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Marianne

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Factorisation et identité remarquable

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Introduction :

Ce cours va introduire des techniques de calcul. Il contiendra donc des définitions, des méthodes et des exemples.

Rappels sur le développement d’un produit

Expression littérale

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Définition

Expression littérale :

Une expression littérale est une expression dans laquelle une ou plusieurs variables sont désignées par des lettres.

Si on attribue une valeur numérique à la variable (ou aux variables), on peut calculer la valeur de l’expression littérale.

Celle-ci peut varier selon la valeur que l’on donne aux variables qui la composent.

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Exemple

A=(3x+1)(2x3)A = (3x+1)(2x-3) est une expression littérale dont la variable est xx.

  • Pour x=1x=-1 :

A=(3×(1)+1)(2×(1)3)=(3+1)(23)=(2)×(5)=10\begin{aligned} A&= (3 \times (-1)+1)(2 \times (-1) -3)\&=(-3+1)(-2-3)\&=(-2) \times (-5)\&=10\end{aligned}

  • Pour x=2x=2 :

A=(3×2+1)(2×23)=7×1=7\begin{aligned}A&= (3 \times 2 +1)(2 \times 2 -3)\&= 7 \times 1\&= 7\end{aligned}.

Développement

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Définition

Développement :

Développer un produit, c’est le transformer en une somme ou une différence. Pour cela, on utilise la distributivité de la multiplication.

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Propriété

Distributivité :

  • k×(a+b)=k×a+k×b=ka+kb\begin{aligned}k \times (a+b)&=k\times a + k \times b\&= ka +kb\end{aligned}
  • k×(ab)=k×ak×b=kakb\begin{aligned}k \times (a-b)&=k\times a - k \times b\&= ka -kb\end{aligned}
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Propriété

Double distributivité :

  • (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.

On passe à chaque fois d’une forme factorisée (produit) à une forme développée (somme ou différence).

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Exemple

Développons A=5(x1)A=5(x-1) et B=(3x+2)(5x7)B=(3x+2)(5x-7)

  • Développement de AA :

A=5(x1)A = 5(x-1)

A=5×x5×1A= 5 \times x - 5 \times 1

A=5x5A = 5x-5

  • Développement de BB :

B=(3x+2)(5x7)B = (3x+2)(5x-7)

B=3x×5x+3x×(7)+2×5x+2×(7)B = 3x \times 5x + 3x \times (-7) + 2 \times 5x + 2 \times(-7)

B=15x221x+10x14B=15x^2-21x+10x-14

B=15x211x14B=15x^2-11x-14

Identités remarquables

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Théorème

Les trois identités remarquables sont :

  • (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2
  • (ab)2=a22ab+b2(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2
  • (a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2
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Exemple

Développons (x+3)2(x+3)^2, (x4)2(x-4)^2 et (x+2)(x2)(x+2)(x-2).

  • Développement de (x+3)2(x+3)^2 :

On reconnaît la forme (a+b)2(a+b)^2 . On applique donc la première identité remarquable :

(x+3)2=x2+2×x×3+32=x2+6x+9\begin{aligned}(x+3)^2 &= x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 \&= x^2 +6x +9\end{aligned}

  • Développement de (x4)2(x-4)^2 :

On reconnaît la forme (ab)2(a-b)^2 . On applique donc la deuxième identité remarquable :

(x4)2=x22×x×4+42=x28x+16\begin{aligned}(x-4)^2 &= x^2 - 2 \times x \times 4 +4^2 \&= x^2 - 8x + 16\end{aligned}

  • Développement de (x+2)(x2)(x+2)(x-2) :

On reconnaît la forme (ab)(a+b)(a-b)(a+b). On applique donc la troisième identité remarquable :

(x+2)(x2)=x222=x24\begin{aligned}(x+2)(x-2) &= x^2 - 2^2 \&= x^2 - 4\end{aligned}

Factorisation

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Définition

Factorisation :

Factoriser une somme ou une différence, c’est la transformer en produit. Pour cela, on utilise soit un facteur commun soit une identité remarquable.

Avec un facteur commun

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Propriété

  • k×a+k×b=k×(a+b)k \times a + k \times b = k \times (a+b)
  • k×ak×b=k×(ab)k \times a - k \times b = k \times (a-b)

Ici, kk est le facteur commun à chaque fois.

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Exemple

Factorisons A=6x18A = 6x-18 et B=(8x9)(5x3)(8x9)(2x+1)B = (8x-9)(5x-3)-(8x-9)(2x+1)

  • Factorisation de AA :

A=6x18A = 6x-18

A=6×x6×3A = 6 \times x - 6 \times 3

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Astuce

On repère le facteur commun, ici 66

A=6(x3)A = 6(x-3)

  • Factorisation de BB :

B=(8x9)(5x3)(8x9)(2x+1)B = (8x-9)(5x-3)-(8x-9)(2x+1)

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Astuce

On repère le facteur commun, ici (8x9)(8x-9)

B=(8x9)((5x3)(2x+1))B = (8x-9)((5x-3)-(2x+1))

B=(8x9)(5x32x1)B = (8x-9)(5x-3-2x-1)

B=(8x9)(3x4)B = (8x-9)(3x-4)

Avec une identité remarquable

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À retenir

Pour factoriser avec une identité remarquable, on utilise une des trois formules vues précédemment dans le sens inverse par rapport au développement :

  • a2+2ab+b2=(a+b)2 a^2 +2ab + b^2=(a+b)^2
  • a22ab+b2=(ab)2 a^2 -2ab + b^2=(a-b)^2
  • a2b2=(a+b)(ab)a^2-b^2=(a+b)(a-b)

Factorisons x2+12x+36x^2 +12x +36, x22x+1x^2 -2x +1, x225x^2 - 25 et finalement A=(x2)2(2x+1)2A=(x-2)^2-(2x+1)^2.

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Exemple

  • Factorisation de x2+12x+36x^2 +12x +36 :

On reconnaît la forme a2+2ab+b2 a^2 +2ab + b^2.

On applique donc la première identité remarquable :

x2+12x+36=x2+2×x×6+62=(x+6)2\begin{aligned}x^2 +12x +36 &= x^2 + 2 \times x \times 6 + 6^2 \&= (x+6)^2\end{aligned}

  • Factorisation de x22x+1x^2 -2x +1 :

On reconnaît la forme a22ab+b2 a^2 -2ab + b^2.

On applique donc la deuxième identité remarquable :

x22x+1=x22×x×1+12=(x1)2\begin{aligned}x^2 -2x +1&=x^2 - 2 \times x \times 1 + 1^2\&=(x-1)^2\end{aligned}

  • Factorisation de x225x^2 - 25 :

On reconnaît la forme a2b2 a^2- b^2.

On applique donc la troisième identité remarquable :

x225=x252=(x+5)(x5)\begin{aligned}x^2 - 25&=x^2 - 5^2\&=(x+5)(x-5)\end{aligned}

  • Factorisation de A=(x2)2(2x+1)2A=(x-2)^2-(2x+1)^2 :

On reconnaît la forme a2b2 a^2- b^2, avec a=x2a=x-2 et b=2x+1b=2x+1

La forme factorisée de AA sera donc : (a+b)(ab)(a+b)(a-b).

A=((x2)(2x+1))((x2)+(2x+1))A=((x-2)-(2x+1))((x-2)+(2x+1))

A=(x22x1)(x2+2x+1)A=(x-2-2x-1)(x-2+2x+1)

A=(x3)(3x1)A=(-x-3)(3x-1)