Égalité et équation

Prérequis :

• cours de 4^e sur le langage littéral et la distributivité.

Équations, inconnues, solutions

Considérons le triangle équilatéral $ABC$ et le carré $BDEF$ représentés ci-dessous, où :

• le point $B$ appartient au segment $[AD]$ ;
• le segment $[AD]$ mesure $14\ \text{cm}$ ;
• $x$ désigne la longueur, en centimètre, d’un côté de $ABC$.

On souhaite que le triangle $ABC$ et le carré $BDEF$ aient le même périmètre.
On cherche donc à savoir s’il existe une valeur de $x$ qui permette de respecter cette condition.

Les côtés du triangle $ABC$ sont chacun de longueur $x$.

• Le périmètre de $ABC$ vaut donc : $3x$.

Le segment $[AD]$ mesure $14\ \text{cm}$ et la longueur de $[AB]$ vaut $x$.
Donc : $BD=14-x$, et les côtés du carré $BDEF$ sont chacun de longueur $14-x$.

• Le périmètre de $BDEF$ vaut donc : $4(14-x)$.

On souhaite que les deux périmètres soient égaux.

• On obtient ainsi l’égalité :

$$3x=4(14-x)$$

• Cette égalité, où la valeur de $x$ est inconnue, est appelée équation d’inconnue $x$.

Définition

Équation :

Une équation est une égalité dans laquelle figure au moins un nombre dont la valeur est inconnue et qui est alors désigné par une lettre.

Nous avons vu, dans le cours sur la distributivité, la propriété éponyme, qui permet par exemple d’écrire l’égalité : $2(x+5)=2x+10$.
Il est important de bien comprendre la différence entre cette égalité et celle qui définit une équation.

• L’égalité $2(x+5)=2x+10$ est vraie quelle que soit la valeur de $x$.
• On parle alors d’identité, et $x$ est appelé indéterminée.
• L’égalité de notre exemple $3x=4(14-x)$ peut être vraie ou non en fonction de la valeur de $x$. Il s’agit alors de trouver quelle(s) valeur(s) rend(ent) vraie cette égalité.
• On parle alors d’équation, et $x$ est appelé inconnue.

Regardons, pour quelques valeurs de $x$, si l’égalité $3x=4(14-x)$ est vraie ou non.

À retenir

Pour tester une égalité comme $3x=4(14-x)$ :

• on calcule d’une part la valeur du membre de gauche, après avoir remplacé la lettre par la valeur à laquelle on s’intéresse ;
• on calcule d’autre part la valeur du membre de droite, toujours après avoir remplacé la lettre par la valeur.
• On peut alors regarder si les deux calculs donnent le même résultat, puis conclure.

Nous allons ainsi montrer que $3x=4(14-x)$ n’est pas vraie pour toutes les valeurs de $x$ et voir si une valeur au moins la rend vraie.

Nous voyons donc que l’égalité est vraie pour $x=8$ (parmi, nos tests, c’est la seule valeur qui la rend vraie).

• On dit que $8$ est solution de l’équation $3x=4(14-x)$.

Définition

Solution d’une équation :

Une solution d’une équation est une valeur de l’inconnue qui rend vraie l’égalité de l’équation.

Prenons deux autres exemples, pour bien comprendre comment tester si un nombre est solution d’une équation, ou non.

Exemple

On considère l’équation :

$$\boxed{\dfrac {x-2}{28}=\dfrac 27}$$

• $4$ et $10$ sont-ils solutions de l’équation ?

Il suffit de remplacer $x$ par les valeurs proposées : $4$, puis $10$.

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour $x=4$\ :\ }} \dfrac {x-2}{28}&=\dfrac {4-2}{28} \\ &=\red{\dfrac 2{28}} \\ \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour $x=10$\ :\ }} \dfrac {x-2}{28}&=\dfrac {10-2}{28} \\ &=\dfrac 8{28}=\dfrac{8\div 4}{28\div 4} \\ &=\green{\dfrac 27} \end{aligned}$$

• $4$ n’est pas solution de l’équation.
  $10$ est solution de l’équation.

On considère maintenant l’équation :

$$\boxed{x^2+2=3x+6}$$

• Parmi les nombres : $4$ ; $2$ et $-1$, lesquels sont solutions de l’équation ?

