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Le principe d’inertie

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Introduction :

Dans le modèle du point matériel précédemment étudié, les notions de référentiel, trajectoire et vitesse permettent de représenter le mouvement d’un système indépendamment des interactions avec le système extérieur.
Existe-t-il des relations entre la vitesse d’un système et l’existence d’actions extérieures modélisées par des forces ?
Dans ce cours, nous allons d’abord énoncer le principe d’inertie, pour ensuite étudier le cas de la chute libre à l’aide d’un gymnaste, afin de montrer l’effet d’une force sur la vitesse et le vecteur vitesse.

Principe d’inertie

Point matériel et systèmes isolés/pseudo-isolés

bannière definition

Définition

Point matériel :

Si les dimensions d’un système sont négligeables par rapport aux distances relatives à son mouvement, on peut l’assimiler à un seul point auquel on associe sa masse. Ce point est alors appelé point matériel. La plupart du temps, on choisira le centre de gravité.

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Définition

Système isolé :

Un système est dit isolé s’il n’est soumis à aucune force extérieure.

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Définition

Système pseudo-isolé :

Un système est dit pseudo-isolé si la somme vectorielle des forces s’exerçant sur lui est nulle :

Fext=0\sum\vec{F}_{ext}=\vec{0}

  • Le symbole sigma Σ\Sigma désigne la somme. Par exemple, si un système est soumis à trois forces F1\vec{F1}, F2\vec{F2} et F3\vec{F3} alors i=13Fi=F1+F2+F3\displaystyle\sum{i=1}^3 \vec Fi=\vec F1+\vec F2+\vec F3

Énoncé de la loi et de la réciproque

bannière theoreme

Théorème

Énoncé du principe d’inertie :

Dans le référentiel galiléen, si les forces qui s’exercent sur un système se compensent, c’est-à-dire Fext=0\sum\vec{F}_{ext}=\vec{0}, alors le système est soit immobile soit en mouvement rectiligne uniforme.

  • Exemple : un objet posé sur le sol

Le principe d’inertie objet posé sur le sol immobile

Le système est soumis à deux forces : la force de réaction du support R\vec{R} et son poids P\vec{P}.
Elles ont la même direction, la même norme (intensité) et ont un sens opposé.

L’objet est soumis à son poids P\vec{P}.

  • Caractéristiques du poids :
  • direction : verticale ;
  • sens : orienté vers le bas ;
  • intensité : P=mgP=mg.

La deuxième force est la force exercée par le support sur l’objet Rsupport/objet\vec{R}_{support/objet}.

  • Caractéristiques de cette force :
  • direction : verticale ;
  • sens : orienté vers le haut ;
  • intensité : même valeur que P\vec{P}.
  • Les deux forces se compensent : R+P=0\textcolor{#3361FF}{\vec{R}}+\textcolor{#EF526C}{\vec{P}}=\vec{0} et nous pouvons dire que l’objet reste immobile.
bannière theoreme

Théorème

Réciproque du principe d’inertie :

Dans le référentiel galiléen, si le système est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme, alors il est soumis à des forces qui se compensent ou à aucune force.

  • Mathématiquement, nous pouvons écrire la relation suivante :

v=csteFext=0\vec{v}=\overrightarrow{cste} \Longleftrightarrow \sum\vec{F}_{ext}=\vec{0}

  • Exemple : un palet glissant sur une pente de glace inclinée non lisse (avec frottement)

On considère palet glissant sur une pente de glace inclinée non lisse.
Dans le référentiel galiléen terrestre le système étudié est le palet.

