Déjà plus de
1 million
d'inscrits !
Égalité et équation
Déjà plus de
1 million
d'inscrits !
Avant de commencer, regarde la vidéo
Introduction :
Il est souvent plus facile de résoudre un problème concret en le mettant en équation. En effet, lorsqu’on a un problème concret à résoudre, il est parfois compliqué de trouver l’opération ou bien l’enchaînement d’opérations adéquates pour le résoudre.
En désignant l’inconnue du problème par la lettre , nous allons traduire la situation du problème par une égalité (appelée équation) qui comporte l’inconnue . Nous allons apprendre à résoudre cette équation avec des règles de calculs précises et ainsi trouver la solution du problème.
Dans un premier temps, nous verrons les égalités et les opérations. Dans une deuxième partie, nous nous intéresserons à la notion d’équation. Par la suite, nous étudierons les équations de référence. Enfin, nous apprendrons les règles pour résoudre une équation.
Égalités et opérations
Égalité et addition ou soustraction
Une égalité ne change pas lorsqu’on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à chacun de ses membres.
, , et étant trois nombres relatifs.
Égalité et multiplication ou division
Une égalité ne change pas lorsqu’on multiplie (ou on divise) par un même nombre non nul chacun de ses membres.
, , et étant trois nombres relatifs ().
Ces propriétés seront utiles pour la résolution des équations.
Équations
Équation :
Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu désigné par une lettre et appelé l’inconnue.
Une valeur de ce nombre pour laquelle l’égalité est vraie est une solution de l’équation.
Considérons l’équation d’inconnue :
Pour , le premier membre se calcule :
Pour , le deuxième membre se calcule :
On n’obtient pas le même résultat (), donc l’égalité est fausse pour .
Pour , le premier membre se calcule : Pour , le deuxième membre se calcule :
On obtient le même résultat (), donc l’égalité est vraie pour .
Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs qui rendent l’égalité vraie lorsqu’elles sont substituées à l’inconnue.
Équations de référence
Équation de la forme , d’inconnue
L’équation d’inconnue et de la forme admet une seule solution :
L’équation admet pour solution
C’est-à-dire
L’équation admet pour solution
C’est-à-dire
Équation de la forme avec , d’inconnue
L’équation d’inconnue de la forme avec admet une seule solution :
L’équation admet pour solution
C’est-à-dire
L’équation admet pour solution
C’est-à-dire
Règles pour résoudre une équation
Pour résoudre une équation, il faut isoler en transformant l’équation proposée en équations successives ayant les mêmes solutions grâce aux propriétés du maintien de l’égalité lorsqu’on effectue la même opération sur les deux membres.
On la ramène ainsi à une équation d’inconnue de la forme , et donc la solution est () en équation de référence.
Résolvons l’équation d’inconnue :