en leur milieu, qui est le centre de symétrie du parallélogramme.

Reconnaître un parallélogramme

Nous venons de voir, entre autres, cette propriété : si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de même longueur.
Réciproquement, si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme.

• Cette deuxième propriété est appelée réciproque de la première propriété.

Les réciproques des propriétés que nous avons vues nous permettent de reconnaître un parallélogramme de différentes façons, en fonction des informations que nous connaissons.

Propriété

Informations sur les quatre côtés

• Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme.

Informations sur deux côtés

• Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme.

Informations sur les diagonales

• Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.

Illustrons, par exemple, les propriétés 3 et 4.

• On considère les segments $[AB]$ et $[CD]$ suivants, qui sont parallèles et de même longueur :

• On peut affirmer que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.

Attention

Veillez à bien nommer les quadrilatères : on choisit un sommet, n’importe lequel, on choisit un sens de rotation, et on note dans l’ordre les lettres qu’on rencontre en tournant dans le sens choisi.

Dans le dernier exemple, on peut conclure que $ABDC$ est un parallélogramme.
Mais $ABCD$ n’est pas un parallélogramme, car il s’agit d’un quadrilatère croisé (ses côtés $[BC]$ et $[AD]$ se croisent) :

Quadrilatère croisé ABCD

• On considère les segments $[EF]$ et $[GH]$ suivants, qui se coupent en leur milieu.

• On peut affirmer que le quadrilatère $EHFG$ est un parallélogramme.

Vous aurez régulièrement, au cours de vos études, à établir qu’un quadrilatère est un parallélogramme. Il s’agira alors de choisir, en fonction de vos données, la propriété dont vous pourrez démontrer les conditions. Donnons-en un exemple.

Exemple

On considère les deux cercles $\mathcal C_1$ et $\mathcal C_2$ suivants :

• de diamètres respectifs $[AB]$ et $[CD]$,
• qui ont le même centre $O$.

Représentation des deux cercles et du quadrilatère ACBD

On cherche à démontrer que le quadrilatère $ACBD$ est un parallélogramme.

• On se rend compte que $[AB]$ et $[CD]$ forment les diagonales de $ACBD$.
  On pense donc à la propriété sur les diagonales d’un parallélogramme : il faut montrer que $[AB]$ et $[CD]$ se coupent en leur milieu.
• Comme $[AB]$ et $[CD]$ sont des diamètres de deux cercles qui ont le même centre, ils passent tous les deux par le centre de ces cercles et se coupent donc en $O$.
• Toujours parce que $[AB]$ et $[CD]$ sont les diamètres de $\mathcal C_1$ et $\mathcal C_2$, on a :

$$\begin{aligned} OA&=OB \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [c’est le rayon de $\mathcal C_1$]}}} \\ OC&=OD \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [c’est le rayon de $\mathcal C_2$]}}} \end{aligned}$$

• Ainsi, $O$ est le milieu de $[AB]$ et $[CD]$, et $[AB]$ et $[CD]$ se coupent en leur milieu.
• $ACBD$ est donc un parallélogramme.

Construire un parallélogramme

Les propriétés que nous avons données permettent aussi de construire un parallélogramme.
Nous allons donner trois méthodes, très classiques.

• Dans les méthodes suivantes, on cherche à construire un parallélogramme $ABCD$.

Méthode 1 : Comment construire un parallélogramme en traçant ses côtés opposés parallèles

Nous nous servons de cette propriété : si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.

• On trace deux côtés consécutifs, $[AB]$ et $[BC]$, par exemple.

• Avec une règle et une équerre, on trace la parallèle à $[BC]$ passant par $A$.

• De la même façon, on trace la parallèle à $[AB]$ passant par $C$.

• Les deux droites se coupent en un point, que l’on note $D$.
  Puis on trace les segments $[CD]$ et $[AD]$.
• Par construction, les côtés opposés de $ABCD$ sont parallèles deux à deux.
  $ABCD$ est bien un parallélogramme.

Méthode 2 : Comment construire un parallélogramme en traçant ses côtés opposés de même longueur

Nous nous servons de cette propriété : si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme.

• On trace deux côtés consécutifs, $[AB]$ et $[BC]$, par exemple.

• On règle ensuite l’écartement d’un compas sur la longueur de $[BC]$, on place la pointe du compas sur $A$ et on reporte la longueur de $[BC]$ en traçant un arc de cercle.
• On règle maintenant l’écartement sur la longueur de $[AB]$, on pointe le compas sur $C$ et on reporte la longueur de $[AB]$ en traçant un autre arc de cercle.

• Les deux arcs se coupent en un point, que l’on note $D$.
  Puis on trace les segments $[CD]$ et $[AD]$.
• Par construction, les côtés opposés de $ABCD$ sont deux à deux de même longueur.
  $ABCD$ est bien un parallélogramme.

Méthode 3 : Comment construire un parallélogramme en traçant ses diagonales

Nous nous servons de cette propriété : si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme.