Le palet est soumis à trois forces :

  • Poids P\textcolor{#EF526C}{\vec{P}},
  • Réaction RN\textcolor{#3361FF}{\vec{R}_N} (composante normale),
  • Frottement f\textcolor{#9A44D1}{\vec{f}} (composante tangentielle).
  • Nous savons que le mouvement est rectiligne uniforme et donc, d’après le principe d’inertie, les trois forces se compensent et leur somme est nulle : RN+P+f=0\textcolor{#3361FF}{\vec{R}_N}+\textcolor{#EF526C}{\vec{P}}+\textcolor{#9A44D1}{\vec{f}}=\vec{0}

principe d’inertie réciproque trois forces rectiligne uniforme

Énoncé de la contraposée et de la réciproque

bannière theoreme

Théorème

Énoncé de la contraposée :

Dans le référentiel galiléen, si un système n’est ni immobile ni en mouvement rectiligne uniforme, alors les forces qui agissent sur ce système ne se compensent pas.

bannière theoreme

Théorème

Réciproque de la contraposée :

Dans un référentiel galiléen, si les forces qui s’exercent sur un système ne se compensent pas, alors le système n’est ni immobile ni en mouvement rectiligne uniforme.

  • Mathématiquement, nous pouvons écrire la relation suivante : vcsteFext0\vec{v}≠\overrightarrow{cste} \Longleftrightarrow \sum\vec{F}_{ext}≠\vec{0}
  • Exemple : Un palet glissant sur une pente de glace (sans frottement)

On considère palet glissant sur une pente de glace sans frottement.
Dans le référentiel galiléen terrestre, le système étudié est le palet.

Le palet est soumis à deux forces :

  • Poids P\textcolor{#EF526C}{\vec{P}},
  • Réaction RN\textcolor{#3361FF}{\vec{R}_N} (composante normale).
  • Nous savons que les deux forces extérieures ne se compensent pas : RN+P0\textcolor{#3361FF}{\vec{R}_N}+\textcolor{#EF526C}{\vec{P}}\neq\vec{0}.

Principe d’inertie mouvement pas uniforme deux forces Légende

  • Nous pouvons en conclure, d’après la réciproque de la contraposée du principe d’inertie, que le mouvement ne sera pas uniforme.

Ce mouvement sera donc rectiligne accéléré, car la somme des forces est colinéaire et que son sens est le même que celui du mouvement. C’est ce que nous allons voir dans la seconde partie de ce cours.

Variation du vecteur vitesse

Dans cette partie, nous allons étudier le cas d’un mouvement de chute libre avec et sans vitesse initiale d’un gymnaste sautant à la verticale sur un trampoline. Le cas de la chute libre nous permet de montrer l’effet d’une force sur la vitesse et le vecteur vitesse, d’un système modélisé par un point matériel par des forces dont la somme est non nulle.

Pour être plus précis, un système est en chute libre, lorsqu’il n’est soumis qu’à son poids P\vec{P}.
Si l’on néglige les forces exercées par l’air sur le système (forces de frottement, poussée d’Archimède), il tombe en chute libre, dans le vide.

Gymnaste : phase ascendante

Au moment où le gymnaste quitte le trampoline verticalement, il possède une vitesse initiale dirigée vers le haut et n’est plus soumis qu’à son poids P\vec{P}.
Ici, nous allons donc nous intéresser à la phase ascendante du saut.

Caractéristiques du poids :

  • direction : verticale ;
  • sens : orienté vers le bas ;
  • intensité : P=mg\vec{P}=m\vec{g}.

On réalise une chronophotographie du mouvement à intervalles de temps réguliers Δt=0,1 s\Delta t=0,1\ \text{s}, afin d’étudier le mouvement et la variation du vecteur vitesse.

principe d’inertie variation du vecteur vitesse chute libre

Nous avons construit le tableau ci-dessous, permettant de visualiser la vitesse instantanée à chaque prise de vue. vi=hi+1hiti+1tivi=\dfrac{h{i+1}-hi}{t{i+1}-t_i}

avec ii correspondant au numéro du clichet.

