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Marianne

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Échantillonnage, intervalle de fluctuation, estimation et prise de décision

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Intervalle de fluctuation

Définition : échantillon

Un échantillon de taille nn est obtenu en prélevant au hasard, successivement et avec remise, nn éléments d’une population.

Définition : intervalle de fluctuation

Soit une population dans laquelle on suppose que la proportion d’un certain caractère est pp et dans laquelle on prélève au hasard et avec remise un échantillon de taille nn.

On considère la variable aléatoire XX égale au nombre d’apparitions du caractère dans l’échantillon et la variable aléatoire F=XnF=\dfrac {X}{n} égale à la fréquence du caractère dans l’échantillon.

On détermine :

  • le plus petit entier aa tel que p(Xa)<mo

0,025p(X \leq a)>0,025 ;

  • le plus petit entier bb tel que p(Xb)0,975p(X\leq b)\geq 0,975 ;

L’intervalle In=[an;bn]I_n=[\dfrac{a}{n} ; \dfrac{b}{n}] est appelé intervalle de fluctuation de FF au seuil de 95 %95\ \%.

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Estimation, prise d e décision

Définition : la règle de décision

On considère une population dans laquelle on fait l’hypothèse que la proportion d’un caractère est pp et on souhaite tester la validité de cette hypothèse. Pour cela, on prélève par hasard et avec remise un échantillon de taille nn sur lequel on observe la fréquence f d’apparition de ce caractère puis on détermine l’intervalle de fluctuation (au seuil de 9595 %) InI_nn correspondant.

  • Si ff ϵ\epsilon InI_nn on accepte l’hypothèse;
  • Si ff  InI_n on rejette l’hypothèse avec un risque d’erreur de 55 %.