• On trace un segment, $[AC]$ par exemple, et on marque son milieu, qu’on note $O$.

• On place un point $B$, hors de la droite $(AC),$ et on construit son symétrique par rapport à $O$, on obtient ainsi le point $D$.

• Puis on trace les segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[AD]$.
• Par construction, les diagonales de $ABCD$ se coupent en leur milieu.
  $ABCD$ est bien un parallélogramme.

Parallélogrammes particuliers

D’après sa définition, un parallélogramme est un quadrilatère qui possède des côtés opposés parallèles. C’est le cas en particulier pour le losange, le rectangle et le carré : ce sont des parallélogrammes.

À retenir

Comme un losange, un rectangle et un carré sont des parallélogrammes, ils possèdent toutes les propriétés que nous avons données dans la première partie de ce cours :

• leurs côtés opposés sont parallèles et de même longueur ;
• leurs angles opposés ont la même mesure ;
• leurs diagonales se coupent en leur milieu.

Nous allons ici rappeler la définition de ces parallélogrammes particuliers, qui permet de les reconnaître, avant de montrer par l’exemple une façon de les construire.

Le losange

Définition

Losange :

Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur.

On peut construire un losange si on connaît la longueur d’un côté, et donc de tous ses côtés, et la mesure d’un angle.

Exemple

Soit un losange $ABCD$ de $4\text{ cm}$ de côté avec $\widehat{ABC} = 30\degree$.

• On trace un segment $[AB]$ mesurant $4\text{ cm}$.
  Puis on trace une demi-droite d’origine $B$ qui forme un angle de $30\degree$ avec $[AB]$.
  On place $C$ sur cette demi-droite tel que $BC = AB$, en se servant par exemple d’un compas pour reporter la longueur $AB$.
• On place la pointe du compas sur $C$, sans changer l’écartement du compas, et on trace un arc de cercle.
• On place la pointe du compas sur $A$, toujours sans changer l’écartement du compas, et on trace un autre arc de cercle.
• Les deux arcs se coupent en un point, que l’on note $D$.
  Puis on trace les segments $[CD]$ et $[AD]$.
• On a tracé le losange $ABCD$.

Construire un losange

Le rectangle

Définition

Rectangle :

Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont droits.

On peut tracer un rectangle si on connaît la longueur de deux côtés consécutifs, et donc de tous ses côtés (un rectangle est un parallélogramme), et on sait déjà que tous ses angles seront droits.

Exemple

Soit un rectangle $ABCD$ tel que $AB = 5\text{ cm}$ et $BC = 8\text{ cm}$.
$[AB]$ et $[CD]$ sont des côtés opposés du rectangle, et $[BC]$ et $[AD]$ aussi. Donc, leurs longueurs sont égales deux à deux :

$$\begin{aligned} CD&=AB=5\ \text{cm} \\ AD&=BC=8\ \text{cm} \end{aligned}$$

• On trace un segment $[AB]$ mesurant $5\text{ cm}$ et on trace la droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par $B$.
  On place le point $C$ sur cette droite tel que $BC = 8\text{ cm}$.
• On règle l’écartement d’un compas sur la longueur de $[AB]$, puis on place la pointe du compas sur $C$ et on trace un arc de cercle.
• On règle ensuite l’écartement du compas sur la longueur de $[BC]$, on place la pointe du compas sur $A$ et on trace un second arc de cercle.
• Les deux arcs se coupent en un point, que l’on note $D$.
  Puis on trace les segments $[CD]$ et $[AD]$.
• On a tracé le rectangle $ABCD$.

Construire un rectangle

Le carré

Définition

Carré :

Un carré est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur et dont les quatre angles sont droits.

Astuce

• Si un quadrilatère est un carré, alors c’est un losange.
• Si un quadrilatère est un carré, alors c’est un rectangle.

Attention, les réciproques de ces deux propriétés ne sont pas vraies :

• si un quadrilatère est un losange, sans précision supplémentaire, on ne peut pas affirmer que c’est un carré ;
• si un quadrilatère est un rectangle, sans précision supplémentaire, on ne peut pas affirmer que c’est un carré.

On peut tracer un carré si on connaît la longueur d’un côté, et donc de tous les côtés, et on sait déjà que tous ses angles seront droits.

Exemple

Soit un carré $ABCD$ de $2\text{ cm}$ de côté.

• On trace un segment $[AB]$ mesurant $2\text{ cm}$, puis la droite perpendiculaire à $[AB]$ passant par $B$.
  On place le point $C$ sur cette droite tel que $BC = 2\text{ cm}$.
• On pointe un compas sur $C$ et on règle l’écartement sur la longueur de $[BC]$.
  Puis on trace un arc de cercle.
• On place ensuite la pointe du compas sur $A$, sans changer l’écartement, et on trace un arc de cercle.
• Les deux arcs se coupent en un point, que l’on note $D$.
  Puis on trace les segments $[CD]$ et $[AD]$.
• On a tracé le carré $ABCD$.

Construire un carré