Géométrie et trigonométrie

Théorème de Thalès

🎯 Objectifs du programme

Appliquer le théorème de Thalès pour calculer une longueur.

Utiliser sa réciproque pour démontrer que deux droites sont parallèles.

Reconnaître les configurations « triangles emboîtés » et « papillon ».

📘 Énoncé du théorème

Définition

Si les points $A$, $B$, $M$ sont alignés, $A$, $C$, $N$ sont alignés dans le même ordre, et si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors : $ \dfrac{AB}{AM} = \dfrac{AC}{AN} = \dfrac{BC}{MN} $

Exemple

Configuration « en papillon »  :

$(AB)$ et $(CD)$ parallèles

$(BO)$ coupe $(AB)$ et $(CD)$

Alors : $ \dfrac{OA}{OD} = \dfrac{OB}{OC} = \dfrac{AB}{CD} $

📏 Méthode

Astuce

Pour appliquer Thalès :

• Vérifier que les points sont alignés dans le bon ordre.
• Vérifier que les droites sont parallèles.
• Écrire l’égalité des rapports de longueurs.
• Résoudre avec un produit en croix.

🔁 Réciproque

Définition

Si $ \dfrac{AB}{AM} = \dfrac{AC}{AN} $ et si les points sont alignés dans le même ordre, alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

Astuce

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Consulte le cours :

• Utiliser le théorème de Thalès

Trigonométrie dans un triangle rectangle

🎯 Objectifs du programme

Utiliser les rapports trigonométriques (cosinus, sinus, tangente).

Calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle.

📘 Définition des rapports trigonométriques

Définition

Dans un triangle rectangle :

$ \cos A = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} $

$ \sin A = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} $

$ \tan A = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} $

Exemple

Triangle $ABC$ rectangle en $B$ : $ \cos A = \dfrac{AB}{AC} $ $ \sin A = \dfrac{BC}{AC} $ $ \tan A = \dfrac{BC}{AB} $

🧮 Calcul de longueurs

Astuce

Méthode :

Vérifier que le triangle est rectangle.

Identifier l’angle connu et la longueur donnée.

Choisir le bon rapport (SOH, CAH, TOA).

Résoudre à l’aide d’un produit en croix ou d’une valeur connue.

Exemple

Dans un triangle rectangle, si $ \sin(30°) = \dfrac{1}{2} $ et $ \text{hypoténuse} = 7 $ alors $ \text{côté opposé} = 7 \cdot \dfrac{1}{2} = 3{,}5 $

📐 Calcul d’angles

Astuce

Méthode :

Connaître deux longueurs.

Utiliser $ \cos^{-1} $, $ \sin^{-1} $ ou $ \tan^{-1} $ sur la calculatrice.

Arrondir la valeur obtenue au degré près.

Exemple

$ \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \theta = \tan^{-1} \left( \dfrac{3}{4} \right) \approx 37° $

Astuce

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Consulte le cours :

• Trigonométrie dans un triangle rectangle

Triangles semblables

🎯 Objectifs du programme

Reconnaître deux triangles semblables.

Utiliser la proportionnalité des côtés homologues.

Calculer une longueur ou un rapport de réduction/agrandissement.

📘 Définition

Définition

Deux triangles sont semblables si leurs angles sont deux à deux de même mesure. Dans ce cas, leurs côtés homologues sont proportionnels.

Exemple

Si $ \widehat{A} = \widehat{D} $, $ \widehat{B} = \widehat{E} $, alors : $ \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AC}{DF} = \dfrac{BC}{EF} $

📏 Méthodes

• Méthode 1 : Vérifier que deux couples d’angles sont égaux.
• Méthode 2 : Vérifier que les longueurs des côtés sont proportionnelles.

Astuce

Dans les configurations de Thalès, les triangles obtenus sont semblables.

📐 Calcul de rapport d’agrandissement ou de réduction

Définition

Si deux triangles sont semblables :

Le rapport de réduction est $ \dfrac{\text{petit triangle}}{\text{grand triangle}} $

Le rapport d’agrandissement est son inverse

Exemple

$ \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{3{,}5}{7} = 0{,}5 $ $\Rightarrow$ le petit triangle est une réduction de rapport 0,5

Astuce

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✅ À retenir pour le brevet

• Le théorème de Thalès s’applique dans deux configurations : triangles emboîtés ou papillon.
• Sa réciproque permet de démontrer que deux droites sont parallèles.
• Les rapports trigonométriques permettent de calculer des longueurs ou des angles dans un triangle rectangle.
• Deux triangles semblables ont des angles égaux et leurs côtés homologues proportionnels.
• Le rapport de réduction ou d’agrandissement est constant entre deux triangles semblables.