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Marianne

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Étudier l’effet d’un agrandissement et d'une réduction

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Introduction :

L'objectif ici est d'étudier l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les grandeurs géométriques.
Nous commencerons ce cours par un rappel sur les grandeurs des figures planes et des solides. Nous définirons ensuite les termes agrandissement et réduction puis énumèrerons les propriétés relatives aux grandeurs et mesures. Nous terminerons par des applications sur les pyramides et les cônes.

Rappel des grandeurs

Grandeurs des figures planes (périmètres et aires)

Grandeurs des figures planes (périmètres et aires) mathématiques troisième

Grandeurs des solides (aires et volumes)

Grandeurs des figures planes (périmètres et aires) mathématiques troisième

Agrandissement / Réduction

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Définition

Agrandissement et réduction :

Agrandir ou réduire une figure ou un solide, c'est multiplier toutes ses dimensions par un même nombre kk.

  • Si kk est supérieur à 11, on parle d'agrandissement.
  • Si kk est compris entre 00 et 11, on parle de réduction.
  • kk est appelé rapport ou coefficient d'agrandissement/de réduction.
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Exemple

Grandeurs des figures planes (périmètres et aires) mathématiques troisième

La figure F2F2 est obtenue en multipliant toutes les dimensions de la figure F1F1 par 22.

  • F2F2 est un agrandissement de F1F1 de rapport 22.

De la même manière, on peut dire que la figure F1F1 est obtenue en multipliant toutes les dimensions de la figure F2F2 par 1/21/2.

  • F1F1 est une réduction de F2F2 de rapport 1/21/2.
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Propriété

Un agrandissement/une réduction conserve les angles.

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Exemple

Dans l'exemple ci-dessus, F2F2 est un agrandissement de F1F1 donc on peut écrire :

ABC^=HIJ^\widehat {ABC}=\widehat {HIJ}

(EF)//(AG)(EF)//(AG) donc (LM)//(HN)(LM)//(HN)

(DE)(EF)(DE)\bot (EF) donc (KL)(LM)(KL) \bot (LM)

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Propriété

Dans un agrandissement/une réduction de rapport kk :

  • le périmètre est multiplié par kk ;
  • l'aire est multipliée par k2k^2 ;
  • le volume est multiplié par k3k^3.
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Exemple

  • Dans l'exemple ci-dessous, F2F2 est un agrandissement de F1F1 de rapport 22.

Grandeurs des figures planes (périmètres et aires) mathématiques troisième

Toutes les longueurs sont multipliées par 22. Le périmètre est donc lui-même multiplié par 22.

11 carreau représentant 1 cm21\ \text{cm}^2, l'aire de F1F1 est égale à 6 cm26\ \text{cm}^2.

On peut facilement vérifier que l'aire de F2F2 est bien égale à 6×226 \times 2^2 soit 24 cm224\ \text{cm}^2.

  • Considérons les pavés droits ci-dessous et calculons le volume de PV2PV2.

Étudier l'effet d'un agrandissement et d'une réduction mathématiques troisième

Le pavé droit PV2PV2 est un agrandissement du pavé droit PV1PV1 de rapport 44.

  • On peut donc écrire VolumePV2=VolumePV1×43=VolumePV1×64\text{Volume}{PV2}=\text{Volume}{PV1} \times 4^3=\text{Volume}_{PV1} \times 64
  • Or le volume du pavé droit PV1PV1 est VolumePV1=2×1×1=2 cm3\text{Volume}_{PV1}= 2 \times 1 \times 1=2\ \text{cm}^3
  • Donc VolumePV2=2×64=128 cm3\text{Volume}_{PV2}=2 \times 64= 128\ \text{cm}^3

Application à la section d'une pyramide ou d'un cône

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Propriété

La section d'une pyramide (ou d'un cône) par un plan parallèle à la base forme une pyramide (ou un cône) qui est une réduction de la pyramide (ou du cône) initial.

Section d'une pyramide

Soit une pyramide EABCDEABCD. Soit un plan PP parallèle à la base de la pyramide et qui coupe cette pyramide en FGHIFGHI.

  • Alors la pyramide EFGHIEFGHI est une réduction de la pyramide EABCDEABCD.

section d'une pyramide mathématiques troisième

Section d'un cône

Soit un cône SOASOA. Soit un plan PP parallèle à la base du cône et qui coupe ce cône en un cercle de centre OO' et de rayon OBO'B.

  • Alors le cône SOBSO'B est une réduction du cône SOASOA.

section d'un cône mathématiques troisième

Application directe

Un récipient peut être modélisé par un cône inversé dont les dimensions sont les suivantes : diamètre au plus haut 12 cm12\ \text{cm} et hauteur 9 cm9\ \text{cm}.

On remplit ce récipient aux 23\frac23 de sa hauteur. On cherche à connaître la quantité de liquide contenue dans le récipient.

Le problème ci-dessus peut être représenté de la manière suivante avec :

  • rayon du récipient OM=6 cmOM = 6\ \text{cm}
  • hauteur du récipient OS=9 cmOS = 9\ \text{cm}
  • hauteur du liquide O'S =\dfrac{2}{3} \times OS = \dfrac{2}{3} \times 9 = 6\ \text{cm}

Alt texte

D'après la propriété sur la section d'un cône par un plan parallèle à la base, on peut affirmer que le cône SOMSO'M' est une réduction du cône SOMSOM. Sachant que OS=23×OSO'S =\dfrac{2}{3} \times OS, le rapport de cette réduction est 23\dfrac{2}{3}.

On peut donc utiliser la propriété VolumeC2=k3×VolumeC1\text{Volume}{C2}=k^3 \times \text{Volume}{C1} avec C2=SOMC2 = SO'M', C1=SOMC1 = SOM et k=23k = \dfrac{2}{3}.

  • On obtient VolumeSOM=(23)3×VolumeSOM=827×VolumeSOM\text{Volume}{SO'M}=\big(\dfrac{2}{3}\big)^3 \times \text{Volume}{SOM}=\dfrac{8}{27}\times \text{Volume}_{SOM}
  • La formule du volume d'un cône est V=13×π×r2×hV=\dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h
  • Dans notre problème r=OM=6 cmr = OM = 6\ \text{cm} et h=OS=9 cmh = OS = 9\ \text{cm}
  • D'où VolumeSOM=13π×62×9=108π\text{Volume}_{SOM} = \dfrac{1}{3} \pi\times 6^2\times 9=108\pi soit environ 339,29cm3339,29 \text{cm}^3
  • D'où VolumeSOM=827×108π=32π\text{Volume}_{SO'M'}=\dfrac{8}{27} \times 108 \pi=32 \pi soit environ 100,53 cm3100,53\ \text{cm}^3

Analyse rapide du résultat :
Bien que le récipient soit rempli aux 23\dfrac{2}{3}, le volume du liquide n'atteint pas le 13\dfrac{1}{3} de celui du récipient.
En effet, les longueurs sont multipliées par 23\dfrac{2}{3} (environ 0,6670,667) mais les volumes sont multipliés par 23×23×23\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} soit environ 0,2960, 296 ce qui est inférieur au 13\dfrac{1}{3} (environ 0,3330,333).

Conclusion :

De ce cours, il est important de comprendre les effets d'un agrandissement-réduction sur les grandeurs des figures planes et solides : périmètres, aires et volumes.
Il est également intéressant de savoir appliquer directement les propriétés relatives à ces grandeurs sur des solides tels que les pyramides et les cônes.