L’objectif de ce cours est de savoir donner différentes écritures d’une même fraction, de savoir comparer et encadrer des fractions, et, d’ordonner des fractions et des nombres mixtes.

Dans ce cours, dans un premier temps, nous verrons comment donner différentes écritures d’une même fraction. Dans un deuxième temps, nous donnerons des méthodes pour comparer des fractions, puis encadrer des fractions, et enfin, ordonner des fractions et des nombres mixtes.

Égalités de fractions

Égalité de fractions simples : exemple

Montrons que les fractions $\frac{8}{5}$ et $\frac{16}{10}$ sont égales, en utilisant leur placement sur la demi-droite graduée.

• Traçons une demi-droite graduée où l’unité est divisée en 5 graduations, pour que chaque graduation représente $\frac{1}{5}$.
• Plaçons ensuite le point A d’abscisse $\frac{8}{5}$ sur cette demi-droite graduée : il est situé sur la huitième graduation en partant de 0 (0 exclus).

• Nous souhaitons ensuite placer sur cette même demi-droite graduée, le point B d’abscisse $\frac{16}{10}$.
• Divisons chaque graduation représentant $\frac{1}{5}$ en 2 pour obtenir 10 graduations régulièrement espacées, où chaque graduation représente maintenant $\frac{1}{10}$.
• Plaçons ensuite le point B d’abscisse $\frac{16}{10}$ sur cette demi-droite graduée : il est situé sur la seizième graduation en partant de 0 (0 exclus).

• Nous pouvons remarquer que les points A et B sont placés au même endroit, donc que les deux fractions sont égales.

Astuce

Nous avons l’égalité suivante $\frac{8}{5} = \frac{16}{10}$ que nous pouvons aussi écrire : $\frac{8}{5} = \frac{8\times 2}{5\times 2} = \frac{16}{10}$.

Égalités de fractions : cas général

Propriété fondamentale des fractions

Propriété

Une fraction ne change pas lorsque nous multiplions (ou divisons) son numérateur et son dénominateur par un même nombre différent de 0.

Exprimée dans une formule, cette propriété devient : Pour $a$ et $b$ deux nombres entiers ($b$ non nul), et $k$ un nombre entier non nul, nous avons $\frac{a}{b} = \frac{a\times k}{b \times k} = \frac{a \div k}{b \div k}$.

Exemple

• $\frac{4}{6} = \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}$
• $\frac{9}{2} = \frac{9 \times 4}{2 \times 4} = \frac{36}{8}$

Simplifier une fraction

À retenir

Cette formule permet de simplifier une fraction, c'est-à-dire trouver une fraction qui lui est égale, mais dont le dénominateur et le numérateur sont les plus petits possibles.

Exemple

• $\frac{15}{25} = \frac{15\div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5}$ car 15 et 25 sont divisibles par 5.
• $\frac{12}{30} = \frac{12\div 2}{30 \div 2} = \frac{6}{15} = \frac{6\div 3}{15\div 3} = \frac{2}{5}$ car 12 et 30 sont divisibles par 2 et par 3.

Trouver une fraction égale avec un autre dénominateur

À retenir

Cette formule permet aussi de déterminer des fractions égales, c’est-à-dire d’écrire une fraction donnée sous la forme d’une autre fraction qui lui est égale et de dénominateur différent de celui de la première fraction.

Exemple

Complétons les égalités de fractions suivantes :

• $\frac{9}{10} = \frac{…}{100}$

Pour passer du nombre 10 au nombre 100, il faut multiplier par 10. Le nombre cherché est donc $9\times 10 = 90$. L’égalité cherchée est donc $\frac{9}{10} = \frac{90}{100}$.

• $\frac{2}{3} = \frac{…}{15}$

Pour passer du nombre 3 au nombre 15, il faut multiplier par 5. Le nombre cherché est donc $2\times 5 = 10$. L’égalité cherchée est donc $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$.

Comparer des fractions

Comparer une fraction à 1

Propriété

• Une fraction est strictement supérieure à 1 si son numérateur est strictement supérieur à son dénominateur.
• Une fraction est strictement inférieure à 1 si son dénominateur est strictement inférieur à son numérateur.

Exemple

$\frac{7}{6} > 1$ car $7 > 6$.

