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Étudier l’effet d’un agrandissement et d'une réduction
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Introduction :
L'objectif ici est d'étudier l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les grandeurs géométriques.
Nous commencerons ce cours par un rappel sur les grandeurs des figures planes et des solides. Nous définirons ensuite les termes agrandissement et réduction puis énumèrerons les propriétés relatives aux grandeurs et mesures. Nous terminerons par des applications sur les pyramides et les cônes.
Rappel des grandeurs
Grandeurs des figures planes (périmètres et aires)
Grandeurs des solides (aires et volumes)
Agrandissement / Réduction
Agrandissement et réduction :
Agrandir ou réduire une figure ou un solide, c'est multiplier toutes ses dimensions par un même nombre .
La figure est obtenue en multipliant toutes les dimensions de la figure par .
De la même manière, on peut dire que la figure est obtenue en multipliant toutes les dimensions de la figure par .
Un agrandissement/une réduction conserve les angles.
Dans l'exemple ci-dessus, est un agrandissement de donc on peut écrire :
donc
donc
Toutes les longueurs sont multipliées par . Le périmètre est donc lui-même multiplié par .
carreau représentant , l'aire de est égale à .
On peut facilement vérifier que l'aire de est bien égale à soit .
Le pavé droit est un agrandissement du pavé droit de rapport .
Application à la section d'une pyramide ou d'un cône
Section d'une pyramide
Soit une pyramide . Soit un plan parallèle à la base de la pyramide et qui coupe cette pyramide en .
Section d'un cône
Soit un cône . Soit un plan parallèle à la base du cône et qui coupe ce cône en un cercle de centre et de rayon .
Application directe
Un récipient peut être modélisé par un cône inversé dont les dimensions sont les suivantes : diamètre au plus haut et hauteur .
On remplit ce récipient aux de sa hauteur. On cherche à connaître la quantité de liquide contenue dans le récipient.
Le problème ci-dessus peut être représenté de la manière suivante avec :
D'après la propriété sur la section d'un cône par un plan parallèle à la base, on peut affirmer que le cône est une réduction du cône . Sachant que , le rapport de cette réduction est .
On peut donc utiliser la propriété avec , et .
Analyse rapide du résultat :
Bien que le récipient soit rempli aux , le volume du liquide n'atteint pas le de celui du récipient.
En effet, les longueurs sont multipliées par (environ ) mais les volumes sont multipliés par soit environ ce qui est inférieur au (environ ).
Conclusion :
De ce cours, il est important de comprendre les effets d'un agrandissement-réduction sur les grandeurs des figures planes et solides : périmètres, aires et volumes.
Il est également intéressant de savoir appliquer directement les propriétés relatives à ces grandeurs sur des solides tels que les pyramides et les cônes.