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Égalité des produits en croix

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Notion de produits en croix

  • Appliqué à deux fractions, le produit en croix est le produit du numérateur de l'une par le dénominateur de l'autre (d’où l’idée de « croisement »).
  • Soient deux fractions ab\dfrac {\red a}{\blue b} et cd\dfrac {\blue c}{\red d} avec bb et dd non nuls, leurs produits en croix sont a×d\red a \times \red d et c×b\blue c \times \blue b.

Égalité des produits en croix

  • Soient aa, bb, cc et dd quatre nombres avec bb et dd non nuls.
  • Si ab=cd\dfrac {\red a}{\blue b} = \dfrac {\blue c}{\red d} alors a×d=c×b\red a \times \red d = \blue c \times \blue b
  • Si a×d=c×b\red a \times \red d = \blue c \times \blue b alors ab=cd\dfrac {\red a}{\blue b} = \dfrac {\blue c}{\red d}
  • On parle d’égalité des produits en croix

Applications

  • Pour démontrer que deux fractions sont égales, on pourra démontrer l'égalité de leurs produits en croix.
  • Inversement, si les produits en croix ne sont pas égaux, on peut en déduire que les fractions ne sont pas égales.
  • Pour déterminer un nombre manquant xx dans une égalité de fractions, on pourra écrire l'égalité des produits en croix et déterminer la valeur de xx qui vérifie l'égalité.
  • Si ab=xc\dfrac {\red a}{\blue b} = \dfrac {\blue x}{\red c} alors x×b=a×c\blue x\times \blue b=\red a\times \red c et donc x=a×cb\blue x=\dfrac{\red a\times \red c}{\blue b}
  • Appliqué à un tableau de valeurs de deux grandeurs, un produit en croix est le produit d'un nombre de la 1re ligne par un nombre de la 2e ligne.
  • Soient aa, bb, cc et dd quatre nombres non nuls.
  • Si a×d=c×b\red a \times \red d = \blue c \times \blue b alors le tableau suivant est un tableau de proportionnalité :

a\red a c\blue c
b\blue b d\red d
  • Inversement, si le tableau précédent est un tableau de proportionnalité alors a×d=c×b\red a \times \red d = \blue c \times \blue b
  • Pour démontrer qu'un tableau est un tableau de proportionnalité, on pourra démontrer l'égalité des produits en croix du tableau.
  • Dans un tableau de proportionnalité contenant un nombre inconnu xx, on appelle xx la quatrième proportionnelle.
  • Pour déterminer une quatrième proportionnelle xx dans un tableau de proportionnalité, on pourra écrire l'égalité des produits en croix du tableau et déterminer la valeur de xx qui vérifie l'égalité.