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Factorisation et identité remarquable

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Introduction :

Ce cours va introduire des techniques de calcul. Il contiendra donc des définitions, des méthodes et des exemples.

Rappels sur le développement d’un produit

Expression littérale

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Définition

Expression littérale :

Une expression littérale est une expression dans laquelle une ou plusieurs variables sont désignées par des lettres.

Si on attribue une valeur numérique à la variable (ou aux variables), on peut calculer la valeur de l’expression littérale.

Celle-ci peut varier selon la valeur que l’on donne aux variables qui la composent.

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Exemple

$A = (3x+1)(2x-3)$ est une expression littérale dont la variable est $x$.

  • Pour $x=-1$ :

$\begin{aligned} A&= (3 \times (-1)+1)(2 \times (-1) -3)\\&=(-3+1)(-2-3)\\&=(-2) \times (-5)\\&=10\end{aligned}$

  • Pour $x=2$ :

$\begin{aligned}A&= (3 \times 2 +1)(2 \times 2 -3)\\&= 7 \times 1\\&= 7\end{aligned}$.

Développement

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Définition

Développement :

Développer un produit, c’est le transformer en une somme ou une différence. Pour cela, on utilise la distributivité de la multiplication.

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Propriété

Distributivité :

  • $\begin{aligned}k \times (a+b)&=k\times a + k \times b\\&= ka +kb\end{aligned}$
  • $\begin{aligned}k \times (a-b)&=k\times a - k \times b\\&= ka -kb\end{aligned}$
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Propriété

Double distributivité :

  • $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

On passe à chaque fois d’une forme factorisée (produit) à une forme développée (somme ou différence).

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Exemple

Développons $A=5(x-1)$ et $B=(3x+2)(5x-7)$

  • Développement de $A$ :

$A = 5(x-1) $

$A= 5 \times x - 5 \times 1$

$A = 5x-5$

  • Développement de $B$ :

$B = (3x+2)(5x-7)$

$B = 3x \times 5x + 3x \times (-7) + 2 \times 5x + 2 \times(-7)$

$B=15x^2-21x+10x-14$

$B=15x^2-11x-14$

Identités remarquables

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Théorème

Les trois identités remarquables sont :

  • $(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2$
  • $(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2$
  • $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
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Exemple

Développons $(x+3)^2$, $(x-4)^2$ et $(x+2)(x-2)$.

  • Développement de $(x+3)^2$ :

On reconnaît la forme $(a+b)^2 $. On applique donc la première identité remarquable :

$\begin{aligned}(x+3)^2 &= x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 \\&= x^2 +6x +9\end{aligned}$

  • Développement de $(x-4)^2$ :

On reconnaît la forme $(a-b)^2 $. On applique donc la deuxième identité remarquable :

$\begin{aligned}(x-4)^2 &= x^2 - 2 \times x \times 4 +4^2 \\&= x^2 - 8x + 16\end{aligned}$

  • Développement de $(x+2)(x-2)$ :

On reconnaît la forme $(a-b)(a+b)$. On applique donc la troisième identité remarquable :

$\begin{aligned}(x+2)(x-2) &= x^2 - 2^2 \\&= x^2 - 4\end{aligned}$

Factorisation

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Définition

Factorisation :

Factoriser une somme ou une différence, c’est la transformer en produit. Pour cela, on utilise soit un facteur commun soit une identité remarquable.

Avec un facteur commun

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Propriété

  • $k \times a + k \times b = k \times (a+b)$
  • $k \times a - k \times b = k \times (a-b)$

Ici, $k$ est le facteur commun à chaque fois.

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Exemple

Factorisons $A = 6x-18$ et $B = (8x-9)(5x-3)-(8x-9)(2x+1)$

  • Factorisation de $A$ :

$A = 6x-18$

$A = 6 \times x - 6 \times 3$

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Astuce

On repère le facteur commun, ici $6$

$A = 6(x-3)$

  • Factorisation de $B$ :

$B = (8x-9)(5x-3)-(8x-9)(2x+1)$

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Astuce

On repère le facteur commun, ici $(8x-9)$

$B = (8x-9)((5x-3)-(2x+1))$

$B = (8x-9)(5x-3-2x-1)$

$B = (8x-9)(3x-4)$

Avec une identité remarquable

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À retenir

Pour factoriser avec une identité remarquable, on utilise une des trois formules vues précédemment dans le sens inverse par rapport au développement :

  • $ a^2 +2ab + b^2=(a+b)^2$
  • $ a^2 -2ab + b^2=(a-b)^2$
  • $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Factorisons $x^2 +12x +36$, $x^2 -2x +1$, $x^2 - 25$ et finalement $A=(x-2)^2-(2x+1)^2$.

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Exemple

  • Factorisation de $x^2 +12x +36$ :

On reconnaît la forme $ a^2 +2ab + b^2$.

On applique donc la première identité remarquable :

$\begin{aligned}x^2 +12x +36 &= x^2 + 2 \times x \times 6 + 6^2 \\&= (x+6)^2\end{aligned}$

  • Factorisation de $x^2 -2x +1$ :

On reconnaît la forme $ a^2 -2ab + b^2$.

On applique donc la deuxième identité remarquable :

$\begin{aligned}x^2 -2x +1&=x^2 - 2 \times x \times 1 + 1^2\\&=(x-1)^2\end{aligned}$

  • Factorisation de $x^2 - 25$ :

On reconnaît la forme $ a^2- b^2$.

On applique donc la troisième identité remarquable :

$\begin{aligned}x^2 - 25&=x^2 - 5^2\\&=(x+5)(x-5)\end{aligned}$

  • Factorisation de $A=(x-2)^2-(2x+1)^2$ :

On reconnaît la forme $ a^2- b^2$, avec $a=x-2$ et $b=2x+1$

La forme factorisée de $A$ sera donc : $(a+b)(a-b)$.

$A=((x-2)-(2x+1))((x-2)+(2x+1))$

$A=(x-2-2x-1)(x-2+2x+1)$

$A=(-x-3)(3x-1)$