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Égalité et équation

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Introduction :

Il est souvent plus facile de résoudre un problème concret en le mettant en équation. En effet, lorsqu’on a un problème concret à résoudre, il est parfois compliqué de trouver l’opération ou bien l’enchaînement d’opérations adéquates pour le résoudre.

En désignant l’inconnue du problème par la lettre $x$, nous allons traduire la situation du problème par une égalité (appelée équation) qui comporte l’inconnue $x$. Nous allons apprendre à résoudre cette équation avec des règles de calculs précises et ainsi trouver la solution du problème.

Dans un premier temps, nous verrons les égalités et les opérations. Dans une deuxième partie, nous nous intéresserons à la notion d’équation. Par la suite, nous étudierons les équations de référence. Enfin, nous apprendrons les règles pour résoudre une équation.

Égalités et opérations

Égalité et addition ou soustraction

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Propriété

Une égalité ne change pas lorsqu’on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à chacun de ses membres.

$a$, $b$, et $c$ étant trois nombres relatifs.

  • Si $a = b$ alors $a+ c= b+ c$
  • Si $a= b$ alors $a-c= b-c$

Égalité et multiplication ou division

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Propriété

Une égalité ne change pas lorsqu’on multiplie (ou on divise) par un même nombre non nul chacun de ses membres.

$a$, $b$, et $c$ étant trois nombres relatifs ($c\neq0$).

  • Si $a= b$ alors $a\times c= b\times c$
  • Si $a= b$ alors $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$

Ces propriétés seront utiles pour la résolution des équations.

Équations

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Définition

Équation :

Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu désigné par une lettre et appelé l’inconnue.

Une valeur de ce nombre pour laquelle l’égalité est vraie est une solution de l’équation.

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Exemple

Considérons l’équation d’inconnue $x$ :

$$\red{2x-4}=\blue{1+3x}$$

  • $\red{2x-4}$ est appelé le premier membre de l’équation.
  • $\blue{1+3x}$ est appelé le deuxième membre de l’équation.
  • L’égalité est-elle vraie pour $x=2$ ?

Pour $x=2$, le premier membre se calcule : $$2\times 2-4=4-4=0$$
Pour $x=2$, le deuxième membre se calcule : $$1+3\times2=1+6=7$$

On n’obtient pas le même résultat ($0\neq 7$), donc l’égalité est fausse pour $x=2$.

  • Donc le nombre $2$ n’est pas une solution de l’équation $2x-4=1+3x$
  • L’égalité est-elle vraie pour $x=-5$ ?

Pour $x=-5$, le premier membre se calcule : $$2\times (-5)-4=-10-4=-14$$ Pour $x=-5$, le deuxième membre se calcule : $$1+3\times(-5)=1-15=-14$$

On obtient le même résultat ($-14$), donc l’égalité est vraie pour $x=-5$.

  • Donc le nombre$-5$ est une solution de l’équation $2x-4=1+3x$
bannière à retenir

À retenir

Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs qui rendent l’égalité vraie lorsqu’elles sont substituées à l’inconnue.

Équations de référence

Équation de la forme $a+x=b$, d’inconnue $x$

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Propriété

L’équation d’inconnue $x$ et de la forme $a+x=b$ admet une seule solution :
$$x=b-a$$

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Exemple

L’équation $3+x=-7$ admet pour solution $x=-7-3$
C’est-à-dire $x=-10$

L’équation $-5+x=24$ admet pour solution $x=24+5$
C’est-à-dire $x=29$

Équation de la forme $ax=b$ avec $a\neq0$, d’inconnue $x$

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Propriété

L’équation d’inconnue $x$ de la forme $ax=b$ avec $a\neq0$ admet une seule solution : $$x=\dfrac{b}{a}$$

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Exemple

L’équation $-5x=-10$ admet pour solution $x=\dfrac{-10}{-5}$
C’est-à-dire $x=2$

L’équation $3x=-11$ admet pour solution $x=\dfrac{-11}{3}$
C’est-à-dire $x=-\dfrac{11}{3}$

Règles pour résoudre une équation

Pour résoudre une équation, il faut isoler $x$ en transformant l’équation proposée en équations successives ayant les mêmes solutions grâce aux propriétés du maintien de l’égalité lorsqu’on effectue la même opération sur les deux membres.

On la ramène ainsi à une équation d’inconnue $x$ de la forme $ax=b$, et donc la solution est $x=\frac{b}{a}$ ($a\neq0$) en équation de référence.

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Exemple

Résolvons l’équation d’inconnue $x$ :

$$7x-3=3x-2$$

  • On applique la propriété selon laquelle $a$, $b$ et $c$ étant des nombres relatifs, si $a=b$ alors $a-c=b-c$. On retranche $3x$ à chaque membre de l’équation afin de supprimer « les termes en $x$ » dans le deuxième membre.

$$7x-3-3x=3x-2-3x$$

  • On réduit chaque membre de l’équation.

$$4x-3=-2$$

  • On applique la propriété selon laquelle $a$, $b$ et $c$ étant des nombres relatifs, si $a=b$ alors $a+c=b+c$. On ajoute $3$ à chaque membre de l’équation afin d’isoler le « terme en $x$ » dans le premier membre.

$$4x-3+3=-2+3$$

  • On réduit chaque membre de l’équation.

$$4x=1$$

  • On applique la propriété selon laquelle $a$, $b$ et $c$ étant des nombres relatifs avec $c\neq 0$, si $a=b$ alors $\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$. On divise par $4$ chaque membre de l’équation.

$$\dfrac{4x}{4}=\dfrac14$$

  • On simplifie $\dfrac{4x}{4}$ par $4$.

$$x=\frac14$$

  • La solution de l’équation $7x-3=3x-2$ est donc $\dfrac14$ ou $0,25$.