Cours : Étudier l’effet d’un agrandissement et d'une réduction

Rappel des grandeurs

Grandeurs des figures planes (périmètres et aires)

Grandeurs des solides (aires et volumes)

Agrandissement / Réduction

Définition

Agrandissement et réduction :

Agrandir ou réduire une figure ou un solide, c'est multiplier toutes ses dimensions par un même nombre $k$.

• Si $k$ est supérieur à $1$, on parle d'agrandissement.
• Si $k$ est compris entre $0$ et $1$, on parle de réduction.
• $k$ est appelé rapport ou coefficient d'agrandissement/de réduction.

Exemple

La figure $F2$ est obtenue en multipliant toutes les dimensions de la figure $F1$ par $2$.

• $F2$ est un agrandissement de $F1$ de rapport $2$.

De la même manière, on peut dire que la figure $F1$ est obtenue en multipliant toutes les dimensions de la figure $F2$ par $1/2$.

• $F1$ est une réduction de $F2$ de rapport $1/2$.

Propriété

Un agrandissement/une réduction conserve les angles.

Exemple

Dans l'exemple ci-dessus, $F2$ est un agrandissement de $F1$ donc on peut écrire :

$\widehat {ABC}=\widehat {HIJ}$

$(EF)//(AG)$ donc $(LM)//(HN)$

$(DE)\bot (EF)$ donc $(KL) \bot (LM)$

Propriété

Dans un agrandissement/une réduction de rapport $k$ :

• le périmètre est multiplié par $k$ ;
• l'aire est multipliée par $k^2$ ;
• le volume est multiplié par $k^3$.

Exemple

• Dans l'exemple ci-dessous, $F2$ est un agrandissement de $F1$ de rapport $2$.

Toutes les longueurs sont multipliées par $2$. Le périmètre est donc lui-même multiplié par $2$.

$1$ carreau représentant $1\ \text{cm}^2$, l'aire de $F1$ est égale à $6\ \text{cm}^2$.

On peut facilement vérifier que l'aire de $F2$ est bien égale à $6 \times 2^2$ soit $24\ \text{cm}^2$.

• Considérons les pavés droits ci-dessous et calculons le volume de $PV2$.

Le pavé droit $PV2$ est un agrandissement du pavé droit $PV1$ de rapport $4$.

• On peut donc écrire $\text{Volume}${PV2}=\text{Volume}{PV1} \times 4^3=\text{Volume}_{PV1} \times 64
• Or le volume du pavé droit $PV1$ est $\text{Volume}_{PV1}= 2 \times 1 \times 1=2\ \text{cm}^3$
• Donc $\text{Volume}_{PV2}=2 \times 64= 128\ \text{cm}^3$

Application à la section d'une pyramide ou d'un cône

Propriété

La section d'une pyramide (ou d'un cône) par un plan parallèle à la base forme une pyramide (ou un cône) qui est une réduction de la pyramide (ou du cône) initial.

Section d'une pyramide

Soit une pyramide $EABCD$. Soit un plan $P$ parallèle à la base de la pyramide et qui coupe cette pyramide en $FGHI$.

• Alors la pyramide $EFGHI$ est une réduction de la pyramide $EABCD$.

Section d'un cône

Soit un cône $SOA$. Soit un plan $P$ parallèle à la base du cône et qui coupe ce cône en un cercle de centre $O'$ et de rayon $O'B$.

• Alors le cône $SO'B$ est une réduction du cône $SOA$.

Application directe

Un récipient peut être modélisé par un cône inversé dont les dimensions sont les suivantes : diamètre au plus haut $12\ \text{cm}$ et hauteur $9\ \text{cm}$.

On remplit ce récipient aux $\frac23$ de sa hauteur. On cherche à connaître la quantité de liquide contenue dans le récipient.

Le problème ci-dessus peut être représenté de la manière suivante avec :

• rayon du récipient $OM = 6\ \text{cm}$
• hauteur du récipient $OS = 9\ \text{cm}$
• hauteur du liquide O'S =\dfrac{2}{3} \times OS = \dfrac{2}{3} \times 9 = 6\ \text{cm}

D'après la propriété sur la section d'un cône par un plan parallèle à la base, on peut affirmer que le cône $SO'M'$ est une réduction du cône $SOM$. Sachant que $O'S =\dfrac{2}{3} \times OS$, le rapport de cette réduction est $\dfrac{2}{3}$.

On peut donc utiliser la propriété $\text{Volume}${C2}=k^3 \times \text{Volume}{C1} avec $C2 = SO'M'$, $C1 = SOM$ et $k = \dfrac{2}{3}$.

• On obtient $\text{Volume}${SO'M}=\big(\dfrac{2}{3}\big)^3 \times \text{Volume}{SOM}=\dfrac{8}{27}\times \text{Volume}_{SOM}
• La formule du volume d'un cône est $V=\dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$
• Dans notre problème $r = OM = 6\ \text{cm}$ et $h = OS = 9\ \text{cm}$
• D'où $\text{Volume}_{SOM} = \dfrac{1}{3} \pi\times 6^2\times 9=108\pi$ soit environ $339,29 \text{cm}^3$
• D'où $\text{Volume}_{SO'M'}=\dfrac{8}{27} \times 108 \pi=32 \pi$ soit environ $100,53\ \text{cm}^3$

Analyse rapide du résultat :
Bien que le récipient soit rempli aux $\dfrac{2}{3}$, le volume du liquide n'atteint pas le $\dfrac{1}{3}$ de celui du récipient.
En effet, les longueurs sont multipliées par $\dfrac{2}{3}$ (environ $0,667$) mais les volumes sont multipliés par $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3}$ soit environ $0, 296$ ce qui est inférieur au $\dfrac{1}{3}$ (environ $0,333$).