Valeur de $x$	Membre de gauche	Membre de droite	Solution ?
$4$	$$\begin{aligned} \footnotesize x^2+2&\footnotesize =4^2+2 \\ &\footnotesize =16+2 \\ &\footnotesize =\green{18} \end{aligned}$$	$$\begin{aligned} \footnotesize 3x+6&\footnotesize =3\times 4+6 \\ &\footnotesize =12+6 \\ &\footnotesize =\green{18} \end{aligned}$$	Oui
$2$	$$\begin{aligned} \footnotesize x^2+2&\footnotesize =2^2+2 \\ &\footnotesize =4+2 \\ &\footnotesize =\red 6 \end{aligned}$$	$$\begin{aligned} \footnotesize 3x+6&\footnotesize =3\times 2+6 \\ &\footnotesize =6+6 \\ &\footnotesize =\red {12} \end{aligned}$$	Non
$-1$	$$\begin{aligned} \footnotesize x^2+2&\footnotesize =(-1)^2+2 \\ &\footnotesize =1+2 \\ &\footnotesize =\green 3 \end{aligned}$$	$$\begin{aligned} \footnotesize 3x+6&\footnotesize =3\times (-1)+6 \\ &\footnotesize =-3+6 \\ &\footnotesize =\green 3 \end{aligned}$$	Oui

• $-1$ et $4$ sont solutions de l’équation.

Astuce

Nous venons de le voir dans ce dernier exemple, une équation peut admettre plusieurs solutions.
À l’inverse, il arrive qu’une équation n’admette aucune solution, c’est-à-dire qu’il n’existe aucune valeur pour les inconnues qui rende l’égalité vraie.

Résoudre une équation

Nous savons maintenant ce qu’est une équation, et nous avons vu comment tester si un nombre est solution ou non.
Ainsi, dans notre exemple du triangle équilatéral et du carré accolés, on cherchait la ou les valeurs de $x$ qui rendent leurs périmètres égaux :

Nous avons traduit ce problème géométrique par l’équation : $3x=4(14-x)$, d’inconnue $x$. Et nous avons vu que $8$ est une solution de l’équation.
Cette valeur de $8$ nous a été donnée pour que nous puissions tester l’égalité. Si ça n’avait pas été le cas, nous aurions pu procéder par tâtonnements, jusqu’à trouver une valeur qui rende l’égalité vraie – c’est d’ailleurs ce que vous avez sans doute fait dans les classes précédentes.
Cela peut être assez long (ou alors il faut avoir de la chance), et cela ne dit pas si le nombre trouvé est la seule solution ou s’il y en a d’autres.

Dans cette partie, nous allons apprendre la méthode pour trouver, de manière plus directe et complète, les solutions d’une équation comme celle de notre problème. Nous apprendrons ainsi à résoudre une équation.

Définition

Résoudre une équation :

Résoudre une équation, c’est trouver toutes ses solutions.

Pour cela, nous avons besoin de quelques propriétés sur les égalités et les opérations.

Propriété

• Une égalité reste vraie si on ajoute, ou soustrait, un même nombre aux deux membres de l’égalité.

$a$, $b$ et $c$ désignent trois nombres relatifs.

• Si $a=b$, alors :

$$\begin{aligned} a\green{+c}&=b\green{+c} \\ a\green{-c}&=b\green{-c} \end{aligned}$$

• Une égalité reste vraie si on multiple, ou divise, les deux membres de l’égalité par un même nombre non nul.

$a$, $b$ et $c$ désignent trois nombres relatifs, et $c$ est différent de $0$.

• Si $a=b$, alors :

$$\begin{aligned} a\green{\times c}&=b\green{\times c} \\ \green{\dfrac {\textcolor{#585858} a}c}&=\green{\dfrac {\textcolor{#585858} b}c} \end{aligned}$$

Regardons maintenant comment résoudre l’équation de notre problème :

$$3x=4(14-x)$$

Nous allons chercher à isoler l’inconnue $x$.
C’est-à-dire que nous allons transformer l’égalité initiale grâce aux propriétés pour arriver à l’égalité :

$$x=\text{nombre connu}$$

Ainsi, l’objectif ici est de mettre d’un côté les $x$ et de l’autre les nombres connus (ou calculables).

• Nous développons donc le membre de droite, pour avoir dans les deux membres des termes avec $x$ et des nombres connus :

$$\begin{aligned} 3x&=4\times 14-4x \\ 3x&=56-4x \end{aligned}$$

Nous pouvons ajouter un même nombre aux deux membres sans changer l’égalité.

• Ajoutons donc $4x$ aux deux membres, pour nous « débarrasser » du $4x$ dans le membre de droite :

$$3x\green{+4x}=56-4x\green{+4x}$$

$-4x$ et $4x$ sont des nombres opposés, leur somme est nulle.

