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Factorisation et identité remarquable
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Introduction :
Ce cours va introduire des techniques de calcul. Il contiendra donc des définitions, des méthodes et des exemples.
Rappels sur le développement d’un produit
Rappels sur le développement d’un produit
Expression littérale
Expression littérale
Définition
Expression littérale :
Une expression littérale est une expression dans laquelle une ou plusieurs variables sont désignées par des lettres.
Si on attribue une valeur numérique à la variable (ou aux variables), on peut calculer la valeur de l’expression littérale.
Celle-ci peut varier selon la valeur que l’on donne aux variables qui la composent.
Exemple
$A = (3x+1)(2x-3)$ est une expression littérale dont la variable est $x$.
- Pour $x=-1$ :
$\begin{aligned} A&= (3 \times (-1)+1)(2 \times (-1) -3)\\&=(-3+1)(-2-3)\\&=(-2) \times (-5)\\&=10\end{aligned}$
- Pour $x=2$ :
$\begin{aligned}A&= (3 \times 2 +1)(2 \times 2 -3)\\&= 7 \times 1\\&= 7\end{aligned}$.
Développement
Développement
Définition
Développement :
Développer un produit, c’est le transformer en une somme ou une différence. Pour cela, on utilise la distributivité de la multiplication.
Propriété
Distributivité :
- $\begin{aligned}k \times (a+b)&=k\times a + k \times b\\&= ka +kb\end{aligned}$
- $\begin{aligned}k \times (a-b)&=k\times a - k \times b\\&= ka -kb\end{aligned}$
Propriété
Double distributivité :
- $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.
On passe à chaque fois d’une forme factorisée (produit) à une forme développée (somme ou différence).
Exemple
Développons $A=5(x-1)$ et $B=(3x+2)(5x-7)$
- Développement de $A$ :
$A = 5(x-1) $
$A= 5 \times x - 5 \times 1$
$A = 5x-5$
- Développement de $B$ :
$B = (3x+2)(5x-7)$
$B = 3x \times 5x + 3x \times (-7) + 2 \times 5x + 2 \times(-7)$
$B=15x^2-21x+10x-14$
$B=15x^2-11x-14$
Identités remarquables
Identités remarquables
Théorème
Les trois identités remarquables sont :
- $(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2$
- $(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2$
- $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
Exemple
Développons $(x+3)^2$, $(x-4)^2$ et $(x+2)(x-2)$.
- Développement de $(x+3)^2$ :
On reconnaît la forme $(a+b)^2 $. On applique donc la première identité remarquable :
$\begin{aligned}(x+3)^2 &= x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 \\&= x^2 +6x +9\end{aligned}$
- Développement de $(x-4)^2$ :
On reconnaît la forme $(a-b)^2 $. On applique donc la deuxième identité remarquable :
$\begin{aligned}(x-4)^2 &= x^2 - 2 \times x \times 4 +4^2 \\&= x^2 - 8x + 16\end{aligned}$
- Développement de $(x+2)(x-2)$ :
On reconnaît la forme $(a-b)(a+b)$. On applique donc la troisième identité remarquable :
$\begin{aligned}(x+2)(x-2) &= x^2 - 2^2 \\&= x^2 - 4\end{aligned}$
Factorisation
Factorisation
Définition
Factorisation :
Factoriser une somme ou une différence, c’est la transformer en produit. Pour cela, on utilise soit un facteur commun soit une identité remarquable.
Avec un facteur commun
Avec un facteur commun
Propriété
- $k \times a + k \times b = k \times (a+b)$
- $k \times a - k \times b = k \times (a-b)$
Ici, $k$ est le facteur commun à chaque fois.
Exemple
Factorisons $A = 6x-18$ et $B = (8x-9)(5x-3)-(8x-9)(2x+1)$
- Factorisation de $A$ :
$A = 6x-18$
$A = 6 \times x - 6 \times 3$
Astuce
On repère le facteur commun, ici $6$
$A = 6(x-3)$
- Factorisation de $B$ :
$B = (8x-9)(5x-3)-(8x-9)(2x+1)$
Astuce
On repère le facteur commun, ici $(8x-9)$
$B = (8x-9)((5x-3)-(2x+1))$
$B = (8x-9)(5x-3-2x-1)$
$B = (8x-9)(3x-4)$
Avec une identité remarquable
Avec une identité remarquable
À retenir
Pour factoriser avec une identité remarquable, on utilise une des trois formules vues précédemment dans le sens inverse par rapport au développement :
- $ a^2 +2ab + b^2=(a+b)^2$
- $ a^2 -2ab + b^2=(a-b)^2$
- $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
Factorisons $x^2 +12x +36$, $x^2 -2x +1$, $x^2 - 25$ et finalement $A=(x-2)^2-(2x+1)^2$.
Exemple
- Factorisation de $x^2 +12x +36$ :
On reconnaît la forme $ a^2 +2ab + b^2$.
On applique donc la première identité remarquable :
$\begin{aligned}x^2 +12x +36 &= x^2 + 2 \times x \times 6 + 6^2 \\&= (x+6)^2\end{aligned}$
- Factorisation de $x^2 -2x +1$ :
On reconnaît la forme $ a^2 -2ab + b^2$.
On applique donc la deuxième identité remarquable :
$\begin{aligned}x^2 -2x +1&=x^2 - 2 \times x \times 1 + 1^2\\&=(x-1)^2\end{aligned}$
- Factorisation de $x^2 - 25$ :
On reconnaît la forme $ a^2- b^2$.
On applique donc la troisième identité remarquable :
$\begin{aligned}x^2 - 25&=x^2 - 5^2\\&=(x+5)(x-5)\end{aligned}$
- Factorisation de $A=(x-2)^2-(2x+1)^2$ :
On reconnaît la forme $ a^2- b^2$, avec $a=x-2$ et $b=2x+1$
La forme factorisée de $A$ sera donc : $(a+b)(a-b)$.
$A=((x-2)-(2x+1))((x-2)+(2x+1))$
$A=(x-2-2x-1)(x-2+2x+1)$
$A=(-x-3)(3x-1)$