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Factorisation et identité remarquable
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Introduction :
Ce cours va introduire des techniques de calcul. Il contiendra donc des définitions, des méthodes et des exemples.
Rappels sur le développement d’un produit
Expression littérale
Expression littérale :
Une expression littérale est une expression dans laquelle une ou plusieurs variables sont désignées par des lettres.
Si on attribue une valeur numérique à la variable (ou aux variables), on peut calculer la valeur de l’expression littérale.
Celle-ci peut varier selon la valeur que l’on donne aux variables qui la composent.
est une expression littérale dont la variable est .
.
Développement
Développement :
Développer un produit, c’est le transformer en une somme ou une différence. Pour cela, on utilise la distributivité de la multiplication.
Distributivité :
Double distributivité :
On passe à chaque fois d’une forme factorisée (produit) à une forme développée (somme ou différence).
Développons et
Identités remarquables
Les trois identités remarquables sont :
Développons , et .
On reconnaît la forme . On applique donc la première identité remarquable :
On reconnaît la forme . On applique donc la deuxième identité remarquable :
On reconnaît la forme . On applique donc la troisième identité remarquable :
Factorisation
Factorisation :
Factoriser une somme ou une différence, c’est la transformer en produit. Pour cela, on utilise soit un facteur commun soit une identité remarquable.
Avec un facteur commun
Ici, est le facteur commun à chaque fois.
Factorisons et
On repère le facteur commun, ici
On repère le facteur commun, ici
Avec une identité remarquable
Pour factoriser avec une identité remarquable, on utilise une des trois formules vues précédemment dans le sens inverse par rapport au développement :
Factorisons :
On reconnaît la forme .
On applique donc la première identité remarquable :
On reconnaît la forme .
On applique donc la deuxième identité remarquable :
On reconnaît la forme .
On applique donc la troisième identité remarquable :
On reconnaît la forme , avec et
La forme factorisée de sera donc : .