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Intervalle de fluctuation, prise de décision et estimation

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Intervalle de fluctuation asymptotique

Propriété :

Soit XnX_n une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n,p)B(n,p), α\alpha un réel tel que 0<α<10<\alpha < 1 et YY une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite N(0,1)N(0,1).

  • On appelle uαu{\alpha} l’unique réel tel que : P(uαYuα)=1αP(-u{\alpha} \leq Y \leq u_{\alpha}) = 1 - \alpha
  • On appelle InI_n l’intervalle :

In=[puαp(1p)n;p+uαp(1p)n]In = \left[p-u{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]

Alors limn+p(XnnIn)=1α\lim\limits{n \rightarrow +\infty} p \left( \dfrac{Xn}{n} \in I_n \right) = 1 - \alpha

Définition : intervalle de fluctuation

L’intervalle In=[puαp(1p)n;p+uαp(1p)n]In = \left[p-u{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+u{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] contient la fréquence Fn=XnnFn = \dfrac{X_n}{n} avec une probabilité qui se rapproche de 1α1 - \alpha lorsque nn augmente.

On dit que c’est un intervalle de fluctuation asymptotique de FnF_n au seuil de 1α1 - \alpha.

Cette approximation est valable lorsque n30n \geq 30, np5np \geq 5 et n(1p)5n(1-p) \geq 5.

Propriété :

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour une variable aléatoire XnXn suivant une loi binomiale B(n,p)B(n,p) est l’intervalle : In=[p1,96p(1p)n;p+1,96p(1p)n]In = \left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right].

Prise de décision à partir d’un échantillon

Propriété :

On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d’un caractère est égale à pp. On observe la fréquence ff de ce caractère dans un échantillon de taille nn.

On a donc l’hypothèse : « la proportion de ce caractère dans la population est pp ».

Si II est l’intervalle de fluctuation de la fréquence au seuil de 95 % dans les échantillons de taille nn, alors on applique la règle de décision suivante :

  • si fIf \in I, on considère que l’hypothèse selon laquelle la proportion est pp dans la population n’est pas remise en question, et on l’accepte, avec un risque de 5% de se tromper,
  • si fIf \notin I, on rejette l’hypothèse selon laquelle cette proportion est pp.

Estimation

Propriété : intervalle de confiance

XnXnest une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n ;p)B(n\ ;p) et Fn=XnnFn = \dfrac{X_n}{n}.

Pour une valeur de pp fixée dans [0 ;1]\left[0\ ;1 \right], l’intervalle aléatoire [Fn1n ;Fn+1n]\left[Fn - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;Fn + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] contient, pour nn assez grand, la proportion pp avec une probabilité supérieure ou égale à 0,950,95.

Définition : intervalle de confiance

Soit pp la proportion inconnue d’un caractère dans une population.

On réalise l’expérience aléatoire de nn tirages au hasard, et on appelle ff la fréquence observée d’apparition du caractère.

L’intervalle [f1n;f+1n]\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}};f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] est appelé intervalle de confiance de la proportion inconnue pp au niveau de confiance 0,950,95.

Théorème :

Un intervalle de confiance au niveau 95 % est d’amplitude 2n\dfrac{2}{\sqrt{n}} donc, plus la taille de l’échantillon est grande, plus l’intervalle de confiance obtenu est précis.

Si l’on souhaite situer pp dans un intervalle de longueur donnée aa, alors on doit avoir 2na\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leq a ce qui équivaut à n4a2n \geq \dfrac{4}{a^2}.

Propriété :

Un intervalle centré en pp fournit pp à la précision xx si son amplitude est 2x2x.