Égalité des produits en croix

Notion de produits en croix

  • Appliqué à deux fractions, le produit en croix est le produit du numérateur de l'une par le dénominateur de l'autre (d’où l’idée de « croisement »).
  • Soient deux fractions $\dfrac {\red a}{\blue b}$ et $\dfrac {\blue c}{\red d}$ avec $b$ et $d$ non nuls, leurs produits en croix sont $\red a \times \red d$ et $\blue c \times \blue b$.

Égalité des produits en croix

  • Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres avec $b$ et $d$ non nuls.
  • Si $\dfrac {\red a}{\blue b} = \dfrac {\blue c}{\red d}$ alors $\red a \times \red d = \blue c \times \blue b$
  • Si $\red a \times \red d = \blue c \times \blue b$ alors $\dfrac {\red a}{\blue b} = \dfrac {\blue c}{\red d}$
  • On parle d’égalité des produits en croix

Applications

  • Pour démontrer que deux fractions sont égales, on pourra démontrer l'égalité de leurs produits en croix.
  • Inversement, si les produits en croix ne sont pas égaux, on peut en déduire que les fractions ne sont pas égales.
  • Pour déterminer un nombre manquant $x$ dans une égalité de fractions, on pourra écrire l'égalité des produits en croix et déterminer la valeur de $x$ qui vérifie l'égalité.
  • Si $\dfrac {\red a}{\blue b} = \dfrac {\blue x}{\red c}$ alors $\blue x\times \blue b=\red a\times \red c$ et donc $\blue x=\dfrac{\red a\times \red c}{\blue b}$
  • Appliqué à un tableau de valeurs de deux grandeurs, un produit en croix est le produit d'un nombre de la 1re ligne par un nombre de la 2e ligne.
  • Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres non nuls.
  • Si $\red a \times \red d = \blue c \times \blue b$ alors le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :

$\red a$ $\blue c$
$\blue b$ $\red d$
  • Inversement, si le tableau précédent est un tableau de proportionnalité alors $\red a \times \red d = \blue c \times \blue b$
  • Pour démontrer qu'un tableau est un tableau de proportionnalité, on pourra démontrer l'égalité des produits en croix du tableau.
  • Dans un tableau de proportionnalité contenant un nombre inconnu $x$, on appelle $x$ la quatrième proportionnelle.
  • Pour déterminer une quatrième proportionnelle $x$ dans un tableau de proportionnalité, on pourra écrire l'égalité des produits en croix du tableau et déterminer la valeur de $x$ qui vérifie l'égalité.