Estimer le résultat d'une opération

Sommaire

Introduction
1 . Donner l’approximation d’un nombre
2 . Utiliser le signe « environ égal »
3 . Estimer le résultat d’une multiplication
4 . Estimer le résultat d’une division

Introduction

Il est important d’être capable d’estimer le résultat d’une opération. On peut ainsi avoir une idée de ce que l’on doit payer au supermarché pour déceler rapidement des erreurs et éviter de perdre de l’argent.

Prérequis : N’hésite pas à aller consulter le cours de CM1 - Estimer un ordre de grandeur.

Donner l’approximation d’un nombre

Choisir des nombres plus simples à utiliser

Certaines opérations, avec des nombres comme $3,023$ ou $18\,786$, sont plus difficiles à faire en calcul mental. Mais on peut avoir une idée du résultat en utilisant des nombres proches. Ces nombres « proches » doivent être choisis pour qu’ils soient simples à manipuler.

À retenir

Pour estimer le résultat d’une opération, on remplace les nombres par des nombres proches pour simplifier les calculs.

Pour cela, on choisit souvent des nombres qui se terminent par un ou plusieurs zéros, comme $20$, $100$, $600$ ou $4\,000$.

L’objectif n’est pas de trouver le résultat exact, mais d’obtenir une valeur proche du résultat.

Exemple

Mme Duval achète :

un livre à 18,85 € ;
un aspirateur à 97,90 € ;
un vase décoratif à 42,15 €.

Pour savoir environ combien elle devra payer, elle peut remplacer chaque prix par un nombre proche qui sera plus simple à utiliser :

18,85 vaut environ 20 (ne pas choisir 18 ni 19) ;
97,90 vaut environ 100 (ne pas choisir 97 ni 98) ;
42,15 c’est environ 40 (ne pas choisir 41, ni 42, ni 43).

Mme Duval peut maintenant additionner facilement : $$20 + 100 + 40$$.

Elle devra régler environ 160 euros.

On vérifie en calculant : $$18,85+97,90+42,15=158,90$$

Effectivement 158,90 est proche des 160 euros estimés par cette dame. Son estimation est donc correcte. Si le vendeur lui avait réclamé plus de 200 euros, elle aurait compris grâce à son estimation qu’il y avait une erreur et elle aurait pu lui demander de refaire son calcul.

Bien choisir le nombre « proche »

Pour faire une estimation utile, il faut choisir des nombres à la fois proches du nombre de départ et faciles à utiliser.

Exemple

18,85 est proche de 19 mais si l’on choisit 19, on risque de rendre le calcul moins rapide et plus complexe.
18,85 est entre 10 et 20. On choisira 20 car 10 est un nombre trop éloigné de 18,85 comme le montre la droite graduée :

$Estimer un résultat$

Utiliser le signe « environ égal »

Lorsqu’on fait l’approximation du résultat d’un calcul, on ne peut pas utiliser le signe « $=$ ». Il ne doit être utilisé que pour un résultat exactement identique au calcul.

En revanche, il existe un signe qui symbolise l’approximation. Ce signe s’écrit :

$environ égal$

Avec ce signe, nous pourrions donc écrire : $$18,85+97,90+42,15\approx160$$

En français, on dit que le résultat de cette opération est environ égal à 160.

Estimer le résultat d’une multiplication

Comme pour l’addition, on peut avoir une idée du résultat de la multiplication en remplaçant tous les nombres de l’opération par un nombre qui permet des calculs faciles et rapides.

Exemple

Calculons $613\times48$.

Je cherche une valeur proche de chacun des facteurs de la multiplication. Ici, on peut écrire :$$613\approx600$$ $$48\approx50$$
Je fais le calcul avec les valeurs approchées :

$$\begin{aligned} 600\times50 &= (6\times100)\times(5\times10)\\ &= (6\times5)\times(100\times10)\\ &= 30\times1\,000\\ &= 30\,000 \end{aligned}$$

On peut ainsi donner une valeur approchée : $613\times48\approx30\,000$

Cette valeur approchée est une bonne estimation, car : $613\times48=29\,424$

Estimer le résultat d’une division

Comme pour l’addition ou la multiplication, on peut avoir une idée du résultat de la division en remplaçant tous les nombres de l’opération par un nombre qui permet des calculs faciles et rapides.