• Ainsi, on se « débarrasse » bien du $4x$ dans le membre de droite :

$$3x+4x=56$$

Nous savons réduire une expression.

• Nous réduisons donc le terme de gauche :

$$7x=56$$

Maintenant, nous pouvons diviser les deux membres par un même nombre non nul.

• Nous divisons donc par $7$, ce qui nous permettra, après simplification, d’avoir un $x$ « tout seul » :

$$\green{\dfrac {\textcolor{#585858} {7x}}7}=\green{\dfrac {\textcolor{#585858} {56}}7}$$

Nous pouvons maintenant simplifier le membre de gauche (c’est ce que nous voulions), et faire l’opération du membre de droite.

• Nous obtenons la valeur de $x$ qui rend l’égalité vraie :

$$\boxed{x=8}$$

Astuce

Quand on dit que l’égalité d’une équation reste vraie quand on effectue la même opération dans les deux membres, cela signifie qu’on transforme l’équation en une autre équation, mais qui a les mêmes solutions.
Ainsi, les équations $3x=4(14-x)$ et $x=8$ ont la même solution, donc résoudre la seconde revient à résoudre la première.

Nous avons trouvé $8$ comme solution de l’équation $3x=4(14-x)$.
Nous pouvons aussi dire que c’est la seule solution – le seul nombre qui soit égal à $8$, eh bien, c’est $8$…

• L’équation $3x=4(14-x)$ admet $8$ comme unique solution.

On peut alors répondre à la question initiale de notre problème. Avec $x=8$ :

• les côtés du triangle équilatéral mesurent chacun $8\ \text{cm}$ ;
• $14-x=14-8=6$, donc les côtés du carré mesurent chacun : $6\ \text{cm}$.
• On a bien :
• périmètre du triangle équilatéral $ABC$ en $\text{cm}$ : $3\times 8=24$ ;
• périmètre du carré $BDEF$ en $\text{cm}$ : $4\times 6=24$.

À retenir

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on isole l’inconnue en transformant l’équation initiale grâce aux propriétés des opérations sur les égalités, jusqu’à obtenir la valeur de $x$ :

$$x=\text{nombre connu}$$

Avec la pratique, vous apprendrez à aller plus vite, en vous servant notamment des propriétés suivantes, conséquences de tout ce que nous venons de voir.

Propriété

• $a$ et $b$ sont des nombres relatifs donnés.
  L’équation $x+a=b$, d’inconnue $x$, admet pour unique solution $x=b-a$.
• On fait « passer » $+\,a$ d’un membre à l’autre, et on change son signe.
• $a$ et $b$ sont des nombres relatifs donnés, avec $a$ non nul.
  L’équation $ax=b$, d’inconnue $x$, admet pour unique solution $x=\dfrac ba$.

Entraînons-nous sur un autre exemple, parmi ceux donnés dans la première partie, et voyons si nous trouvons bien le même résultat.

Exemple

On cherche à résoudre l’équation :

$$\boxed{\dfrac {x-2}{28}=\dfrac 27}$$

Première méthode

On commence par multiplier les deux membres par $28$ :

$$\begin{aligned} \dfrac {x-2}{28}\green{\times 28}&=\dfrac 27\green{\times 28} \\ (x-2)\times \dfrac {28}{28}&=2\times \dfrac {28}7 \\ (x-2)\times 1&=2\times 4 \\ x-2&=8 \end{aligned}$$

On fait « passer » $-2$ du membre de gauche dans le membre de droite, en changeant son signe. Et on obtient :

$$\begin{aligned} x&=8+2 \\ &=10 \end{aligned}$$

• L’équation admet $10$ comme unique solution (c’est bien ce que nous avons vu plus haut).

Deuxième méthode

Nous allons ici utiliser l’égalité des produits en croix.
Elle nous permet de dire que résoudre l’équation : $\dfrac {\pink{x-2}}{\orange{28}}=\dfrac {\orange 2}{\pink 7}$, revient à résoudre l’équation :

$$\begin{aligned} \pink {7(x-2)}&=\orange{28\times 2} \\ 7(x-2)&=56 \end{aligned}$$

Nous procédons en utilisant les propriétés, pour obtenir :

$$\begin{aligned} x-2&=\dfrac {56}7 \\ x-2&=8 \\ x&=8+2 \\ x&=10 \end{aligned}$$

• L’équation admet $10$ comme unique solution.