$\frac{3}{5} < 1$ car $3 < 5$.

De plus, $\frac{3}{5} < 1$ et $\frac{7}{6} > 1$, donc nous pouvons en déduire que : $\frac{3}{5} < \frac{7}{6}$.

Comparer deux fractions de même dénominateur

Propriété

Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Exemple

Comparons $\frac{13}{5}$ et $ \frac{11}{5}$.

$\frac{13}{5} > \frac{11}{5}$ car elles ont le même dénominateur (5) et car $13 > 11$.

REMARQUE

Pour comparer deux fractions, nous pouvons donc les mettre au même dénominateur pour pouvoir ensuite comparer deux fractions de même dénominateur.

Comparons $\frac{1}{2}$ et $\frac{3}{8}$ en les mettant sur le même dénominateur $8 = 4\times 2$.

$\frac{1}{2} = \frac{4\times 1}{4\times 2} = \frac{4}{8} > \frac{3}{8}$ car $4 > 3$.

Comparer deux fractions de même numérateur

Propriété

Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.

Exemple

Comparons $\frac{7}{5}$ et $\frac{7}{3}$.

$\frac{7}{5} < \frac{7}{3}$ car elles ont le même numérateur (7) et car $5 > 3$. Pour mieux comprendre cette inégalité, on peut s’aider d’un schéma visuel représentant des parts de gâteaux :

$\frac{7}{3}$ représente 2 gâteaux complets ainsi qu’un tiers d’un gâteau alors que $\frac{7}{5}$ représente uniquement 1 gâteau et deux cinquièmes d’un gâteau.

Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs

Pour encadrer une fraction par deux entiers consécutifs, nous pouvons décomposer cette fraction en une somme d’un entier et d’une fraction strictement inférieure à 1.

Exemple

$\frac{19}{4} = \frac{16+3}{4} = \frac{16}{4} + \frac{3}{4} = 4 + \frac{3}{4}$.

Nous avons donc que : $4 < 4 + \frac{3}{4} < 5$, puis que $4 < \frac{19}{4} < 5$.

REMARQUE

Nous pouvons aussi encadrer une fraction par deux entiers consécutifs en plaçant le point associé sur une demi-droite graduée. Nous pourrons voir sur la demi-droite graduée les deux entiers consécutifs qui encadrent cette fraction.

Ordonner des fractions et des nombres mixtes

Pour ordonner des fractions et des nombres mixtes, nous pouvons voir dans un premier temps si certains sont inférieurs ou supérieurs à 1, et ensuite les écrire tous ou seulement certains sous la forme de fractions de même dénominateur pour pouvoir les comparer.

Exemple

Comparons les nombres suivants : $1$, $\frac{7}{4}$, $\frac{11}{8}$, $\frac{91}{100}$ et $1 + \frac{1}{4}$.

Le seul nombre strictement inférieur à $1$ est $\frac{91}{100}$. C’est donc le nombre le plus petit.

Les nombres strictement supérieurs à $1$ sont : $\frac{7}{4}$, $\frac{11}{8}$ et $1 + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

Mettons les $2$ fractions qui n’y sont pas sur le dénominateur $8$, car $8$ est un multiple de $4$. $\frac{7}{4} = \frac{7\times 2}{4\times 2} = \frac{14}{8}$ $\frac{5}{4} = \frac{5\times 2}{4\times 2} = \frac{10}{8}$

On a donc $\frac{10}{8} < \frac{11}{8} < \frac{14}{8}$ car $10 < 11 < 14$.

Finalement, on a l’encadrement des $5$ nombres suivants :

$\frac{91}{100} < 1 < 1 + \frac{1}{4} < \frac{11}{8} < \frac{7}{4}$.

Dans ce cours, nous avons vu comment donner différentes écritures d’une même fraction en utilisant la formule suivante : $\frac{a}{b} = \frac{a\times k}{b \times k} = \frac{a \div k}{b \div k}$ pour $a$ et $b$ deux nombres entiers ($b$ non nul), et $k$ un nombre entier non nul.

Nous avons ensuite vu des méthodes pour comparer des fractions, puis pour encadrer des fractions, et enfin, pour ordonner des fractions et des nombres mixtes.