Cours Écrire des fractions
Introduction
Dans cette leçon, nous allons apprendre à :
- écrire une fraction comme une somme de fractions ;
- transformer une fraction supérieure à 1 en « entier + fraction » ;
- encadrer une fraction entre deux nombres entiers.
Prérequis : avant de commencer tu peux revoir le cours de CM1 sur le cours : comparer, encadrer, positionner des fractions sur une droite.
Rappel
Une fraction permet de représenter une partie d’une unité partagée en parts égales.
Par exemple, si on partage une pizza en 4 parts égales et qu’on en prend une, on écrit :
Le numérateur indique combien de parts sont prises et le dénominateur indique en combien de parts l’unité est partagée.
Écrire une fraction comme une somme
Une fraction peut être vue comme l’addition de plusieurs fractions identiques.
$$ \frac{5}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} $$
Cela signifie que l’on additionne cinq quarts.
Cela revient aussi à écrire : $$\frac{5}{4} = 5 \times \frac{1}{4}$$
Une fraction peut donc être interprétée comme plusieurs fois la fraction unité :
$$ \frac{5}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 5 \times \frac{1}{4} $$
Transformer l’écriture d’une fraction supérieure à 1
Écrire une fraction sous la forme « entier + fraction »
Dans la partie précédente, nous avons vu que :
$$ \frac{5}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} $$
Regardons maintenant ce que cela représente.
Nous savons que : $$\frac{4}{4} = 1$$
Donc les quatre premiers quarts forment une unité entière.
Il reste alors : $$\frac{1}{4}$$
Comme on le voit ci-dessous, la partie colorée en orange représente 1 unité + $\dfrac{1}{4}$ d’unité.
Cette fraction peut donc s’écrire : $$\frac{5}{4} = 1 + \frac{1}{4}$$
Une fraction comme $\dfrac{5}{4}$ est une fraction supérieure à 1, car elle représente plus qu’une unité entière.
On peut aussi trouver cette écriture sans utiliser de schéma, en utilisant les tables de multiplication.
À retenir
Méthode : transformer une fraction en « entier + fraction »
Pour transformer une fraction supérieure à 1 :
- Chercher combien de fois le dénominateur tient dans le numérateur
- Écrire la fraction comme une addition
- Transformer la première fraction en nombre entier
Exemple
Quelle addition d’un entier et d’une fraction est égale à : $$\frac{29}{6}$$
Ici le dénominateur est 6.
Nous allons chercher combien de fois 6 tient dans 29 :
- $1 \times 6 = 6$
- $2 \times 6 = 12$
- $3 \times 6 = 18$
- $4 \times 6 = 24$
- $5 \times 6 = 30$
- Le nombre 24 est le multiple de 6 juste inférieur à 29.
Il reste alors : $$29-24 = 5$$ On peut donc écrire : $$\frac{29}{6} = \frac{24}{6} + \frac{5}{6}$$
On sait que : $$ \frac{24}{6} = 4$$ Cela signifie que l’on peut former 4 unités entières.
Donc : $$\frac{29}{6} = 4 + \frac{5}{6}$$
Écrire un « entier + fraction » sous la forme d’une fraction
On peut aussi faire l’inverse : on peut transformer l’addition d’un entier et d’une fraction en une seule fraction.
Exemple
Un élève a découpé 4 bandes de papier identiques et les a coloriées ainsi :
On constate qu’il a colorié 3 bandes entières et les trois quarts de la dernière :
Cette situation s’écrit : $$ 3 + \frac{3}{4}$$
On peut transformer les unités en fractions.
Chaque bande entière correspond à : $$\frac{4}{4}$$
Donc : $$\frac{4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$$
En additionnant : $$\frac{4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$$
Donc : $$3 + \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$$
À retenir
Pour transformer une addition d’un entier et d’une fraction en une seule fraction :
- On transforme l’entier en fraction avec le même dénominateur.
- On additionne les fractions.
Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs
Définition
Nombres entiers consécutifs
Deux nombres entiers consécutifs sont deux nombres entiers qui se suivent.
Exemple
- 4 et 5 sont deux nombres entiers consécutifs
- 48 et 49 sont deux nombres entiers consécutifs.
Rappel
Encadrer un nombre, c’est placer ce nombre entre deux autres nombres. L’encadrement a cette forme :
….. < nombre à encadrer < ……
À retenir
Méthode : encadrer une fraction entre deux entiers
Pour encadrer une fraction il faut :
- Chercher des multiples du dénominateur qui encadrent le numérateur.
- Écrire l’encadrement avec les fractions correspondantes.
- Transformer ces fractions en nombres entiers.
Exemple
Nous souhaitons encadrer $\frac{35}{6}$ entre deux nombres entiers consécutifs.
Chercher les multiples de 6 proches de 35.
- $5 \times 6 = 30$
- $6 \times 6 = 36$
30 et 36 encadrent le numérateur 35.
Encadrer la fraction.
$$\frac{30}{6} < \frac{35}{6} < \frac{36}{6}$$
Transformer en nombres entiers.
On peut donc écrire :
$$5 < \frac{35}{6} < 6$$
