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Marianne

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Égalité et équation

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Introduction :

Il est souvent plus facile de résoudre un problème concret en le mettant en équation. En effet, lorsqu’on a un problème concret à résoudre, il est parfois compliqué de trouver l’opération ou bien l’enchaînement d’opérations adéquates pour le résoudre.

En désignant l’inconnue du problème par la lettre xx, nous allons traduire la situation du problème par une égalité (appelée équation) qui comporte l’inconnue xx. Nous allons apprendre à résoudre cette équation avec des règles de calculs précises et ainsi trouver la solution du problème.

Dans un premier temps, nous verrons les égalités et les opérations. Dans une deuxième partie, nous nous intéresserons à la notion d’équation. Par la suite, nous étudierons les équations de référence. Enfin, nous apprendrons les règles pour résoudre une équation.

Égalités et opérations

Égalité et addition ou soustraction

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Propriété

Une égalité ne change pas lorsqu’on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à chacun de ses membres.

aa, bb, et cc étant trois nombres relatifs.

  • Si a=ba = b alors a+c=b+ca+ c= b+ c
  • Si a=ba= b alors ac=bca-c= b-c

Égalité et multiplication ou division

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Propriété

Une égalité ne change pas lorsqu’on multiplie (ou on divise) par un même nombre non nul chacun de ses membres.

aa, bb, et cc étant trois nombres relatifs (c0c\neq0).

  • Si a=ba= b alors a×c=b×ca\times c= b\times c
  • Si a=ba= b alors ac=bc\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}

Ces propriétés seront utiles pour la résolution des équations.

Équations

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Définition

Équation :

Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu désigné par une lettre et appelé l’inconnue.

Une valeur de ce nombre pour laquelle l’égalité est vraie est une solution de l’équation.

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Exemple

Considérons l’équation d’inconnue xx :

2x4=1+3x\red{2x-4}=\blue{1+3x}

  • 2x4\red{2x-4} est appelé le premier membre de l’équation.
  • 1+3x\blue{1+3x} est appelé le deuxième membre de l’équation.
  • L’égalité est-elle vraie pour x=2x=2 ?

Pour x=2x=2, le premier membre se calcule : 2×24=44=02\times 2-4=4-4=0
Pour x=2x=2, le deuxième membre se calcule : 1+3×2=1+6=71+3\times2=1+6=7

On n’obtient pas le même résultat (070\neq 7), donc l’égalité est fausse pour x=2x=2.

  • Donc le nombre 22 n’est pas une solution de l’équation 2x4=1+3x2x-4=1+3x
  • L’égalité est-elle vraie pour x=5x=-5 ?

Pour x=5x=-5, le premier membre se calcule : 2×(5)4=104=142\times (-5)-4=-10-4=-14 Pour x=5x=-5, le deuxième membre se calcule : 1+3×(5)=115=141+3\times(-5)=1-15=-14

On obtient le même résultat (14-14), donc l’égalité est vraie pour x=5x=-5.

  • Donc le nombre5-5 est une solution de l’équation 2x4=1+3x2x-4=1+3x
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À retenir

Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs qui rendent l’égalité vraie lorsqu’elles sont substituées à l’inconnue.

Équations de référence

Équation de la forme a+x=ba+x=b, d’inconnue xx

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Propriété

L’équation d’inconnue xx et de la forme a+x=ba+x=b admet une seule solution :
x=bax=b-a

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Exemple

L’équation 3+x=73+x=-7 admet pour solution x=73x=-7-3
C’est-à-dire x=10x=-10

L’équation 5+x=24-5+x=24 admet pour solution x=24+5x=24+5
C’est-à-dire x=29x=29

Équation de la forme ax=bax=b avec a0a\neq0, d’inconnue xx

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Propriété

L’équation d’inconnue xx de la forme ax=bax=b avec a0a\neq0 admet une seule solution : x=bax=\dfrac{b}{a}

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Exemple

L’équation 5x=10-5x=-10 admet pour solution x=105x=\dfrac{-10}{-5}
C’est-à-dire x=2x=2

L’équation 3x=113x=-11 admet pour solution x=113x=\dfrac{-11}{3}
C’est-à-dire x=113x=-\dfrac{11}{3}

Règles pour résoudre une équation

Pour résoudre une équation, il faut isoler xx en transformant l’équation proposée en équations successives ayant les mêmes solutions grâce aux propriétés du maintien de l’égalité lorsqu’on effectue la même opération sur les deux membres.

On la ramène ainsi à une équation d’inconnue xx de la forme ax=bax=b, et donc la solution est x=bax=\frac{b}{a} (a0a\neq0) en équation de référence.

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Exemple

Résolvons l’équation d’inconnue xx :

7x3=3x27x-3=3x-2

  • On applique la propriété selon laquelle aa, bb et cc étant des nombres relatifs, si a=ba=b alors ac=bca-c=b-c. On retranche 3x3x à chaque membre de l’équation afin de supprimer « les termes en xx » dans le deuxième membre.

7x33x=3x23x7x-3-3x=3x-2-3x

  • On réduit chaque membre de l’équation.

4x3=24x-3=-2

  • On applique la propriété selon laquelle aa, bb et cc étant des nombres relatifs,  si a=ba=b alors a+c=b+ca+c=b+c. On ajoute 33 à chaque membre de l’équation afin d’isoler le « terme en xx » dans le premier membre.

4x3+3=2+34x-3+3=-2+3

  • On réduit chaque membre de l’équation.

4x=14x=1

  • On applique la propriété selon laquelle aa, bb et cc étant des nombres relatifs avec c0c\neq 0, si a=ba=b alors ac=bc\frac{a}{c}=\frac{b}{c}. On divise par 44 chaque membre de l’équation.

4x4=14\dfrac{4x}{4}=\dfrac14

  • On simplifie 4x4\dfrac{4x}{4} par 44.

x=14x=\frac14

  • La solution de l’équation 7x3=3x27x-3=3x-2 est donc 14\dfrac14 ou 0,250,25.