Exemple

Calculons $3\,984\div96$.

Je cherche une valeur proche de chacun des nombres de la division. Ici, on peut écrire : $$3\,984\approx4\,000$$ $$96\approx100$$
Je fais le calcul avec les valeurs approchées :

$$4\,000\div100=40$$

Donc : $3\,984\div96\approx40$.

Cette valeur approchée est une bonne estimation, car : $3\,984\div96=41,5$.

Sommaire

Introduction
1 . Donner l’approximation d’un nombre
2 . Utiliser le signe « environ égal »
3 . Estimer le résultat d’une multiplication
4 . Estimer le résultat d’une division

Introduction

Prérequis : N’hésite pas à aller consulter le cours de CM1 - Estimer un ordre de grandeur.

Donner l’approximation d’un nombre

Choisir des nombres plus simples à utiliser

À retenir

Pour estimer le résultat d’une opération, on remplace les nombres par des nombres proches pour simplifier les calculs.

Pour cela, on choisit souvent des nombres qui se terminent par un ou plusieurs zéros, comme $20$, $100$, $600$ ou $4\,000$.

L’objectif n’est pas de trouver le résultat exact, mais d’obtenir une valeur proche du résultat.

Exemple

Mme Duval achète :

un livre à 18,85 € ;
un aspirateur à 97,90 € ;
un vase décoratif à 42,15 €.

Pour savoir environ combien elle devra payer, elle peut remplacer chaque prix par un nombre proche qui sera plus simple à utiliser :

18,85 vaut environ 20 (ne pas choisir 18 ni 19) ;
97,90 vaut environ 100 (ne pas choisir 97 ni 98) ;
42,15 c’est environ 40 (ne pas choisir 41, ni 42, ni 43).

Mme Duval peut maintenant additionner facilement : $$20 + 100 + 40$$.

Elle devra régler environ 160 euros.

On vérifie en calculant : $$18,85+97,90+42,15=158,90$$

Bien choisir le nombre « proche »

Pour faire une estimation utile, il faut choisir des nombres à la fois proches du nombre de départ et faciles à utiliser.

Exemple

18,85 est proche de 19 mais si l’on choisit 19, on risque de rendre le calcul moins rapide et plus complexe.
18,85 est entre 10 et 20. On choisira 20 car 10 est un nombre trop éloigné de 18,85 comme le montre la droite graduée :

$Estimer un résultat$

Utiliser le signe « environ égal »

Lorsqu’on fait l’approximation du résultat d’un calcul, on ne peut pas utiliser le signe « $=$ ». Il ne doit être utilisé que pour un résultat exactement identique au calcul.

En revanche, il existe un signe qui symbolise l’approximation. Ce signe s’écrit :

$environ égal$

Avec ce signe, nous pourrions donc écrire : $$18,85+97,90+42,15\approx160$$

En français, on dit que le résultat de cette opération est environ égal à 160.

Estimer le résultat d’une multiplication

Comme pour l’addition, on peut avoir une idée du résultat de la multiplication en remplaçant tous les nombres de l’opération par un nombre qui permet des calculs faciles et rapides.

Exemple

Calculons $613\times48$.

Je cherche une valeur proche de chacun des facteurs de la multiplication. Ici, on peut écrire :$$613\approx600$$ $$48\approx50$$
Je fais le calcul avec les valeurs approchées :

$$\begin{aligned} 600\times50 &= (6\times100)\times(5\times10)\\ &= (6\times5)\times(100\times10)\\ &= 30\times1\,000\\ &= 30\,000 \end{aligned}$$

On peut ainsi donner une valeur approchée : $613\times48\approx30\,000$

Cette valeur approchée est une bonne estimation, car : $613\times48=29\,424$

Estimer le résultat d’une division

Exemple

Calculons $3\,984\div96$.

Je cherche une valeur proche de chacun des nombres de la division. Ici, on peut écrire : $$3\,984\approx4\,000$$ $$96\approx100$$
Je fais le calcul avec les valeurs approchées :

$$4\,000\div100=40$$

Donc : $3\,984\div96\approx40$.

Cette valeur approchée est une bonne estimation, car : $3\,984\div96=41,5$.