  • Calculons la vitesse v2v_2 :

v2=3,162,210,30,2=0,950,1=9,5 ms1v_2=\dfrac{3,16-2,21}{0,3-0,2}=\dfrac{0,95}{0,1}=9,5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}

ii 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t(s)t (\text{s}) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2
h(m)h (\text{m}) 0,00 1,15 2,21 3,16 4,02 4,78 5,44 6,00 6,47 6,84 7,10 7,28 7,35
v (ms1)v\ (\text{m}\cdot\text{s}^{-1}) 12,50 11,52 10,54 9,56 8,58 7,60 6,61 5,63 4,65 3,67 2,69 1,71 0,73

On remarque que la vitesse du gymnaste diminue, au cours du temps lors de la phase montante.
La vitesse n’est donc pas constante, le gymnaste n’a pas un mouvement rectiligne uniforme mais un mouvement rectiligne ralenti, car le sens de vi+1vi\vec{v}{i+1}-\vec{v}i est opposé au mouvement.
Pendant le même intervalle de temps, le gymnaste parcourt une distance de plus en plus petite.

  • Ainsi, le vecteur vitesse varie : sa direction reste verticale mais sa norme varie.

Gysmnaste : phase descendante

Lors de la phase ascendante, le gymnase atteint une vitesse nulle à un instant tit_i et à ce moment-là, la phase descendante débute.
Lors de sa chute libre, si sa vitesse initiale est nulle, le système aura une trajectoire verticale.

Ici, nous allons donc nous intéresser à la phase descendante du saut du gymnaste, dans le référentiel galiléen terrestre.
Le gymnaste est donc soumis à son poids P\vec{P}.

Caractéristiques du poids :

  • direction : verticale ;
  • sens : orienté le bas ;
  • intensité : P=mg\vec{P}=m\vec{g}.

On réalise une chronophotographie du mouvement à intervalles de temps réguliers Δt=0,1 s\Delta t=0,1\ \text{s}, afin d’étudier le mouvement et la variation du vecteur vitesse.

principe d’inertie variation du vecteur vitesse chute libre

Chute libre d’un corps sans vitesse initiale du point MM. On a représenté les vecteurs vitesses décalés pour plus de lisibilité, les proportions de leurs normes sont respectées.

Nous avons construit le tableau ci-dessous, permettant de visualiser la vitesse instantanée à chaque prise de vue. vi=hihi+1ti+1tivi=\dfrac{|hi-h{i+1}|}{t{i+1}-t_i}

avec ii correspondant au numéro du clichet.

  • Calcul de la vitesse v4v_4

v4=h4h50,50,4=5,895,500,1=3,92 ms1v4=\dfrac{|h4-h_5|}{0,5-0,4}=\dfrac{|5,89-5,50|}{0,1}=3,92\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}

ii 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t(s)t (\text{s}) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2
h(m)h (\text{m}) 6,48 6,48 6,38 6,19 5,89 5,50 5,01 4,42 3,73 2,95 2,07 1,08 0,0
v (ms1)v\ (\text{m}\cdot\text{s}^{-1}) 0 0,98 1,96 2,94 3,92 4,91 5,89 6,87 7,85 8,83 9,81 10,79 11,77

On remarque que la vitesse du gymnaste augmente lors de la chute. La vitesse n’est donc pas constante, le gymnaste n’a pas un mouvement rectiligne uniforme mais un mouvement rectiligne accéléré, car le sens de vi+1vi\vec{v}{i+1}-\vec{v}i est dans le même sens que le mouvement.
Pendant le même intervalle de temps, il parcourt une distance de plus en plus grande.

Conclusion :

Les effets des forces s’exerçant sur un système permettent de comprendre ses variations de vitesse et sa trajectoire. Une force influe sur le vecteur vitesse d’un système (valeur et/ou direction).
D’après le principe d’inertie, si les forces extérieures se compensent, alors v=0\vec{v} = \vec{0} (système immobile) ou v\vec{v} reste constant (mouvement rectiligne uniforme).

L’étude des forces appliquées sur un système permet d’expliquer sa trajectoire et sa vitesse.