Fractions et calculs

EXEMPLE 1

Pour calculer les deux tiers de $60~\mathrm{min}$, nous pouvons utiliser deux méthodes :

• $\frac{2}{3} \times 60 = 2\times \frac{60}{3} = 2\times 20 = 40~\mathrm{min}$ en déplaçant le dénominateur de la fraction car $\frac{60}{3}$ est simple à calculer.

La troisième méthode ne peut pas être utilisée car la fraction $\frac{2}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

EXEMPLE 2

Pour calculer les cinq demis de 36, nous pouvons utiliser les trois méthodes :

EXEMPLE 3

Nous cherchons à calculer ce que valent $20~\%$ de la quantité $600$. $20~\%$ correspond à la fraction $\frac{20}{100}$.

Déterminer ce que vaut $20~\%$ de la quantité $600$ revient à calculer : $\frac{20}{100} \times 600$.

$\frac{20}{100} \times 600 = 20\times \frac{600}{100} = 20\times 6 = 120$. $20~\%$ de la quantité $600$ valent $120$.

Complétons les égalités de fractions suivantes :

• $\frac{9}{10} = \frac{…}{100}$ Pour passer du nombre 10 au nombre 100, il faut multiplier par 10. Le nombre cherché est donc $9\times 10 = 90$. L’égalité cherchée est donc $\frac{9}{10} = \frac{90}{100}$.

• $\frac{2}{3} = \frac{…}{15}$ Pour passer du nombre 3 au nombre 15, il faut multiplier par 5. Le nombre cherché est donc $2\times 5 = 10$. L’égalité cherchée est donc $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$.

• $\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{2\times 2}{3\times 2} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{4+5}{6} = \frac{9}{6}$ en mettant la fraction de dénominateur $3$ sur le dénominateur $6 = 2\times 3$, puis en additionnant les deux fractions de même dénominateur ($6$).
• $\frac{9}{5} - \frac{7}{20} = \frac{9\times 4}{5\times 4} - \frac{7}{20} = \frac{36}{20} - \frac{7}{20} = \frac{36-7}{20} = \frac{29}{20}$ en mettant la fraction de dénominateur $5$ sur le dénominateur $20 = 4\times 5$, puis en soustrayant les deux fractions de même dénominateur ($20$).

EXEMPLE 1

Au goûter, Juliette a mangé $\frac{1}{4}$ d’un paquet de gâteau et son frère Diego en a mangé les $\frac{3}{8}$. Quelle fraction du paquet de gâteau reste-t-il pour leur cousin venu goûter chez eux ?

La fraction du paquet de gâteau que Juliette et Diego ont mangé au goûter est de : $\frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{1\times 2}{4\times 2} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{2+3}{8} = \frac{5}{8}$, en mettant la fraction de dénominateur $4$ sur le dénominateur $8 = 4\times 2$, puis en additionnant les deux fractions de même dénominateur ($8$).

La fraction du paquet de gâteau qu’il reste pour leur cousin venu goûter chez eux est de : $1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{8-5}{8} = \frac{3}{8}$, car $1 = \frac{1}{1} = \frac{8}{8}$.

**EXEMPLE 2 **

Au mois de septembre qui comporte 30 jours, Pablo a consommé $\frac{1}{5}$ du débit internet de son forfait téléphone les 10 premiers jours et $\frac{7}{15}$ les 10 jours suivants. Quelle fraction de son débit internet lui reste-t-il pour les 10 derniers jours ?

Sur les 20 premiers jours, la fraction de son débit internet qu’il a consommée est de : $\frac{1}{5} + \frac{7}{15} = \frac{1\times 3}{5\times 3} + \frac{7}{15} = \frac{3}{15} + \frac{7}{15} = \frac{3+7}{15} = \frac{10}{15}$. en mettant la fraction de dénominateur $5$ sur le dénominateur $15 = 5\times 3$, puis en additionnant les deux fractions de même dénominateur ($15$). On peut simplifier cette fraction (par $5$) en remarquant que : $\frac{10}{15} = \frac{10\div 5}{15\div 5} = \frac{2}{3}$.

Pour les 10 derniers jours, la fraction de débit internet qu’il lui reste est de : $1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{3-2}{3} = \frac{1}{3}$, car $1 = \frac{1}{1} = \frac{3}{3}$.